2022-2023學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可.【詳解】直線；；故選：C2．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且．“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】試題分析：，得不到，因?yàn)榭赡芟嘟?，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒(méi)有公共點(diǎn)，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．【解析】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點(diǎn)晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項(xiàng).3．若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線方程寫出漸近線方程，注意，結(jié)合直線平行列方程求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)且，故，所以，雙曲線漸近線為，其中一條與平行，所以，則.故選：A4．在正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移一條線，找到異面直線所成角，然后用余弦定理可得余弦值.【詳解】如圖，延長(zhǎng)MB到P，使得因?yàn)镸是中點(diǎn)，則，又所以ABPM是平行四邊形，所以異面直線與所成的角是(或其補(bǔ)角)又N是BC中點(diǎn)，所以三棱柱是正三棱柱，所以故選：D5．圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A．4 B．5 C．6 D．4或6【答案】D【分析】化圓的標(biāo)準(zhǔn)式寫出圓心和半徑，根據(jù)已知有兩圓外切或內(nèi)切，進(jìn)而求出兩種情況下對(duì)應(yīng)的半徑r即可.【詳解】由題設(shè)，則且半徑；，則且半徑；所以，又兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故兩圓外切或內(nèi)切，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，則；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，則或（舍）；所以或.故選：D6．已知點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用幾何關(guān)系找到之間等量關(guān)系即可.【詳解】由題意知：，；為正三角形，則：；，，.故選:A7．在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，，將沿對(duì)角線AC折起得三棱錐.當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】體積最大時(shí)，即兩個(gè)面垂直時(shí)，然后利用幾何關(guān)系找到外接球圓心即可.【詳解】如圖所示，當(dāng)平面平面時(shí),三棱錐體積最大，取AC中點(diǎn)E，連接BE，DE，由條件知設(shè)分別為的外心，過(guò)作平面的垂線m，過(guò)作平面ADC的垂線n則m，n的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心；所以所以，表面積為故選：C.8．如圖，加斯帕爾·蒙日是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程為圓，該圓稱為外準(zhǔn)圓，也叫蒙日?qǐng)A．則雙曲線的蒙日?qǐng)A的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的一條切線方程是，，由直線與雙曲線相切聯(lián)立方程，且，得出關(guān)于的一元二次方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出該雙曲線蒙日?qǐng)A的方程，即可求解．【詳解】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為，由題可知，雙曲線上兩條互相垂直的切線的斜率均存在且均不為0，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的一條切線方程是，，由得，，則，即，整理得，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)有兩條直線與曲線相切，所以，且，即，則，得，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的這兩條切線互相垂直，所以，即，故該雙曲線的蒙日?qǐng)A方程為：，半徑為，所以該雙曲線蒙日?qǐng)A的面積為，故選：B．二、多選題9．已知直線的方向向量分別是，，若且，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)橐阎本€的方向向量分別是，，其中且，所以，即，解得或，所以或.故選：BD.10．已知直線和圓，則（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn) B．直線與圓相交C．存在使得直線與直線垂直 D．若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用直線系方程求得直線過(guò)定點(diǎn)即可判斷；對(duì)于B，由直線所過(guò)的頂點(diǎn)在圓內(nèi)部即可判斷；對(duì)于C，由兩條直線的位置關(guān)系中垂直關(guān)系即可判斷；對(duì)于D，由垂徑定理求弦長(zhǎng)可以判斷.【詳解】對(duì)于A，直線，即，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，直線恒過(guò)的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線與圓相交，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若直線與直線垂直，則，顯然不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，直線化成，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．平面B．C．直線與平面所成的角的正弦值為D．直線與所成角的余弦值為【答案】ACD【分析】由底面為菱形，所以，再由，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，證得平面，可判定A正確；根據(jù)，可判定B不正確；證得平面平面，得到為直線與平面所成的角，結(jié)合向量的夾角公式，可判定C正確；結(jié)合，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由底面為菱形，所以，由題可知，因?yàn)椋?，又因?yàn)榍移矫妫云矫?，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，可得，所以B不正確；對(duì)于C中，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平面，所以在平面?nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，，，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由B中知且，，所以，所以D正確.故選：ACD.12．已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn).若，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．過(guò)點(diǎn)存在兩條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)C．點(diǎn)在變化過(guò)程中，面積的取值范圍是D．若，則的內(nèi)切圓面積為【答案】AC【分析】結(jié)合雙曲線的定義、圓的切線長(zhǎng)定理求得，從而求得雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的漸近線、直線和雙曲線的交點(diǎn)、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓面積等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題可得，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，如圖，由切線長(zhǎng)定理可知，，所以，，所以雙曲線的方程為，對(duì)A，由題可得雙曲線的漸近線方程為，故A正確；對(duì)B，由雙曲線的性質(zhì)可知過(guò)點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，即與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故過(guò)點(diǎn)的直線存在三條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.