2017年各地中考最后一道題

1.如圖，已知拋物線y=-x?+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A(0,3),與x正半軸相交

于點(diǎn)B,對(duì)稱軸是直線x=l

(1)求此拋物線的解析式以及點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)到

達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q,交

拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形。MPN為矩形.

②當(dāng)t>0時(shí)，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明

【分析】(1)由對(duì)稱軸公式可求得b,由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得c,則可求得拋物線解

析式；再令y=0可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)①用t可表示出ON和OM,則可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出PM的長(zhǎng)，

由矩形的性質(zhì)可得。N=PM,可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；②由題意可知

OB=OA,故當(dāng)△BOQ為等腰三角形時(shí)，只能有OB=BQ或OQ=BQ,用t可表示出

Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出OQ和BQ的長(zhǎng)，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的

值.

【解答】解：

(1),拋物線y=-x?+bx+c對(duì)稱軸是直線x=l,

-------y~~-^1>解得b=2,

2X(-1)

?.?拋物線過(guò)A(0,3),

，c=3,

.?.拋物線解析式為y=-X2+2X+3,

令y=0可得-X2+2X+3=0,解得X=-1或X=3,

，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)；

(2)①由題意可知ON=3t,OM=2t,

?.?P在拋物線上，

：.P(2t,-4t2+4t+3),

???四邊形OMPN為矩形，

，ON=PM,

3t=-4t2+4t+3,解得t=l或t=-3(舍去)，

4

.?.當(dāng)t的值為1時(shí)，四邊形OMPN為矩形；

②TA(0,3),B(3,0),

AOA=OB=3,且可求得直線AB解析式為y=-x+3,

.?.當(dāng)t>0時(shí)，OQWOB,

...當(dāng)△BOQ為等腰三角形時(shí)，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，

由題意可知OM=2t,

，Q(2t,-2t+3),

二0Q=7(2t)2+(-2t+3)2=V8t2-12t+9,BQ=7(2t-3)2+(-2t+3)2t-31,

又由題意可知0<tVl,

當(dāng)OB=QB時(shí)，則有&I2t-3|=3,解得t=f+j但(舍去)或t=6-S；

當(dāng)OQ=BQ時(shí)，則有98t2_i2t+9=&Qt-3],解得t=_1；

綜上可知當(dāng)t的值為生還或外寸，△BOQ為等腰三角形.

44

【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、勾股定理、

等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí).在(1)中注意待定系數(shù)

法的應(yīng)用，在(2)①中用t表示出PM和ON的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在②中用t表

示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出0Q和BQ的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論.本

題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中.

2.如圖，直線y=-2x+4交y軸于點(diǎn)A,交拋物線y=L?+bx+c于點(diǎn)B(3,-2),

2

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-l,0),交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作PE_LDB

交DB所在直線于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)4PDE為等腰直角三角形時(shí)，求出PE的長(zhǎng)及P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接PB,將4PBE沿直線AB翻折，直接寫出翻折點(diǎn)后

E的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】(1)把B(3,-2),C(-1,0)代入y=L<2+bx+c即可得到結(jié)論；

2

(2)由y=L<2_芻_2求得D(0,-2),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DE=PE,

22

列方程即可得到結(jié)論；

(3)①當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的上方時(shí)，如圖1,設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為E，,

過(guò)E作E，H_LDE于H,求得直線EE，的解析式為y=L<-2設(shè)E，(m,±m(xù)-2),

2222

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；②當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的下方時(shí)，如圖2,設(shè)點(diǎn)E關(guān)

于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為E',過(guò)E作E，H_LDE于H,得到直線EE，的解析式為y=L(

