計(jì)算方法電子教案第二章插值法與數(shù)值微分

計(jì)算方法電子教案第二章插值法與數(shù)值微分第1頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四求近似函數(shù)的方法:由實(shí)驗(yàn)或測量的方法得到所求函數(shù)y=f(x)在互異點(diǎn)x0,x1,...,xn處的值y0,y1,…,yn,構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)(x)作為函數(shù)y=f(x)的近似表達(dá)式

y=f(x)(x)使(x0)=y0,(x1)=y1,,(xn)=yn, (a)這類問題稱為插值問題。f(x)稱為被插值函數(shù)，(x)稱為插值函數(shù)，x0,x1,...,xn稱為插值節(jié)點(diǎn)。(a)式稱為插值條件。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式。插值的任務(wù)就是由已知的觀測點(diǎn),為物理量(未知量)建立一個(gè)簡單的、連續(xù)的解析模型，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點(diǎn)處的特性。第2頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

最簡單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式

Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(1) 這時(shí)插值問題變?yōu)?求n次多項(xiàng)式Pn(x),使?jié)M足插值條件

pn(xi)=yi,,i=0,1,2,…，n, ……(2) 只要求出Pn(x)的系數(shù)a0,a1,…,an即可,為此由插值條件(2)知Pn(x)的系數(shù)滿足下列n+1個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組

a0+a1x0+…+anx0n=y0

a0+a1x1+…+anx1n=y1

……. a0+a1xn+…+anxnn=yn ……(3)第3頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

而ai(i=0,1,2,…,n)的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式

= ……(4)由于xi互異，所以(4)右端不為零，從而方程組(3)的解a0,a1,…an

存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,…n),Pn(x)就可構(gòu)造出來了。但遺憾的是方程組(3)是病態(tài)方程組,當(dāng)階數(shù)n越高時(shí)，病態(tài)越重。為此我們從另一途徑來尋求獲得Pn(x)

的方法----Lagrange插值和Newton插值。第4頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

2.1線性插值先從最簡單的線性插值(n=1)開始。這時(shí)插值問題(2)就是求一次多項(xiàng)式

P1(x)=a0+a1x使它滿足條件

P1(x0)=y0,P1(x1)=y1,令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1,由于

l0(x0)=1,l0(x1)=0, l1(x0)=0,l1(x1)=1.

這樣l0(x)含有因子x-x1,令l0(x)=λ(x-x1),再利用l0(x0)=1確定其中的系數(shù)，結(jié)果得到 x-x1

l0(x)=------------, x0-x1類似的可得到x-x0

l1(x)=------------,x1-x0這樣 x-x1x-x0

P1(x)=---------y0+--------y1,

x0-x1 x1-x0

l0(x),l1(x)稱為以x0,x1為節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)。(x0,y0)(x1

,y1)P1(x)f(x)第5頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四Newton插值第6頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四Newton插值把直線方程利用點(diǎn)斜式表示：由于函數(shù)f(x)在xi,xj處一階均差的定義是：（＊）第7頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四因此,是f(x)

在x1,x0處的一階均差，利用均差的對稱性，（＊）式可以表示為：這種形式的插值叫做牛頓（Newton）插值．第8頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四定理2.1：設(shè)給定

x x0 x1y y0 y1

是過x0,x1的線性插值函數(shù)，[a,b]是包含(x0,x1)的任一區(qū)間，并設(shè)在[a,b]上存在，則對任意給定,總存在一點(diǎn)使且可以證明：第11頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四roll定理如果函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0第12頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四2.2二次插值

線性插值是用兩點(diǎn)和來構(gòu)造y=f(x)的插值函數(shù)，下面用三個(gè)點(diǎn)來構(gòu)造y=f(x)過三點(diǎn)的插值函數(shù)。（過三點(diǎn)可以作一條拋物線）。第13頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

