2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中高二年級下冊學(xué)期3月階段測試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中高二下學(xué)期3月階段測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由垂直得直線斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程，化簡即得．【詳解】直線的斜率為，直線與之垂直，則，又過點(diǎn)，所以直線方程為，即．故選：A．2．某班聯(lián)歡會原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，如果將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用插空法結(jié)合排列組合計(jì)數(shù)方法求解.【詳解】這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，若2個(gè)新節(jié)目相鄰，則在原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單產(chǎn)生的4個(gè)空位中，選1個(gè)位置安排2個(gè)新節(jié)目，且兩個(gè)新節(jié)目順序可變，此時(shí)有種插法，若2個(gè)新節(jié)目不相鄰，則在原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單產(chǎn)生的4個(gè)空位中，選2個(gè)位置安排2個(gè)新節(jié)目，且兩個(gè)新節(jié)目順序可變，此時(shí)有種插法，所以共有種插法，故選:B.3．一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1，3，3，5，5，7，…，若該數(shù)列從第5項(xiàng)開始成等差數(shù)列，則該塔群共有（

）．A．10層 B．11層 C．12層 D．13層【答案】C【分析】設(shè)該數(shù)列為，塔群共有n層，則數(shù)列為1，3，3，5，5，7，…，該數(shù)列從第5項(xiàng)開始成等差數(shù)列，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)求和公式可得，從而可求出的值【詳解】根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為，塔群共有n層，即數(shù)列有n項(xiàng)，數(shù)列為1，3，3，5，5，7，…，則．該數(shù)列從第5項(xiàng)開始成等差數(shù)列，且，，則其公差，則有，又，則有，即，解得或（舍去），則．故選：C．4．過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，則，解得，所以圓心為，半徑.所以圓的方程為.故選：A5．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)均大于零可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同正根，即有兩個(gè)不同正根，所以解得，故答案為:A.6．雙曲線的右焦點(diǎn)恰是拋物線的焦點(diǎn)，雙曲線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線的定義求出的值，可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)、的方程，可求得雙曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由拋物線的定義可得，可得，故拋物線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可得，，解得，拋物線的焦點(diǎn)為，故雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，，，則，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.7．已知圓，若存在過的的直線與圓相交于不同兩點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，于是有，或，由圓的割線定理可知：，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)?，所以，而，或，所以，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷與圓的位置關(guān)系、利用圓的切線定理是解題的關(guān)鍵.8．橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可求得，，即可得出，再根據(jù)離心率范圍即可求出【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，，又,，，，，則，即線段的長度的取值范圍是，故選：C二、多選題9．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．C．函數(shù)在x＝5處取得極小值D．函數(shù)存在最小值【答案】ACD【分析】借助導(dǎo)數(shù)圖像的正負(fù)性即可分析原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故A正確；在恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故B錯(cuò)誤；上，上,則函數(shù)在x＝5處取得極小值，故C正確;由導(dǎo)數(shù)圖可知在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，故在兩個(gè)極小值和中產(chǎn)生，故存在最小值，故D正確;故選：ACD.10．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．可以組成個(gè)四位數(shù)B．可以組成個(gè)四位偶數(shù)C．可以組成個(gè)能被3整除的四位數(shù)D．將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)數(shù)為2310【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，先考慮千位，再考慮剩余3個(gè)數(shù)位，相乘得到答案；B選項(xiàng)，分個(gè)位為0和個(gè)位不為0兩種情況，相加得到答案；C選項(xiàng)，選出四個(gè)數(shù)，數(shù)字之和能被3整除，再考慮每種情況下能組成的四位數(shù)個(gè)數(shù)，相加后得到答案；D選項(xiàng)，先考慮千位數(shù)字為1，再考慮千位數(shù)字為2，再考慮百位，從而得到從小到大排列，第85個(gè)數(shù)為2301.