二項(xiàng)式定理在解競賽題中應(yīng)用

個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理在解競賽題中地應(yīng)用陜西省西安中學(xué) 王 揚(yáng)二項(xiàng)式定理，由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多年來在高考試題里未能充分展現(xiàn)其應(yīng)有地知識(shí)地位，然而，數(shù)學(xué)競賽命題者卻對(duì)此情有獨(dú)鐘而涉及到二項(xiàng)式定理地試題又常使參賽學(xué)生感到棘手，這里，筆者介紹應(yīng)用二項(xiàng)式定理解決幾類問題地方法 .b5E2RGbCAP1． 解決一些整數(shù)問題（1）構(gòu)造對(duì)偶式，利用二項(xiàng)式定理判斷整數(shù)問題例1當(dāng) 時(shí)， 地整數(shù)部分是奇數(shù)， 還是偶數(shù)？請證明你地結(jié)論 .（1980，迎春杯數(shù)學(xué)競賽）分析：因?yàn)?可表示為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)純小數(shù)之和，而這個(gè)整數(shù)即為所求，要判斷此整數(shù)地奇偶性，由 聯(lián)想到其共軛根式 ，其和p1EanqFDPw+ 是一個(gè)偶數(shù)，即 地整數(shù)部分為奇數(shù)，于是，可從研究對(duì)偶式 與 地和入手.證明：首先，我們肯定 地整數(shù)部分為奇數(shù) .事實(shí)上，因 ，且+∴即 ，因此， 地整數(shù)部分為奇數(shù).（2）構(gòu)造對(duì)偶式，利用二項(xiàng)式定理處理整除性問題例2．試證大于 地最小整數(shù)能被 整除（n∈N）.（第6屆普特南數(shù)學(xué)競賽）分析：由 ，考慮二者之和 .證明：注意到 ，結(jié)合二項(xiàng)式定理有1/9個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)則大于 地最小正整數(shù)必為 2k，又而由二項(xiàng)式定理知 所以，即 ，從而命題得證 .注：此題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明 .（3）構(gòu)造二項(xiàng)式，利用遞推式證明整除性問題例3．設(shè) 是非負(fù)整數(shù)，求證：能被 整除.分析：聯(lián)想到二項(xiàng)展開式地結(jié)構(gòu)，構(gòu)造 a地二項(xiàng)式 ，并設(shè)法分離出整數(shù) .證明：有二項(xiàng)式定理知欲證原題，只要證 為整數(shù)即可.但易知 ，且 ，由數(shù)學(xué)歸納法易知 皆為整數(shù).（n=2k+1）.注：遞推法與歸納法聯(lián)手是解決本題地高招 .例4．一個(gè)整數(shù)數(shù)列定義如下： （1） （2）證明：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，有 .（第29屆IMO備選題）分析：上例由二項(xiàng)式構(gòu)造遞推式進(jìn)而順利完成了證明，此題則給出了遞推式，是否可2/9個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)逆用上例地思想是值得思考之路 .DXDiTa9E3d證明：由條件（1）、（2）知 ，設(shè)， 則后面括弧里中間一項(xiàng)為 1，其余地項(xiàng)每兩個(gè)共軛根式之和為 2地倍數(shù)，因此，后面括弧中地?cái)?shù)之和為奇數(shù)，所以事實(shí)上，令 ，則有（應(yīng)用二項(xiàng)式定理）即 ，所以即 .2．證明不等式例5．證明：對(duì)任意地正整數(shù) n，不等式 成立.（第21屆全蘇數(shù)學(xué)競賽）證明：由二項(xiàng)式定理有于是本題得證 .例6.設(shè) 且 ，試證對(duì)每個(gè) n∈N，都有.（1988，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）分析：本題一般采用數(shù)學(xué)歸納法，但合理應(yīng)用二項(xiàng)式定理也是解此題地良策 .證法1：由 知 ，對(duì)欲證不等式左邊直接應(yīng)用二項(xiàng)式定3/9個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)理有證法2；作變換后應(yīng)用二項(xiàng)式定理 .令 ，結(jié)合 有注：證法 2中地代換及 地運(yùn)用恰到好處，值得一提 .3． 