構(gòu)造l0(x):由于l0(x)有x1和x2二個(gè)零點(diǎn)，因此有因子(x-x1)(x-x2)，又因有l(wèi)0(x）是一個(gè)次數(shù)不高于二次的多項(xiàng)式，所以，還可能相差一個(gè)常數(shù)因子，于是把l0(x）寫成：當(dāng)互異時(shí)方程組的解唯一為了確定系數(shù)將三點(diǎn)代入方程得：第14頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四x0x1x2

f(x)f(x)拋物插值第15頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四利用條件，可求得：那么x0點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為：同理構(gòu)造為：第16頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四插值函數(shù)：牛頓二次插值多項(xiàng)式：假設(shè)過的二次插值多項(xiàng)式具有下面的形式：確定系數(shù)A,B,C：利用我們有：第17頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四再利用有：

B=最后確定C：（為一階均差的均差）其中第18頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四f[xi,xj,xk]為f(x)在點(diǎn)xi,xj,xk處的二階差商一般的稱為f(x)在點(diǎn)x0,x1,…,xn處的n階差商。于是得到二次牛頓插值多項(xiàng)式：第19頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

三、例題：例1:已給sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用線性插值及拋物插值計(jì)算sin0.3367的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。解：由題意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。

用線性插值及拋物插值計(jì)算，取x0=0.32及x1=0.34,又由公式得

第20頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四其截?cái)嗾`差為其中 ，因f(x)=sinx，f//(x)=-sinx，可取 ，于是

R1(0.3367)=sin0.3367–P1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.9210–5，

若取x1=0.34，x2=0.36為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為 ， 第21頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四其截?cái)嗾`差為 ，其中于是用拋物插值計(jì)算sin0.3367時(shí)，可得第22頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。其截?cái)嗾`差得其中于是第23頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四例2:

已測得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù)高度(m)0100300100015002000.壓強(qiáng)(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485

試用二次插值法求1200米處的壓強(qiáng)值.5/7/2023第24頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四解：設(shè)x為高度，y為大氣壓強(qiáng)的值，選取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式(x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)

p2(x)=--

--------------

y0+---------------

y1+---------------

y2(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)代入已知的數(shù)值，得

p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200-2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980所以y(1200)p2(1200)=0.82980(kgf/m2)第25頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四例3.取節(jié)點(diǎn)x0=0,x1=1和對建立線性插值多項(xiàng)式和二次插值多項(xiàng)式。解：先構(gòu)造x0=0,x1=1兩點(diǎn)的線性插值多項(xiàng)式。

x 0 1y 1 e-1（1）拉格朗日插值多項(xiàng)式先選過(0,1)和(1,e-1)的一次插值函數(shù)第26頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四這樣：

=(2)牛頓型插值多項(xiàng)式：因?yàn)?，所以?7頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四構(gòu)造過的二次插值函數(shù)，因?yàn)?1)拉格朗日二次插值函數(shù)。構(gòu)造過的二次插值基函數(shù)第28頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四因此

=因此（2）牛頓型二次插值函因?yàn)椋旱?9頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四2.3n次插值設(shè)給定函數(shù)表

x x0 x1 ……xny y0 y1 ……yn要求構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式滿足條件：（1）是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式（2）把插值多項(xiàng)表示成第30頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四寫成方程組形式：其中系數(shù)行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式當(dāng)互異時(shí)方程組的解存在而且唯一，這說明過n+1個(gè)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式存在而且唯一，

第31頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四拉格朗日型n次插值多項(xiàng)式：（1）先構(gòu)造n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,……xn上的n次插值基函數(shù)li(x)（2）li(x)的數(shù)值表：

x0x1,……xn

l0(x)10

,……0l1(x)01

,……0…………ln(x)00

,……1（3）確定li(x)的零點(diǎn)，構(gòu)造li(x):第32頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

（4）利用得：（5）這就是拉格朗日型n次插值多項(xiàng)式的一般形式第33頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四為了得到n次牛頓型插值多項(xiàng)式：

（1）構(gòu)造均差表：這里

一階差商

二階差商

三階差商

四階差商

第34頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四（2）

Newton-n次插值形式逐次線性插值（3）第35頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四N次插值表見教材表2.7第36頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四例1:給定數(shù)據(jù)表f(x)=lnx數(shù)據(jù)表

xi2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.構(gòu)造差商表2.用二次Newton差商插值多項(xiàng)式，近似計(jì)算f(2.65)的值3.寫出四次Newton差商插值多項(xiàng)式N4(x)

解:差商表第37頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)