【詳解】A選項(xiàng)，先從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字中選出1個(gè)放在千位上，有種選擇，再從添上0后的剩余5個(gè)數(shù)中選出4個(gè)，放在百位，十位和個(gè)位上，有種選擇，所以可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為，A正確；B選項(xiàng)，分兩種情況，當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)放在千位，百位和十位上，有中選擇，當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，先從2，4中選擇1個(gè)放在個(gè)位上，有種選擇，再考慮千位，從除去0外的剩余4個(gè)數(shù)中，選擇1個(gè)放在千位，有種選擇，再從添上0后的4個(gè)數(shù)中，選擇2個(gè)，和剩余的百位和十位進(jìn)行全排列，有種選擇，故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)個(gè)數(shù)為，B正確；C選項(xiàng)，能被3整除的四位數(shù)，數(shù)位上的數(shù)字之和要能被整除，先從0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)中，選出四個(gè)數(shù)，數(shù)字之和能被3整除的有0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5和1,2,4,5；其中0,1,2,3，先考慮千位，從除去0的三個(gè)數(shù)中，選出1個(gè)，有種選擇，再考慮剩余的3個(gè)數(shù)，有種選擇，故可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為，同理可得0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5，均可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為18，1,2,4,5，能組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為，所以可以組成個(gè)能被3整除的四位數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為1，此時(shí)剩余的5個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)，分別安排在百位，十位和個(gè)位，有個(gè)，若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2，此時(shí)剩余的5個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)，分別安排在百位，十位和個(gè)位，有個(gè)，，故將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)四位數(shù)千位為2，若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2，百位為0，此時(shí)從剩余的4個(gè)數(shù)字中選擇2個(gè)，放在十位和個(gè)位，組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)，，同理可得：若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2，百位為1，組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)，，故將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)數(shù)為2301，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是2，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，，是拋物線上兩個(gè)不同的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．若直線過點(diǎn)，則C．若直線過點(diǎn)，則 D．若直線過點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】對于A，利用拋物線的定義求得拋物線的方程，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；對于B，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；對于C，先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得到直線與的斜率之和為0，從而得到直線平分，再根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理即可得解；對于D，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用拋物線的定義及基本不等式得到，結(jié)合即可得解．【詳解】由題意得，則，故拋物線的方程為，將代入拋物線的方程，得，解得，所以A不正確；設(shè)，，易知直線的斜率不為零，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，化簡得：，則，，所以，所以，所以B正確；易知，則由選項(xiàng)B得，所以直線平分，所以，選項(xiàng)C正確；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且斜率不為零，所以設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，易得，所以．因?yàn)?，，且，所以，又，所以，所以D正確．故選：BCD．12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．B．?dāng)?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列C．對于任意的，D．的最小正整數(shù)n的值為15【答案】ABD【解析】根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得，從而可得，由此可得的通項(xiàng)和的通項(xiàng)，從而可逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】由題設(shè)可得，因?yàn)?，，故，所以，所以，所以，因?yàn)?，故，所以，所以為等比?shù)列，所以即，故，故A對，C錯(cuò).又，故，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.，，故的最小正整數(shù)n的值為15，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：題設(shè)中給出的是混合遞推關(guān)系，因此需要考慮奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系和偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，另外討論D是否成立時(shí)注意先考慮的值.三、填空題13．已知等差數(shù)列滿足,則___________.【答案】【分析】利用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算可得首項(xiàng)和公差,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意知:,解得:,所以.故答案為:.14．從甲?乙等6名醫(yī)生中任選3名分別去三所學(xué)校進(jìn)行核酸檢測，每個(gè)學(xué)校去1人，其中甲?乙不能去A學(xué)校，則共有___________種不同的選派方法.【答案】80【分析】先考慮A學(xué)校，再考慮兩所學(xué)校，利用排列和組合知識進(jìn)行求解.【詳解】先從除去甲乙的4名醫(yī)生中，選出1人去A學(xué)校，有種選擇，再從包括甲乙的5名醫(yī)生中，選出2名醫(yī)生，去兩所學(xué)校，有種選擇，所以共有種選派方法.故答案為：8015．