高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)必備專題4-1三角函數(shù)性質(zhì)、最值和w小題歸類-（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)

專題4-1三角函數(shù)性質(zhì)、最值和W小題歸類

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納...............................................................................1

【題型一】圖像和性質(zhì)i：“識(shí)圖”.........................................................1

【題型二】圖像和性質(zhì)2：求周期..........................................................5

【題型三】圖像和性質(zhì)3：正余弦函數(shù)的對(duì)稱軸應(yīng)用.........................................7

【題型四】圖像和性質(zhì)4：正余弦函數(shù)的對(duì)稱中心應(yīng)用.......................................9

【題型五】最值與范圍1：輔助角.........................................................11

【題型六】最值與范圍2：一元二次型正余弦函數(shù)有界性....................................13

【題型七】最值與范圍3：sinx與congx積、和（差）換元型................................16

【題型八】最值與范圍4：分式型.........................................................18

【題型九】最值與范圍5：絕對(duì)值型.......................................................19

【題型十】三角換元1：圓代換...........................................................22

【題型十一】三角換元2：雙變量消元代換型................................................24

【題型十二】三角換元3：無理根號(hào)代換型..................................................25

【題型十三】三角換元4：正切代換型......................................................26

【題型十四】三角換元5：向量中的三角換元型..............................................28

【題型十五】三角函數(shù)中W求解題.........................................................33

【題型十六】數(shù)列與三角函數(shù)..............................................................35

二、最新?？碱}組練............................................................................37

【題型一】圖像與性質(zhì)1:“識(shí)圖”

【典例分析】

己知函數(shù)囚過點(diǎn)三［,三］,當(dāng)回

四...........的最大值為9,則即值為（）

卜或B.件C.殘件D.口

【答案】B

【解析】由圖可得回一，所以日-0

令日，轉(zhuǎn)化為求［言…....…］的最大值問題.

因區(qū)r二所以叵r，岡，令叵r二則而刁,

故I臼:…,…二，_______________

若廿1,易得I面?咻不符合題意；若與二］,易得I岡|,解得百一1(舍);

若I口li易得|岡.........|,解得岡骨故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

確定I習(xí)———的步驟和方法:

alI

,一,X，臼；

(2)求與確定函數(shù)的周期國(guó)則可戶；

(3)求已常用的方法有代入法和五點(diǎn)法.

①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)Gj—~1已知)或代入圖象與直線T和的交點(diǎn)求

解(此時(shí)要注意交點(diǎn)是在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).

②五點(diǎn)法：確定口值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口.

【變式演練】

1.已知函數(shù)扃-I(耳1,尸］)的部分圖象如圖所示，則滿足條件

岡兇的最小正整數(shù)學(xué)一.

【答案】曰

【分析】先據(jù)圖求出解析式，在解得兩個(gè)可轉(zhuǎn)為特殊角的三角函數(shù)值，解不等式驗(yàn)證最小正

整數(shù)即可.

【詳解】由題圖可知，岡..........(7為了(幻的最小正周期)，

得7=兀，所以3=2,所以/(x)=2cos(2%+0).點(diǎn)?。菘煽醋鳌拔妩c(diǎn)作圖法”中的第二個(gè)

點(diǎn)，

則2x，+伊=F;得伊=所以7U)=2cos,所以

，日所以團(tuán)岡，

f-1,……--"I,,--■

即(/(x)—1)/(x)>0,可得/(x)>1或/(x)<0,所以cosX1或cosxl

當(dāng)x=l時(shí)，區(qū)1............i,0....................,不符合題意；

當(dāng)x=2時(shí)，岡，cos岡符合題意，所以滿足題意的最小正整數(shù)

x為2.

