解析幾何 坐標系變換

解析幾何坐標系變換第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四定義

設，令稱矩陣為矩陣與矩陣的乘積，記為。方法如下：

矩陣的乘法第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四

記為第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四例如不存在.第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四

主對角元全為1而其他元素全為零的n階方陣稱為n階單位矩陣，記為或,即定義稱為單位矩陣（或單位陣）.第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四性質1

對任一m×n矩陣

,均有

，第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四一.仿射坐標系

定義:空間中一點O與三個不共面向量e1,e2,e3一起構成空間的一個仿射標架,記[O,e1,e2,e3].稱e1,e2,e3為它的坐標向量.O稱為它的原點.對于空間任意一點A,把向量OA(稱為A的定位向量)對e1,e2,e3的分解系數構成的有序數組稱為點A關于上述仿射標架的仿射坐標.第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四

e3e2e1OPOP=ae1+be2+ce3

第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四

仿射坐標系{O;e1,e2,e3}.任意點P,存在唯一的有序數組(a,b,c)使得OP=ae1+be2+ce3.e3e2e1OP坐標原點

點P的定位向量

坐標向量或基

P的坐標

第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四在不同的坐標系下，同一個點的坐標是不同的，從而圖形的方程也是不同的。問題1：對于給定的圖形，怎樣選坐標系？使得它的方程最簡單。問題2：在不同的坐標系下，同一圖形的不同方程之間有什么關系？第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四設在空間中我們取定兩個仿射坐標系，它們的標架分別為和Oe1e2e3O’e1’e2’e3’M第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四設在中的坐標依次為第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四用矩陣表示為第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四矩陣稱為從坐標系到的過渡矩陣，它是以在中的坐標為各個列向量的三階矩陣。第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四設向量在和中的坐標分別為它們與和之間的位置關系有直接相關的。第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四于是由坐標的定義，第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四這說明在中的坐標為用矩陣表示為：第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四向量的坐標變換公式：第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四下面討論點的坐標變換公式。設點M在和中的坐標分別為，它們分別是向量在中的坐標和向量在中的坐標。由公式得在中的坐標為第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四由于，如果設點在中的坐標為，則這就是點的坐標變換公式的矩陣形式。點的坐標變換公式的一般形式為第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四曲面的方程的變換公式。設S是一張曲面，它在中的一般方程為求它在中的一般方程。對于點M，如果它在中的坐標為，則在中的坐標為第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四因此點M在S上充要條件為：把上式左端的函數式記作則是S在中的一般方程，稱它為由S在中的方程經過坐標變換化為S在中的方程。第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四過渡矩陣的性質因為中的坐標向量是不共面的，所以過渡矩陣的行列式，即是滿秩矩陣。命題設有三個仿射坐標系。到的過渡矩陣為，到的過渡矩陣為，則到的過渡矩陣為第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四直角坐標變換的過渡矩陣，正交矩陣設和是空間中的兩個直角坐標系，到的過渡矩陣為因為是直角坐標系，C的各個列向量依次是在中的坐標，所以它們之間的內積為第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四又是直角坐標系，所以于是第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四實方矩陣，滿足，則稱為正交矩陣。命題兩個直角坐標系之間的過渡矩陣是正交矩陣。第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四對于平面上兩個直角坐標系，它們的過渡矩陣是正交矩陣。則它是二階正交矩陣，設為則第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四于是于是二階正交矩陣只有下面兩種形式：平面直角坐標變換公式一個是旋轉,一個是旋轉加反射.第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四現考慮在一個右手直角坐標系中，一個二次方程做法是通過轉軸和移軸，尋找一個新的右手直角坐標系，使得方程最簡，從而看出其幾何形狀。下面用轉軸消去交叉項。第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四新方程的二次項部分由原方程的二次項部分得第37頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四于是，要使得