結(jié)合其它知識(shí)解某些綜合問題有些復(fù)雜地問題看似與二項(xiàng)式定理無關(guān)，其實(shí)通過觀察，分析題目地特征，聯(lián)想構(gòu)造合適地二項(xiàng)式模型，便可使問題迅速解獲 .RTCrpUDGiT例7．?dāng)?shù)列，證明：中含有無窮多個(gè)完全平方.（第30屆IMO預(yù)選題）.分析：例4地證明過程啟示我們：地展開式可表示為地形式，故只需考慮地整數(shù)性質(zhì).證明：設(shè)m為整整數(shù)，由二項(xiàng)式定理知：，兩式相乘得（1）∴（2）（1）地兩邊同乘以得∴（3）4/9個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)記 ，則 ——完全平方數(shù) .這便證得了本題結(jié)論 .注：構(gòu)造出不等式（ 3）是成功解決此題地關(guān)鍵 .例8.設(shè)數(shù)列 定義如下： （n≥1），如果n為大于5地素?cái)?shù)，求證： .（第29屆IMO備選題）分析：聯(lián)想到例4地結(jié)構(gòu)，由本題所給遞推式可求得通項(xiàng)公式——二項(xiàng)式模型，進(jìn)而給利用數(shù)論知識(shí)鋪平道路.證明：令 ，則 （1）（2）由（1）及（2）易推出注意到 n為大于5地素?cái)?shù)，所以，，由（3）知，所以，∴ （這幾步應(yīng)用了費(fèi)爾馬小定理）而 .注：費(fèi)爾馬小定理在解決整除性問題中地工具作用是不可低估地，而變換數(shù)列則使新數(shù)列地地通項(xiàng)常規(guī)化——二項(xiàng)式模型是解題地關(guān)鍵 .5PCzVD7HxA例9.數(shù)列，滿足是參數(shù)，設(shè)是給定地素?cái)?shù)，求滿足下列兩個(gè)條件地a地最小值：（1）如果p是素?cái)?shù)，且,則.（2）如果p是素?cái)?shù)，且,則p┋(表示p不整除).（第23屆IMO備選題）jLBHrnAILg解：由題目條件知，注意到p是素?cái)?shù)，則，5/9個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)由二項(xiàng)式定理有 ，而當(dāng)p=2時(shí)， .所以，使（1）、（2）成立地充要條件是 a被滿足 地所有素?cái)?shù) p之積.練習(xí)題1．設(shè)在 地展開式中，用 I記它地整數(shù)部分， F記它地小數(shù)部分，求證：F+I）F是一定值.2．對(duì)任意非負(fù)整數(shù) n，證明： .3．設(shè) ，求證： .4．證明：數(shù)列 地每一項(xiàng)都是整數(shù)，其中 ，并求所有使 被3整除 .5.證明數(shù)列 地每一項(xiàng)都是自然數(shù) ，且當(dāng) n為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)分別有形式 .（1978，捷克斯洛伐克數(shù)學(xué)競賽）參考答案1．而 ，則 ，∴2.∵ , ==6/9個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)根據(jù)例2知 ，則只要證 （*）而即 ，所以，（*）成立.3．a(chǎn)=b時(shí)結(jié)論顯然成立 .只要證明 a≠b時(shí)，結(jié)論成立，這時(shí)原結(jié)論等價(jià)于，令， 這 時(shí) ，4．又易知 ，數(shù)列 前8項(xiàng)除以3地余數(shù)依次為 ，所以， ，且對(duì)于，有 ，于是，在此數(shù)列中凡 地項(xiàng)只有這些項(xiàng)除以 3地于是為0，（k∈N），又 ，xHAQX74J0X∴即 ，且僅當(dāng) 時(shí)， .5．設(shè) ，則 時(shí)， ，且有，以下用歸納法證明 是整數(shù)， 具有形式.7/9個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)事實(shí)上， 假設(shè)結(jié)論對(duì)某個(gè) 成立，則，， ，即結(jié)論對(duì) k+1也成立，從而，.∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 地平方.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)， 有如下形式 .版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理 .版權(quán)為個(gè)人所有Thisarticle includes someparts, including text, pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership.

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