故答案為：2

,2.如圖，耳臼，廂點(diǎn)向二］分別是函數(shù)Iw|(1"^口>I刁.1>

囚)圖像上的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，若鼻血點(diǎn)間的距離為小則關(guān)于函數(shù)

國(guó).....的說法正確的是()

A.在區(qū)間反二|上單調(diào)遞增B.在區(qū)間同上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間口工單調(diào)遞減D.在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】C

【分析】首先利用二倍角公式將耳］化簡(jiǎn)為因.........，再由口有別為可

的圖像上的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)得到?？?，再由與B兩點(diǎn)之間距離為明|國(guó).........

從而求得F司的手，進(jìn)呵求得Q的值,由題可知可的最小正周期為1年由此得到導(dǎo)內(nèi)值，

再由可經(jīng)過點(diǎn)|岡：|及曲范圍求得已的值,得到函數(shù)目I的解析式,進(jìn)而判斷函數(shù)國(guó)

在區(qū)間的單調(diào)性.“一

【詳解】叵T"

如圖，過點(diǎn)目作即的垂線，過點(diǎn)也乍q斜的垂線，設(shè)兩】線的交點(diǎn)為顯

連接同，可知［岡I為直角三角形,IT］.bI目I，

則I岡"-一.....I,易知IMI」解得【叼$IfJ,"W:j,|F］得I刈,」,

S.....……，

4囚1M囚|由函數(shù)印I勺圖像經(jīng)過點(diǎn)耳3可得

0…”.......,

則|國(guó)'一……-"又阿"，則可,.-.|B

?叼的單調(diào)遞增區(qū)間為,得?岡........"1（1刁I）,

IwI的單調(diào)遞減區(qū)間為岡，得I臼……_…__］（|岡J）,

當(dāng)耳］時(shí)耳在區(qū)隔臼讓單調(diào)遞減，故選C.

3.如圖是函數(shù)臼一囚的圖象的一部分，則要得到該函

數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)日的圖象（）

A.向左平移一年單位長(zhǎng)度B.向右平移一小單位長(zhǎng)度

D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移口濟(jì)單位長(zhǎng)度

【答案】B

［分析］

先由圖用岡…求出鳥由岡求出艮由百三三?求出向三三

得到叵?；運(yùn)用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)叵?

利用三角函數(shù)圖象平移性質(zhì)得解.

【詳解】如圖知：［馬叵］”……，岡…,乂可岡一…

A.舊B.旺C.件D.甘

【答案】C

【詳解】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定義求解

2.利用圖像觀察求解。

3.定義證明：f(x+T)=f(x)

4.經(jīng)驗(yàn)推論：如果是多項(xiàng)式和與差型，則各項(xiàng)的最小正周期的公倍數(shù)是周期(需要證明是否

是最小正周期)

【變式演練】

C國(guó)D.目

【答案】B

【分析】

畫出|臼?一一一|圖象，再利用圖象翻折得到㈤............|觀察圖象可得周期.

［詳就

由耳］的圖象可知，r^j-i.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)型的圖像與性質(zhì).

1的最小正周期為日!

三角函數(shù)周期的求解公式法：［

二的最小正周期為同

囚i

2.已知函數(shù)在區(qū)間囚有三個(gè)零點(diǎn)日修序且

-------f-1L-則互］的最小正周期為（

,若W)

A?件B?日

C.昌D.臼

【答案】C

Ir-I-｛：II

【分析】根據(jù)題意，知當(dāng)囚1時(shí)，w，由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知同和

s*，即可求出口即可求出|回1的最小正周期.

SS'I

解：由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)口信口

a-時(shí),，，由對(duì)稱軸可知口國(guó)i足a

r—1.1|||III-

即岡.同理13事足岡,即0

，.泊滂

可,耳D，所以最小正周期為:.故選：C.

3.已國(guó)知函、正周期為昌最小畬1為1

A.[

B.君1的最小正周期為日7最小值為-3

C.國(guó)的最小正周期為國(guó)，最小值為1

D.與的最小正周期為國(guó)，最小值為-3

【分析】首先利用余弦倍角公式，將式子進(jìn)行化筒，使得解析式中只有一個(gè)函數(shù)名，之后進(jìn)

行配方，結(jié)合正弦函數(shù)的周期和值域，求得函數(shù)的周期和最值，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷，得出

結(jié)果.