2

-3,設(shè)F(m,Ln-3),根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

2

I-2^-X9+3b+c

【解答】解：(1)把B(3,-2),C(-1,0)代入y=L<2+bx+c得，《，

2Ac

??</，

c=-2

二拋物線的解析式為y=L<2-當(dāng)-2；

22

(2)設(shè)P(m,AJTI2--^m-2),

22

在y=L<2-冬-2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-2,

22

AD(0,-2),

VB(3,-2),

；.BD〃x軸，

VPE1BD,

E(m,-2),

DE=m,PE=LT)2-3m-2+2,或PE=-2-Jun2+^m+2,

2222

???△PDE為等腰直角三角形，且NPED=90°,

；.DE=PE,

/.m=Ajn2-，或m=-Am2+-5.m,

2222

解得：m=5,m=l,m=0(不合題意，舍去)，

Z.PE=5或1,

P(1,-3),或(5,3)；

(3)①當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的上方時(shí)，如圖1,設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為E\

過(guò)E，作E，HJ_DE于，H,

由(2)知，此時(shí)，E(5,-2),

/.DE=5,

.?.BE'=BE=2,

?.'EE」AB,

二設(shè)直線EE，的解析式為y=4+b,

2

-2=—X5+b?

2

/.b=-—,

2

直線EE，的解析式為y=lx-1,

22

設(shè)E，(m,Ln--),

22

EZH=-2--Lm+-^--AJD,BH=3-m,

2222

VE,H2+BH2=BE,2,

(§-Ln)2+(3-m)2=4,

22

/.m=—,m=5(舍去),

5

：.E'(X-11)；

55

②當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的下方時(shí)，如圖2,設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為E\

過(guò)E'作EZH±DE于H,

由(2)知，此時(shí)，E(1,-2),

.*.DE=1,

，BE'=BE=2,

,.?EE」AB,

二設(shè)直線EE，的解析式為y=L<+b,

2

-2=Lxi+b,

2

/.b=--,

2

二直線EE，的解析式為y=lx-1,

22

設(shè)E，(m,AJTI-a)，

22

E'H=AJTI--§-+2=-Lm-LBH=m-3,

2222

VEZH2+BH2=BE,2,

(AJTI--)2+(m-3)2=4,

22

m=4.2>m=l(舍去)，

/.E'(4.2,-0.4),

綜上所述，E的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(旦，-11),(4.2,-0.4).

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理，折疊的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.已知,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

將aABD沿BD所在直線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處.

（1）如圖1,若點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接PC.

①寫出BP,BD的長(zhǎng)；

②求證：四邊形BCPD是平行四邊形.

（2）如圖2,若BD=AD,過(guò)點(diǎn)P作PHLBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,求PH的長(zhǎng).

【分析】（1）①分別在Rt^ABC,Rt^BDC中，求出AB、BD即可解決問(wèn)題；

②想辦法證明DP〃BC,DP=BC即可；

(2)如圖2中，作DNJ_AB于N,PE1AC于E,延長(zhǎng)BD交PA于M.設(shè)BD=AD=x,

則CD=4-x,在Rt△BDC中，可得x2=(4-x)2+22,推出x=i-,推出

2

DN=JRn2_DM2=^由△BDNsaBAM,可得典=毀，由此求出AM,由aADM

VBD-BN2AMAB

s/^APE,可得續(xù)他，由此求出AE=W,可得EC=AC-AE=4-區(qū)且由止匕即可

AEAP555

解決問(wèn)題.

【解答】解：(1)①在Rt^ABC中，VBC=2,AC=4,

,,AB=^22+42=2,\/5,

VAD=CD=2,

?"BD=422+2

由翻折可知，BP=BA=2遙.

②如圖1中，

A

VABCD是等腰直角三角形，

，NBDC=45°,

,ZADB=ZBDP=135°,

.?.ZPDC=135°-45°=90°,

/.ZBCD=ZPDC=90°,

.?.DP〃BC,VPD=AD=BC=2,

，四邊形BCPD是平行四邊形.

(2)如圖2中，作DN_LAB于N,PE_LAC于E,延長(zhǎng)BD交PA于M.

設(shè)BD=AD=x,則CD=4-x,

在RtABDC中，BD2=CD2+BC2,

x2=(4-x)2+22,

x=$,

2

VDB=DA,DN1AB,

，BN=AN=V^,

在RtABDN中，DN=^BD2_BN2=^,

由△BDNs^BAM,可得典=世，

AMAB

返5.