第38頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

插值函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)n次插值基函數(shù)拉格朗日(Lagrange)插值多項(xiàng)式插值余項(xiàng)關(guān)鍵詞：第39頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具，就是所謂的代數(shù)插值。對代數(shù)插值來說，問題的提法是這樣的，當(dāng)給出了n+1個(gè)點(diǎn)上的一張函數(shù)表后，要構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式(x)，滿足下面兩個(gè)條件：(1)(x)是一個(gè)不超過n次的多項(xiàng)式；(2)在給定的點(diǎn)xi(I=0,1,…,n)上與f(xi)取相同值，即(xi)=yi(I=0,1,…,n)。

我們稱(x)為f(x)的插值函數(shù)，點(diǎn)xi為插值節(jié)點(diǎn)。插值函數(shù)是計(jì)算方法的基本工具。返回第40頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四 若n次多項(xiàng)式lj(x)(j=0,1,...,n)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0x1...xn上滿足條件就稱這n+1個(gè)n次多項(xiàng)式l0(x),l1(x),…,ln(x)為節(jié)點(diǎn)x0，x1，…,xn上的n次插值基函數(shù)。返回第41頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四

插值余項(xiàng)：若在[a，b]上用Pn(x)近似f（x）,則截?cái)嗾`差為Rn(x)=f(x)-Pn(x),也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。返回第42頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四形如的插值多項(xiàng)式Pn(x)稱為拉格朗日(Lagrange)插值多項(xiàng)式。返回第43頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四2.4分段線性插值問題：從余項(xiàng)分析看，插值多項(xiàng)式與被插值多項(xiàng)式逼近的程度是同分點(diǎn)的數(shù)目及位置有關(guān)的，能否說，分點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式對函數(shù)的逼近程度越好呢？答案是否定的。例給定函數(shù)

取等距插值節(jié)點(diǎn)

試建立插值多項(xiàng)式,并研究它的誤差.第44頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點(diǎn)附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象Ln(x)f(x)分段低次插值第45頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四在每個(gè)區(qū)間上，用1階多項(xiàng)式

(直線)逼近f(x):記，易證：當(dāng)時(shí)，一致失去了原函數(shù)的光滑性。yxoy=f(x)y=p(x)第46頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四分段線性插值函數(shù)：設(shè)在區(qū)間[a,b]上，給定n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值

求一個(gè)插值函數(shù)

，具有下面性質(zhì)：

(1)（2）在每個(gè)小區(qū)間上是線性函數(shù)，插值函數(shù)叫做區(qū)間[a,b]上對數(shù)據(jù)的分段線性插值函數(shù)。構(gòu)造數(shù)值表：

需滿足的條件：

第47頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四第48頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四圖示第49頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四分段插值函數(shù)的形式：取等距插值節(jié)點(diǎn)，作分段線性插值函數(shù),并計(jì)算的值。解給出區(qū)間[-1,0]上的函數(shù)表。X-1-0.8-0.6-0.4-0.20Y0.038460.058820.100000.200000.500000.0000例3

給定函數(shù)第50頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四在[0,1]區(qū)間上的函數(shù)值可利用對稱性得到，先構(gòu)造各點(diǎn)的基函數(shù)：根據(jù)公式有：第51頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四那么分段線性插值函數(shù)是計(jì)算當(dāng)x=-0.9的值：與前面的計(jì)算相比，顯然分段插值函數(shù)計(jì)算的結(jié)果是比較滿意的。定理2.4設(shè)給定節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)的函數(shù)值在[a,b]上存在，

是[a,b]上由數(shù)據(jù)構(gòu)成的分段分段線性插值函數(shù).第52頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四則:證明：根據(jù)插值余項(xiàng)定理（2.1）在每個(gè)小區(qū)間上有由于其中

第53頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四由于定理得證.第54頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四2.5Hermite插值假設(shè)函數(shù)y=f(x)是在[a,b]上有一定光滑性的函數(shù),在xo…xn上有n+1個(gè)異點(diǎn),f(x)在這些點(diǎn)上取值yo…...yn.求一個(gè)確定的函數(shù)p(x)在上面n+1個(gè)點(diǎn)上滿足p(xi)=yii=0,1,…,n.這是最簡單的插值問題,如果除了知道f(x)在插值基點(diǎn)上的取值外,還知道f(x)在插值基點(diǎn)上的其他描述(如知道f(x)在插值基點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值)。如何來構(gòu)造插值函數(shù)呢?Hermite插值也叫帶指定微商值的插值,它要構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù),不但在給定節(jié)點(diǎn)上取函數(shù)值,而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密和程度更好。第55頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)給定x0,x1和相應(yīng)的函數(shù)y0,y1以及微商m0,m1,構(gòu)造插值函數(shù)H(x),要求H(x)滿足條件:H(x),是不超過三次多項(xiàng)式,(2)

