計算方法九矩陣特征對的數(shù)值解法

計算方法九矩陣特征對的數(shù)值解法第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四特征多項式為按最后一列展開，得可以證明，和的根都是實單根，滿足第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四序列的變號數(shù)定義為在的變號數(shù)。遇到時，去掉。例如，則定理9.1

的變號數(shù)就是三對角矩陣在上的特征值個數(shù)。進而，若在區(qū)間則上的特征值個數(shù)為第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四線性代數(shù)中如下結(jié)果可用于估計特征值所在區(qū)間：1）矩陣的跡=的特征值之和2）3）圓盤定理：的特征值均位于以下個圓盤的并集中：特別地，個圓盤的相交部分中必有個特征根，孤立的圓盤中必有一個特征根。第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四求Jacobi矩陣之特征對的攻略：1）綜合利用變號數(shù)、圓盤定理等確定有根區(qū)間。2）在有根區(qū)間上用二分法或Newton法求的根。3）用反冪法求的特征向量第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四例1.求在（0，3.5）中的全部特征值：解.先計算變號數(shù)。由得從而第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四即在[0,3.5]上有兩個根。進一步，可以算出因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一個根。可以用二分法求出：上有單根。上有單根?！嫌袉胃Ｉ嫌袉胃５?頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四9.1.2對稱矩陣化為Jacobi矩陣定義.次對角線以下元素都為零的準上三角矩陣稱為Hessenberg矩陣（H陣）。若次對角元素皆非零，則稱為不可約Hessenberg矩陣。對方陣可以通過Household變換化成H陣：選取其中使得第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四于是，如此進行步之后，得到Hessenberg矩陣特別地，當是對稱矩陣時，成為Jacobi陣。可以用變號數(shù)方法以及二分法等等求解。第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四例.求對稱矩陣特征值解.先計算Househould矩陣：???算錯了？作用到得第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四算出由知在（0，5）間至少有一個根。類似可以看出在（5，8）和（14，20）間各有一個根。再用二分法或Newton法即可求出特征值。第11頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四9.3

方法9.3.1基本公式已知，任意矩陣可以分解為正交矩陣和上三角矩陣的乘積。可惜的是不相似于，不能直接用來求特征值。但是，畢竟是上三角矩陣。相似變換也許在某種程度上保留了上三角