?_~2

AM275

，AM=2,

；.AP=2AM=4,

由△ADMs^APE,可得幽地，

AEAP

5

-2Jl

??--------,

AE4

.?.AE=H,

5

EC=AC-AE=4-

55

易證四邊形PECH是矩形，

1.PH=EC=A.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、勾股定理.相似三角形的判定和性質(zhì)、翻折變

換、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE并將其繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CF,連結(jié)DF,以CE、CF為鄰邊作矩形CFGE,GE與AD、

AC分別交于點(diǎn)H、M,GF交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

(1)證明：點(diǎn)A、D、F在同一條直線上；

(2)隨著點(diǎn)E的移動(dòng)，線段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)連結(jié)EF、MN,當(dāng)MN〃EF時(shí)，求AE的長(zhǎng).

【分析】（1）由△DCF四△BCE,可得NCDF=NB=90°，即可推出/CDF+/CDA=180°,

由此即可證明.

（2）有最小值.設(shè)AE=x,DH=y,貝UAH=1-y,BE=1-x,由△ECBSAHEA,推

出里上旦工可得B1-x,推出y=x?-x+l=（x-工）2+旦，由a=l>0,y有最小值,

AEAHxW24

最小值為之.

4

（3）只要證明△CFNgZ\CEM,推出NFCN=NECM,由NMCN=45。，可得NFCN=

ZECM=ZBCE=22.5°,在BC上取一點(diǎn)G,使得GC=GE,則aBGE是等腰直角三角

形，設(shè)BE=BG=a,則GC=GE=&a,可得a+&a=l,求出a即可解決問(wèn)題；

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是正方形，

，CD=CB,ZBCD=ZB=ZADC=90°,

VCE=CF,ZECF=90°,

/.ZECF=ZDCB,

/.ZDCF=ZBCE,

AADCF^ABCE,

/.ZCDF=ZB=90°,

.,.ZCDF+ZCDA=180°,

.?.點(diǎn)A、D、F在同一條直線上.

(2)解：有最小值.

理由：設(shè)AE=x,DH=y,貝UAH=1-y,BE=1-x,

?.?四邊形CFGE是矩形，

；.NCEG=90°,

/.ZCEB+ZAEH=90°

CEB+NECB=90°,

，NECB=NAEH,

VZB=ZEAH=90°,

.'.△ECB^AHEA,

?-?-B-C_--B-E，

AEAH

?

??—1_-l---x---,

xl^y

.,.y=x2-x+l=(x-—)2+二

24

Va=l>0,

，y有最小值，最小值為W.

4

ADH的最小值為工.

4

(3)解：?四邊形CFGE是矩形,CF=CE,

二四邊形CFGE是正方形，

，GF=GE,ZGFE=ZGEF=45",

；NM〃EF,

,NGNM=NGFE,ZGMN=ZGEF,

ZGMN=ZGNM,

；.GN=GM,

；.FN=EM,

VCF=CE,ZCFN=ZCEM,

.?.△CFN四△CEM,

/.ZFCN=ZECM,VZMCN=45",

/.ZFCN=ZECM=ZBCE=22.5°,

在BC上取一點(diǎn)G,使得GC=GE,則ABGE是等腰直角三角形，設(shè)BE=BG=a,則

GC=GE=\/^a,

??a—1?

??a=^2-1，

AAE=AB-BE=1-(&-1)=2-近.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等

三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的

思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

5.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(3,0),D(-1,0),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OB=OD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M,連接BE,AB,請(qǐng)?jiān)?/p>

拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q,使NQBA=NBEM,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF〃x軸，交拋物線于點(diǎn)F,連接BF,點(diǎn)G是x軸上一

點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)B,F,G,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

(2)首先證明BE_LAB,分兩種情形求解①作BQ_LEM交EM于Q,由NABQ+

NEBQ=90。，NEBQ+NBEM=90。，推出NABQ=NBEM,滿足條件，此時(shí)Q(l,1).