設(shè)、分別為雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于M、N兩點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的離心率為______．【答案】【詳解】如圖，，由已知條件知圓的方程為由，得，，又，，，，即雙曲線的離心率為，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線、離心率及簡單性質(zhì)，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，根據(jù)題平面向量夾角的余弦公式，建立關(guān)于焦半徑和焦距的關(guān)系．從而找出之間的關(guān)系，求出離心率．16．已知的大小關(guān)系為（從小到大順序）___________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)判斷大小即可.【詳解】令則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即（時(shí)取得等號），所以，即；而，故在定義域上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故，即；，令則，故在定義域上單調(diào)遞增，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，則，即，綜上，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考察導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于壓軸題.對于函數(shù)值比大小，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，這里需要積累一些常用的導(dǎo)數(shù)放縮不等式：等.四、解答題17．已知圓與軸相切于點(diǎn)，與軸的正半軸交于兩點(diǎn)，且.(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與圓相切，求直線l方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由切點(diǎn)設(shè)出圓心坐標(biāo)，由弦長圓半徑，圓心坐標(biāo)，然后可得圓方程；（2）分類，切線斜率不存在和存在兩種情形求解．【詳解】（1）設(shè)圓心C(a，4)，則半徑，由題意得：，故圓方程為：（2）①若直線l斜率不存在，則直線l：(符合題意)②若直線l斜率存在，設(shè)直線l：，則圓心到直線l的距離：，直線l方程：.綜上：直線l方程：或18．已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線斜率即可求解；（2）分類討論參數(shù)，并結(jié)合端點(diǎn)值進(jìn)行比較即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，∴在處的切線方程為，即.（2）.①時(shí)，，在為單調(diào)遞增.若，所以令得.②若，即，則時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；③若，即，則時(shí)，，∴單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞增.④若，即，則時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)可得，，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.（2）根據(jù)，裂項(xiàng)求和可得，根據(jù)可證不等式成立.【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，化簡得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列.所以.（2）證明：由（1）知：，所以，所以，由于，所以.即.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)求和法，考查了數(shù)列不等式的證明，屬于中檔題.20．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上的最大值為，求的值；(2)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分與兩種情況求解函數(shù)最大值即可得到答案；（2）將題意轉(zhuǎn)化為，易求得，再結(jié)合（1）分與兩種情況求解，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）依題意可得，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，（舍去），②當(dāng)時(shí)，令，得，?。┊?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，ⅱ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，（舍去），綜上，若函數(shù)在上的最大值為，則，（2）由已知轉(zhuǎn)化為，又時(shí)，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，不合題意（或舉出反例：存在，不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴，解得，綜上，的取值范圍是．21．已知橢圓的上頂點(diǎn)為M?右頂點(diǎn)為N.(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為1，直線被橢圓C所截得的線段長度為.（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷橢圓C內(nèi)是否存在圓，使得圓O的任意一條切線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，滿足為定值？若存在，求出圓O的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，方程為.【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，結(jié)合直線與圓相切，得到，并代入的坐標(biāo)表示，利用定值與無關(guān)，求得圓的方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，可直接求得點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的值，求得圓的的方程.【詳解】（1）由題意知，，由，得.設(shè)直線與橢圓C交于點(diǎn)，，則.把代入橢圓方程，得，故，即.由①②，解得或(舍去)，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在這樣的圓O，設(shè).當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為.由，得.設(shè)，，則，.故.由，得.由③④，得，當(dāng)與k無關(guān)時(shí)，，，即圓O的半徑為.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，若直線AB的方程為，將其代入橢圓C的方程，得，，此時(shí).若直線AB的方程為，同理可得.綜上，存在滿足題意的圓O，其方程為.【點(diǎn)睛】解決存在性問題的注意事項(xiàng)：（1）存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在；（2）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類