H(x0)=y0,H(x1)=y1,因?yàn)樵诔瘮?shù)值為零外，微商值也是零，所以有

另外，最多是一個(gè)三次多項(xiàng)式，因此可表示為：其中：利用得a=1,在此應(yīng)有保證

為了確定b對求微商：第56頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四把x=x0代入后：（解出b）

利用有：第57頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四于是有：，此外是一個(gè)不超過三次的多項(xiàng)式，于是函數(shù)可表示為：同理構(gòu)造：下面構(gòu)造

，因

在上函數(shù)值為零,在上微商值為零，故有因子第58頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四同理插值多項(xiàng)式可以寫成：第59頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四2.6分段三次Hermite插值給定［a,b］上的一串分點(diǎn)作一個(gè)分段三次Hermite插值函數(shù)，H（x），要求滿足條件：

,(2)在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式。

構(gòu)造基函數(shù)：及f(x)在分點(diǎn)上的函數(shù)值和微商值第60頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四第61頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四第62頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四分段三次Hermite插值函數(shù)第63頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四樣條插值函數(shù)（Spline）樣條：這一名詞來源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將一些指定點(diǎn)聯(lián)結(jié)成一條光滑曲線，往往用細(xì)長的木條，把相近的點(diǎn)聯(lián)接在一起，使之形成一條光滑的曲線。它的連接點(diǎn)處具有連續(xù)的曲率。設(shè)在區(qū)間[a,b]上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn).給定這些點(diǎn)上的函數(shù)值,現(xiàn)在要求構(gòu)造一個(gè)三次樣條函數(shù)S（x），使得滿足下列條件：(1)(2)在每個(gè)小區(qū)間上是一個(gè)三次多項(xiàng)式；(3).第64頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四構(gòu)造函數(shù)：假設(shè)在區(qū)間上三次樣條函數(shù)存在，并用來表示在點(diǎn)xi處的微商值。由于曲線通過點(diǎn),并且在每一個(gè)小區(qū)間上滿足條件：故可利用Hermite插值公式寫出小區(qū)間上的三次樣條函數(shù)的計(jì)算公式：第65頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四求樣點(diǎn)上微商值，在樣點(diǎn)上對x求微商，并令得：

第66頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四由于二階微商連續(xù)，因此即第67頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四整理：方程兩邊同時(shí)除以2得：第68頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四將方程兩端同時(shí)乘以得：左端：

其中：

令第69頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四右端：

第70頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四建立的方程組為：（*）

這是一個(gè)n+1個(gè)未知量的n+1個(gè)線性方程組，方程組有無窮多個(gè)解，為了確定唯一解，補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件。常見的邊界條件有：（1）曲線在兩端點(diǎn)x0,xn處的切線斜率已知，即

已知，那么由構(gòu)成的n-1個(gè)方程的方程組解唯一。（2）函數(shù)在兩端點(diǎn)x0和xn處二階微商的零，即或，由我們推得的方程得：第71頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四于（*）式聯(lián)立，也可唯一解出未知數(shù),利用的條件有：

利用的條件有：第72頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四解三對角方程組的求解過程其中方程組寫為：

……第73頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四求遞推公式：將代入上列方程組，并加以整理得：記作以此類推得到：

其中這樣，就可以逐個(gè)解出mi。第74頁，共89頁，2023年，2月20日，星期四計(jì)算三次樣條的步驟：（1）根據(jù)給定點(diǎn)及相應(yīng)的邊界條件計(jì)算方程組及邊界條件系數(shù)。（2）在給定的邊界條件下解方程組，計(jì)算。（3）由求得的，求出小區(qū)間上的樣條函數(shù)。（4）計(jì)算區(qū)間上的樣條插值函數(shù)