②當(dāng)點(diǎn)Q在AB的下方時(shí)，設(shè)Q(1,m),AB交EM于K.易知K(1,2),由4

3

GTBKSZ^CTEB,可得Q，B2=Q，K?QE列出方程即可解決問(wèn)題；

(3)由題意可知當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為±2時(shí)，以點(diǎn)B,F,G,N為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形，當(dāng)N與E重合，G與M重合時(shí)，四邊形BNFG是平行四邊形，

由此即可解決問(wèn)題；

【解答】解：(1)把A(3,0),D(-1,0)代入y=-x?+bx+c得至]-9+3b+c=°,

[-l_b+c=0

解得我=2,

lc=3

，拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

Vy=-(x-1)2+4,

AE(1,4),VA(3,0),B(0,1),

二直線BE的解析式為y=3x+l,直線AB的解析式為y=--lx+1,

3

V3X(-1)=-1,

3

ABE±AB,作BQ_LEM交EM于Q,

VZABQ+ZEBQ=90°,NEBQ+NBEM=90°,

，NABQ=NBEM,滿足條件，此時(shí)Q(l,1).

當(dāng)點(diǎn)Q在AB的下方時(shí)，設(shè)Q(1,m),AB交EM于K.易知K(1,2)

3

VZQBK=ZBEM,/BQ，K=NBQ'E,

.?.△Q'BKs^Q，EB,

.,.Q*QkCTE,

/.12+(m-1)2=(--m)?(4-m),

3

解得m=l,

4

，Q(1,-1),

4

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)或(1,1).

4

(3)如圖3中,

由題意可知當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為±2時(shí)，以點(diǎn)B,F,G,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形，

當(dāng)y=2時(shí)，-x?+2x+3=2,解得x=l土可得M(1+a,2),N4(1-&，2),

當(dāng)y=-2時(shí)，-X2+2X+3=-2,解得x=l±可得N2(1+V6?-2),N3(1-

-2),

當(dāng)N與E重合，G與M重合時(shí)，四邊形BNFG是平行四邊形，此時(shí)N5(1,4),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1+a，2)或(1-&,2)或(1+加，

-2)或(1-灰，-2)或(1,4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、兩直線垂直的判定、平

行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用

分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

6.如圖，拋物線y=ax?+bx+c(aWO),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)連接AC、BC,N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)SANBC=SAABC時(shí)，求N

點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)問(wèn)的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線l〃x軸，動(dòng)點(diǎn)P(m,3)在直線I上，

動(dòng)點(diǎn)Q(m,0)在x軸上，連接PM、PQ、NQ,當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN的

和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值.

【分析】(1)將點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)代入解析式，解關(guān)于a、b、c的方程組可得函數(shù)

解析式，配方成頂點(diǎn)式即可得點(diǎn)M坐標(biāo)；

(2)設(shè)N(t,-t?+2t+3)(t>0),根據(jù)點(diǎn)N、C坐標(biāo)用含t的代數(shù)式表示出直

線CN解析式，求得CN與x軸的交點(diǎn)D坐標(biāo)，即可表示BD的長(zhǎng)，根據(jù)SANBC=S

△ABC，即SACDB+SABDN=L\B?OC建立關(guān)于t的方程，解之可得；

2

(3)將頂點(diǎn)M(1,4)向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)M，(1,1),連接M，N交x軸

于點(diǎn)Q,連接PQ,此時(shí)M\Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最

小值，由點(diǎn)M，、N坐標(biāo)求得直線M，N的解析式，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，據(jù)此知

m的值，過(guò)點(diǎn)N作NE〃x軸交MIVT延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,可得IWE=6、NE=3、

Z

MN=^32+62=3V5,即M，Q+QN=3遙，據(jù)止匕知m=|■時(shí)，PM+PQ+QN的最小值為

375+3.