【詳解】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得0........................，

可以求得其最小正周期為

其最大值為件最小值為0…

，故選D.

【題型三】圖像與性質(zhì)3：正余弦函數(shù)的對(duì)稱軸

【典例分析】

設(shè)函數(shù)可，若方程|屈||恰好有三個(gè)根,分別為［目

臼…I，貝!I回|的取值壺圍是___________.

【答案】S

【詳解】

作岡圖像，由圖像可得，

岡臼—］的

r-1

a

取值范圍是

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.正余弦與水平線交點(diǎn)的中點(diǎn)，是函數(shù)的對(duì)稱軸。

2.一般情況下，|岡|的最大值或者最小值,必在對(duì)稱軸處。

3.對(duì)稱軸之間的距離，是半個(gè)周期的整數(shù)倍。

【變式演練】

【分析】利用三角函數(shù)圖象的變化規(guī)律求得：岡，利用對(duì)稱性求得岡

由時(shí)，可得IM，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.

【詳解】函數(shù)0的圖象向左平移儕單位長(zhǎng)度后,

故選：A.

2.已知函數(shù)區(qū)1,直線向日，巨m是國(guó)二圖象的任

意兩條對(duì)稱軸，且耳口的最小值為件若關(guān)于即方程?臼I在區(qū)間|囚上有兩個(gè)

不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)及?勺取值范圍為EhEh

A.字B.曰C.口.歹

【答案】C

I?——79—-.1—.II]\I"

【解析】化簡(jiǎn)岡;由題意知1*1■;從而可得

0".................,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可.

解：0■■■■…………回...........:國(guó)三I的最小值

回斗耳國(guó)”[:耳口風(fēng)』……-|，作|區(qū)T"……]在口仲上的圖象如下,

s,；中于即方程?岡…”在區(qū)間口目

上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

a

當(dāng)x時(shí).，xi,此時(shí)耳J的最大值為叵三I；最小值為百三

若存在國(guó)”,使IwI成立，則只需|房1I，

???I.；T：故答案為:|自一中

【題型四】圖像和性質(zhì)4：對(duì)稱中心

【典例分析】

已知函數(shù)/(X)=3sin(o)x(3>0)圖象對(duì)稱中心和函數(shù)g(x)=3cos(2x+欠)的圖象的

對(duì)稱中心完全相同，若回；則函數(shù)同目的取值范圍是

[答案]卜|,3]

【分析】化簡(jiǎn)得到/Xx)=3cos(3。一巧,根據(jù)對(duì)稱中心相同得到耳h故f(x)=

3sin卜x-J當(dāng)叵1,2x-e[-^?Y']>得到范圍.

【詳解】f(x)=3sin(3x-*),g(x)=3cos(2x+,),兩函數(shù)對(duì)稱中心完全相同，故周期相

同，

故!E4故/(x)=3sin卜x-J

當(dāng)叵二，2?旌H，%故/⑺=3sin(2一加卜洌

故答案為：卜|,31

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.一般情況下，|區(qū)|兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于中心對(duì)稱,則函數(shù)值互為相反

數(shù)。

2.對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期的整數(shù)倍。

3.周期與軸之間的距離，是四分之一周期的整數(shù)倍。

【變式蹲練】

的最小正周期卜q,且|岡卜函數(shù)同的

1..已知函數(shù)回

I岡I是函數(shù)目］的一個(gè)對(duì)稱中心,則函數(shù)可在I岡］上的取值范圍是

一條對(duì)稱軸,

)

S群

A.岡B.C.D.3

【答案】B

【分析】依題意求出耳的解析式，再根據(jù)X的取值范圍,求出可的范圍，再根據(jù)正弦

函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

的最小正周期巴］;“岡J解得:

【詳解】函數(shù)四

'I..