對(duì)C，因?yàn)槊娣e為，因此只需求的范圍即可，可取臨界位置，當(dāng)與漸近線平行時(shí)，不妨設(shè)，令可得，當(dāng)與另一條漸近線平行時(shí)，不妨設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，解得，即，所以，令可得，所以，，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，則，，解得，故的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為，的面積為，由題可知，故，，即，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，的內(nèi)切圓的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法有：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．三、填空題13．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________．【答案】【分析】在中，由正弦定理可得，再結(jié)合雙曲線的定義和“三角形的兩邊之和大于第三邊”，即可得解.【詳解】在中，，由正弦定理得，，又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以，所以，在中，由，得，即，所以，又，所以，故答案為：14．等腰直角三角形沿斜邊上的中線翻折成直二面角，此時(shí)中線與面所成的角的正弦值________．【答案】##【分析】先證翻折后為等邊三角形，作面則為與面所成的角，求解即可.【詳解】如圖1：在等腰直角三角形中設(shè)則，沿斜邊上的中線翻折成直二面角如圖2，因?yàn)槊婷婷?，面面，面又面，為等邊三角形，作面于O并連接，為與面所成的角，為的中心，，，故答案為：15．已知，，，以為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)，的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡方程是________.【答案】【解析】根據(jù)橢圓定義得到，故焦點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的下支，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)橢圓定義知：，即，故，故焦點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的下支，，，故，故軌跡方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的軌跡方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，確定是解題的關(guān)鍵.16．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是____________．【答案】##【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到點(diǎn)在平面內(nèi)，確定點(diǎn)在以為直徑的球面上且被平面所截的圓，利用球和截面圓的幾何性質(zhì)求解軌跡半徑，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則，又由，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫婕礊槠矫?，即，又因?yàn)?，可得點(diǎn)在平面內(nèi)，又由，可得點(diǎn)在以為直徑的球面上，綜合可得，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的球面且被平面所截的圓，記球心，截面圓的圓心為，則球的半徑，因?yàn)槠矫?，且為的中點(diǎn)，則點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得點(diǎn)平面的距離，又由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得點(diǎn)平面的距離，所以軌跡所在圓的半徑為，所以該圓的周長(zhǎng)為.故答案為：.四、解答題17．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線.(1)求直線的方程；(2)若點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）兩點(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）討論、過(guò)中點(diǎn)兩種情況，兩點(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；【詳解】（1）由題設(shè)，所以，即（2）①若，則，整理得；②若過(guò)中點(diǎn)，于是，則，整理得：.所以直線的方程為或.18．已知，，，圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn).(1)求圓C的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)，圓心是，半徑(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到圓是以為直徑的圓，求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求得圓的方程；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)直線過(guò)圓心弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，當(dāng)為中點(diǎn)的弦最短，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，點(diǎn)，，，且圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可得圓是以為直徑的圓，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，可得，即圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為.（2）解：由圓的性質(zhì)得，當(dāng)直線過(guò)圓心，此時(shí)弦長(zhǎng)取得最大值，最大值為，當(dāng)為中點(diǎn)的弦最短，其中，所以最短弦長(zhǎng)為，所以弦長(zhǎng)的取值范圍.19．如圖，四邊形為正方形，平面，∥，(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）連接交于，利用正方形性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)定理得，，再利用線面垂直的判定即可證明；（2）通過(guò)等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離，即可求出線面角正弦值.【詳解】（1）連接交于，四邊形為正方形，，又平面，平面，則.又∥，四點(diǎn)共面，，且平面，于是平面.（2）//，與平面所成角就是與平面所成角.在中，可以求得，，，根據(jù)余弦定理得，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由平面知，而，因此平面，顯然平面，則點(diǎn)到平面的距離為長(zhǎng)2，而，由，得，即，解得.

故與平面所成角的正弦值為.20．已知拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上.(1)求的值；(2)設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).若以拋物線的對(duì)稱軸為棱，將拋物線上下兩部分折成直二面角，此時(shí)兩點(diǎn)之間的距離為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得p的值；（2）根據(jù)直二面角的定義利用兩點(diǎn)之間的距離為可得關(guān)于直線的參數(shù)的方程，即可求得答案.【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程得：，則，（2）由（1）知，焦點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，聯(lián)立得：，，由韋達(dá)定理得，由于以拋物線的對(duì)稱軸為棱，將拋物線上下兩部分折成直二面角，于是，即，即，將代入即解得，所以直線的方程是：或.21．如圖，在空間幾何體中，均為正三角形，且平面平面，平面平面.(1)求證：平面；(2)是棱上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角為時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分別取之中點(diǎn)，連，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明四邊形為平行四邊形，從而有∥，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)與平面所成角為，求得的長(zhǎng)，說(shuō)明為的中點(diǎn)，作出二面角的平面角，解三角形可得答案.【詳解】（1）證明：分別取之中點(diǎn)，連，為正三角形，；又平面平面，平面平面，平面,平面，同理為正三角形，；平面平面，平面平面,平面，故平面，于是.由均為正三角形可知，四邊形為平行四邊形，從而有∥，平面，平面，于是∥平面.（2）不妨設(shè)，連，則由（1）平面知，與平面所成角就是，則，又,，即，又M為的中點(diǎn)，P在上，故為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，連，又平面平面，平面平面，平面,平面，平面，故,又平面，故平面,則為二面角的平面角，

連接，則，則，,則，于是，故.22．在平面直角坐