【解答】解：(1):拋物線y=ax2+bx+c(a#0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),

C(0,3),

a-b+c=0

??,9a+3b+c=0，

tc=3

a=-l

解得：，b=2，

,c=3

/.y=-X2+2X+3=-(x-1)'+4,

則拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,4)；

(2)..飛是拋物線上第四象限的點(diǎn),

.,.設(shè)N(t,-t2+2t+3)(t>0),

又點(diǎn)C(0,3),

設(shè)直線NC的解析式為y=k1x+bi，

'2

則[k[t+bi=-t+2t+3,

lbl=3

解得：ki1=-t+2,

-i=3

，直線NC的解析式為y=(-t+2)x+3,

設(shè)直線CN與x軸交于點(diǎn)D,

?SANBC=SAABC，

?,.SACDB+SABDN=X^B*OC,E|JlBD?|yc-yN|=^[3-(-1)]X3,

222

即工義(3-[3-(-t2+2t+3)]=6,

2t-2

整理，得：t?-3t-4=0,

解得:ti=4,t2=-1(舍去),

當(dāng)t=4時(shí),-t2+2t+3=-5,

AN(4,-5)；

(3)將頂點(diǎn)M(1,4)向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)(1,1),連接M，N交x軸

".'P(m,3)、Q(m,0),

...PQ，x軸，且PQ=OC=3,

...PQ〃MM',且PQ=MM',

，四邊形MMQP是平行四邊形,

.?.PM=QM',

由作圖知當(dāng)M\Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最小值,

設(shè)直線Z的解析式為

MNy=k2x+b2(k2#0),

k+b=l

將點(diǎn)M，(1,1)、N(4,-5)代入，得：,22

4k2+b2=-5

k=-2

解得：,2

戶2=3

直線M，N的解析式為y=-2x+3,

當(dāng)y=0時(shí)，x=—,

2

，Q(W,0),即m=2，

22

此時(shí)過(guò)點(diǎn)N作NE〃x軸交MM，延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

在Rt^M'EN中，VM(E=1-(-5)=6,NE=4-1=3,

.?.M，N=/不=3代，

M，Q+QN=3代，

.,.當(dāng)m=3時(shí)，PM+PQ+QN的最小值為3娓+3.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法

求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理及根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到

點(diǎn)P、Q的位置.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+c(aWO)與x軸交于A、B兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OA=2,OB=8,OC=6.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)，點(diǎn)N從B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)aMBN存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少

秒使aMBN的面積最大，最大面積是多少？

(3)在(2)的條件下，△MBN面積最大時(shí)，在BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)

P,使△BPC的面積是△MBN面積的9倍？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)由線段的長(zhǎng)度得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后把A、B、C三點(diǎn)的坐

標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c,解方程組，即可得拋物線的解析式；

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則MB=6-3t,然后根據(jù)△BHNs/^BOC,求得NH=3t，

5

再利用三角形的面積公式列出SAMBN與t的函數(shù)關(guān)系式SAMBN=-2-(t-互尸+5,

1032

利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；

(3)利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-當(dāng)+6.由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)

4

的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-jim2+-im+6).過(guò)點(diǎn)P作PE〃y軸，交BC

84

于點(diǎn)E.結(jié)合已知條件和(2)中的結(jié)果求得SAPBC=生.則根據(jù)圖形得到SAPBC=S

2

△cEp+SABEP=LEP?m+L?EP?(8-m),把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入推知：-

22

222

【解答】解：(1)VOA=2,OB=8,OC=6,

.,.根據(jù)函數(shù)圖象得A(-2,0),B(8,0),C(0,6),

4a-2b+c=0

根據(jù)題意得卜4a+8b+c=0,解得，

,c=6

二拋物線的解析式為y=-當(dāng)2+&+6；

84

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t,BN=t.

；.MB=10-3t.

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6).

在RtaBOC中，BC=Jg2+62=10.

如圖，過(guò)點(diǎn)N作NHJ_AB于點(diǎn)H.

，NH〃(:0,

/.△BHN^ABOC,

???HNL-BN，enHN_一t,

0CBC610

.*.HN=2t.

5

?0MBN=.B?HN=L(10-3t)?3=--Lt2+3t=--L(t-空)2+且

225101032

當(dāng)aMBN存在時(shí)，OVtvW,

3

.".當(dāng)t=5時(shí),

SAMBN最大二—

2

(3)設(shè)直線BC的解析式為廣kx+c(kWO).

(3

把B(8,0),C(0,6)代入，得，8k+c=0,解得卜二7,

I>6[c=6

二直線BC的解析式為y=-lx+6.

4

?.?點(diǎn)P在拋物線上.

二設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-Am2+-%n+6),

84

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE〃y軸，交BC于點(diǎn)E,則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,--^471+6).

4

當(dāng)aMBN的面積最大時(shí)，SMBC=9SAMBN=駕，

2

SAPBC=SACEP+SABEP=—EP?m+-l_*EP*(8-m)=Lx8?EP=4X(-jlm2+3m)=-

2228

—m2+12m,B[J-21n)2+12m=—.解得mi=3,m=5,

2222

；.P(3,西)或(5,il).

88

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)

法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式，依據(jù)題意列出關(guān)于

SA

MBN與t的函數(shù)關(guān)系式以及SAPBC的面積與m的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).與y軸

交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E,與

y軸交于點(diǎn)F,求PE+EF的最大值；

(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).

①當(dāng)4BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若ABCD是銳角三角形，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

(2)易得BC的解析式為y=-x+3,先證明4ECF為等腰直角三角形，作PH_Ly

軸于H,PG〃y軸交BC于G,如圖1,則^EPG為等腰直角三角形，PE=1pG,

2

設(shè)P(t,t2-4t+3)(l<t<3),則G(t,-t+3),接著利用t表示PF、PE,所以

PE+EF=2PE+PF=-叔+3位+近,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；

(3)①如圖2,拋物線的對(duì)稱軸為直線*=-三2,設(shè)D(2,y),利用兩點(diǎn)間的

距離公式得到灰2=18,DC2=4+(y-3)2,BD2=l+y2,討論:當(dāng)ZkBCD是以BC為

直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，18+4+(y-3)2=l+y2；當(dāng)aBCD是以BC

為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，4+(y-3)2=i+y2+i8,分別解方程求出

t即可得到對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo)；

②由于4BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+(y-3)2+l+y2=18,解得

竺近，丫2=生叵，得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,史五)或(2,三叵)，

2222

然后結(jié)合圖形可確定4BCD是銳角三角形時(shí)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍.

【解答】解：(1)把B(3,0),C(0,3)代入y=x?+bx+c得［9+3b+c=0,解得［b=-4,

Ic=3Ic=3

拋物線的解析式為y=x2-4x+3；

(2)易得BC的解析式為y=-x+3,

直線y=x-m與直線y=x平行，

二直線y=-x+3與直線y=x-m垂直,

.,.ZCEF=90°,

???△ECF為等腰直角三角形，

作PH_Ly軸于H,PG〃y軸交BC于G,如圖l,AEPG為等腰直角三角形,PE=^,PG,

2

設(shè)P(t,t2-4t+3)(l<t<3),貝ijG(t,-t+3),

.-.PF=7^H=V2t>PG=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,

/.PE=^1PG=-返t2+22/lt,

222

，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=-匹?+3位+心-^2+4^=-&(t-2)2+472?

當(dāng)t=2時(shí)，PE+EF的最大值為4加；

(3)①如圖2,拋物線的對(duì)稱軸為直線*=-工2,

2

設(shè)D(2,y),則BC2=32+32=18,DC2=4+(y-3)2,BD2=(3-2)2+y2=l+y2,

當(dāng)ABCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DC2=BD2,即18+4+

(y-3)2=i+y2,解得y=5,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)；

當(dāng)ABCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DB2=DC2,即4+(y

-3)2=l+y2+18,解得y=-l,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)；

②當(dāng)4BCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，DC2+DB2=BC2,即4+(y-3)2+l+y2=18-

解得yi=3+'/E,丫2=乏叵，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3+且）或（2,為豆），

2222

所以4BCD是銳角三角形，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為生叵VyV5或-l<y

_2

<±VTT,

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次

函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討

論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

9.如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）,B（0,-2）,并與x軸交于點(diǎn)

C,點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸I上任意一點(diǎn)（點(diǎn)M,B,C三點(diǎn)不在同一直線上）.

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在拋物線上找出兩點(diǎn)七,P2,使得△MP1P2與aMCB全等，并求出點(diǎn)Pi，

P2的坐標(biāo)；

（3）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得NBQC為直角，若存在，作出點(diǎn)Q（用尺

規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)分三種情況：

①當(dāng)△P1MP2且^CMB時(shí)，取對(duì)稱點(diǎn)可得點(diǎn)Pi，P2的坐標(biāo)；

②當(dāng)△BMC絲AP2PlM時(shí)，構(gòu)建回P2MBe可得點(diǎn)Pi，P2的坐標(biāo)；

③△P1MP2會(huì)ACBM,構(gòu)建團(tuán)MP1P2C,根據(jù)平移規(guī)律可得Pi，P2的坐標(biāo)；

(3)如圖3,先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，以BC為直徑畫圓，與對(duì)稱軸的

交點(diǎn)即為點(diǎn)Q,這樣的點(diǎn)Q有兩個(gè)，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明△BDQi

^△QiEC,列比例式，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(0,-2)代入拋物線y=x?+bx+c中得：

fl-b+c=0

lc=-2'

解得：仔T,

lc=-2

拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-x-2；

(2)如圖1,Pi與A重合，P2與B關(guān)于I對(duì)稱，

.*.MB=P2M,PIM=CM,PIP2=BC,

/.△PIMP2^ACMB,

Vy=x2-x-2=(x-—)2--,

24

此時(shí)Pi(-1,0),

VB(0,-2),對(duì)稱軸：直線x=L,

：.P2(1,-2)；

如圖2,MP2〃BC,且MP2=BC,

此時(shí)，Pi與C重合，

VMP2=BC,MC=MC,ZP2MC=ZBPIM,

.'.△BMC絲2PlM,

APi(2,0),

由點(diǎn)B向右平移上個(gè)單位到M,可知：點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位到P2,

22

當(dāng)*=回寸，y=(---)2—2工，

22244

.力2(互，I)；

24

如圖3,構(gòu)建回MP1P2C,可得△P1MP2且△CBM,此時(shí)P2與B重合，

由點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位到B,可知：點(diǎn)M向左平移2個(gè)單位到Pi，

...點(diǎn)Pi的橫坐標(biāo)為-3,

2

當(dāng)x=-3n寸，y=(--5.-2-a=4-,

222444

APi(-上，工)，P2(0,-2)；

24

(3)如圖3,存在，

作法：以BC為直徑作圓交對(duì)稱軸I于兩點(diǎn)Qi、Cb，

則/BQiC=NBQ2c=90。；

過(guò)Qi作DE_Ly軸于D,過(guò)C作CE^DE于E,

設(shè)Qi(―,y)(y>0),

2

易得△BDQISAQIEC,

.BDDQI

，，Q7E="EC"，

.2+yy

"2-^y'

乙2

y2+2y-

4

解得』=三（舍）“竽,

.?必（1,左丘）,

22_

同理可得：Cb（1,2近）；

22

苧）或亭

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、

二次函數(shù)的性質(zhì)、圓周角定理以及三角形全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是：（1）

利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性解決三角形全等問(wèn)

題；（3）分類討論.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用二次

函數(shù)的對(duì)稱性，再結(jié)合相似三角形、方程解決問(wèn)題是關(guān)鍵.

10.如圖1,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為（4,0）,（0,6）,直線AD

交BC于點(diǎn)D,tanZOAD=2,拋物線Mi：y=ax2+bx（aWO）過(guò)A,D兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)和拋物線Mi的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是拋物線Mi對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NCPA=90。時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)

P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)E(0,4),連接AE,將拋物線Mi的圖象向下平移m(m>0)

個(gè)單位得到拋物線

M2.

①設(shè)點(diǎn)D平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)D”恰好在直線AE上時(shí)，求m的值；

②當(dāng)lWxWm(m>l)時(shí)，若拋物線M2與直線AE有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范

圍.

【分析】(1)如圖1中，作DHLOA于H.則四邊形CDHO是矩形.在RgADH

中，解直角三角形，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

(2)如圖1-1中，設(shè)P(2,m).由NCPA=90。，可得PC2+PA2=AC2,可得2?+

(m-6)2+22+m2=42+62?解方程即可；

(3)①求出D，的坐標(biāo)；②構(gòu)建方程組，利用判別式△>(),求出拋物線與直線

AE有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的m的范圍；③求出x=m時(shí)，求出平移后的拋物線與直線AE

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；結(jié)合上述的結(jié)論即可判斷.

【解答】解：(1)如圖1中，作DHLOA于H.則四邊形CDHO是矩形.

?.,四邊形CDHO是矩形，

A0C=DH=6,

VtanZDAH=-^2,

AH

，AH=3,

V0A=4,

.*.CD=OH=1,

AD(1,6),

把D(1,6),A(4,0)代入y=ax?+bx中，則有a+b=6

16a+4b=0

解得fa=-2,

lb=8

，拋物線Mi的表達(dá)式為y=-2X2+8X.

(2)如圖1-1中，設(shè)P(2,m).

VZCPA=90",

.,.PC2+PA2=AC2,

A22+(m-6)2+22+m2=42+62,

解得m=3±Vi3，

：.P(2,3+/)，P'(2,3-V13).

(3)①如圖2中,

易知直線AE的解析式為y=-x+4,

x=l時(shí)，y=3,

：.D'(1,3),

平移后的拋物線的解析式為y=-2X2+8X-m,

把點(diǎn)>坐標(biāo)代入可得3=-2+8-m,

m=3.

②由1yz'-x+l,消去y得到2x2-9x+4+m=0,

y=-2

當(dāng)拋物線與直線AE有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△>(),

/.92-4X2X(4+m)>0,

??*4II9I,

8

③x=m口寸，-m+4=-2m2+8m-m,解得m=2+&或2-&(舍棄)，

綜上所述，當(dāng)2+&WmV空時(shí)，拋物線M2與直線AE有兩個(gè)交點(diǎn).

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形、銳角三角

函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方

程組，利用判別式解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

11.如圖，拋物線y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-5,0),B(1,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)E(X,y)為拋物線上一點(diǎn)，且-5<x<-2,過(guò)點(diǎn)E作EF〃x

軸，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F,作EHJ_X軸于點(diǎn)H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF

周長(zhǎng)的最大值；

(3)如圖2,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P,A,C為

頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

(2)構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

(3)分三種情形分別求解①當(dāng)NACP=90。，由AC?+PC2=PA2,列出方程即可解決.②

當(dāng)NCAP=90。時(shí)，由AC2+PA2=PC2,列出方程即可解決.③當(dāng)NAPC=90。時(shí)，由

PA2+PC2=AC2,列出方程即可.

【解答】解：(1)把A(-5,0),B(1,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c,

得到「25-5b+c=0,

I-l+b+c=0

解得卜與

lc=5

.?.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2-4x+5.

(2)如圖1中,

???拋物線的對(duì)稱軸x=-2,E(x,-x2-4x+5),

/.EH=-x2-4x+5,EF=-2-x,

矩形EFDH的周長(zhǎng)=2(EH+EF)=2(-x2-5x+3)=-2(x+§)

22

,:-2<0,

.?.x=-3時(shí)，矩形EHDF的周長(zhǎng)最大，最大值為工L.

22

①當(dāng)NACP=90°,VAC2+PC2=PA2,

(572)2+22+(m-5)2=32+m2,

解得m=7,

.,.Pi(-2,7).

②當(dāng)NCAP=90°時(shí)，,.?AC2+PA2=PC2,

(5&)2+32+m2=22+(m-5)2,

解得m=-3,

/.P2(-2,-3).

③當(dāng)NAPC=90°時(shí)，?.?PA2+PC2=AC2,

A32+m2+22+(m-5)2=(5&)2,

解得m=6或-1,

AP3(-2,6),P4(-2,-1),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,7)或(-2,-3)或(-2,6)或(-

2,-1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、直角三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討

論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

12.拋物線y=ax?+bx+c過(guò)A(2,3),B(4,3),C(6,-5)三點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖①，拋物線上一點(diǎn)D在線段AC的上方，DELAB交AC于點(diǎn)E,若滿足

里YE,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

AE2

(3)如圖②，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，過(guò)A作直線l_LAB,若點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)P、Q,使得以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與

△ABF相似，若存在，求P、Q的坐標(biāo)，并求此時(shí)△BP