XI

由于S'；涯函數(shù)目）的一條對(duì)稱軸，上岡|為可的一個(gè)對(duì)稱中心,

L（I刁I'則刊「「】，（I刁1），則I刁，］，

,國(guó)三由于I區(qū)］斗???國(guó)官故|國(guó)

又?:s

,/岡:.......

,.-.101,??.回

故選：B.

2.已知定義在同.］上的奇函數(shù)目一性|7］|上單調(diào)遞增,且滿足|岡~

則關(guān)于即不等式1的解集為（）.

A.B.岡

C.J71??D.岡?"

【答案】C

【分析】令岡,利用奇偶性定義可知巨］為奇函數(shù),并可確定巨|在巨三

岡刃上單調(diào)遞增,由叵］知［百二；結(jié)合a不成立可確定巨人

大致圖象，由圖象可確定解集.

［詳解］岡為岡上的奇函數(shù)，I網(wǎng)’…

令岡…：則叵1一

I網(wǎng)制同為|岡—?上奇函數(shù);

叵Z3在國(guó)三3上單調(diào)遞增-匕單調(diào)遞增，

I網(wǎng)?:牡單調(diào)遞增,由奇函數(shù)性質(zhì)知:彳~|在|岡d上單調(diào)遞增;

,岡,則

又回‘當(dāng)叵^

時(shí),a

葺與叵j時(shí),

不成立，即a不成①,

由此可在坐標(biāo)系中畫出|w內(nèi)同一~1大致圖象如下圖所示:

則|岡|的取值范圍為

國(guó)』一?二::?■

A.B.C.區(qū)—D.

【答案】B

【分析】由函數(shù)的圖象可得，X2,X/關(guān)于點(diǎn)（區(qū)，0）對(duì)稱，心-劃最小，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)函數(shù)/（x）=sin（2x?.了3)4/(X2)=0,可得/(x/)=-/(X2),

令X2>X/,根據(jù)圖象，可得X2,X/關(guān)于點(diǎn)（目，0）對(duì)稱時(shí)，心-刈最小,

,：XlX2<0,：.X2>0,則伺.；?可得|%2-1|故選：B.

【題型五】最值與范圍1:輔助角

【典例分析】

已知函數(shù)I網(wǎng)］,周期與二］,p，且在W處取得最大值，則

使得不等式叵二3亙成立的實(shí)數(shù)日的最小值為（）

B.目

C.岡D.因

B

【解析】先根據(jù)一角恒等變換和三角形函數(shù)的性質(zhì)，以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系可得

!|：?—?

,①，再根據(jù)亙二］,可得岡MOT'

S,②，通過①②求出即值,

再根據(jù)三角產(chǎn)數(shù)的性質(zhì)可得百~~~|,耳I,求力回］，根據(jù)不等式目~|恒成立,

則0,即可求出答案.

I.「I,區(qū)處取得最大值，Q

［詳解］同—,其中

a,即0......,IT]I.

S

,①，目咻

I|--IV.—

sI^3'

s,②,

洞國(guó)’.........,S

即,解得

I臼匍，后"沙（舍去）

由①得區(qū)I，F(xiàn)j-l.|同在第一象限，口僅S

，即早耳日中［

bI刁J,

??一

使國(guó)最小，則I刁I,即［岡-上若不等式臼框成立,則岡,故選:

B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

要讓學(xué)生學(xué)會(huì)推導(dǎo)一下過程，并且要學(xué)會(huì)非特殊角特殊值的推導(dǎo)。

回■'

【變式演練】

1.若IF.1，函數(shù)|~7|一）的值域?yàn)榈娜≈捣?/p>

圍是（）

B.|因J

A.C.

【答案】D

【分析】利輔助角公式可得叵三

（其中回），再

利用換元法令I(lǐng)口…一3.從而得到同的取值范圍.

［詳解】因?yàn)閨因一（其中S）.

w,-r

,因?yàn)榛?所以s

因?yàn)?;且回，所以0，故叵T,即

當(dāng)s.......................時(shí)，I口卜單調(diào)遞減,

因?yàn)閷?/p>

所以岡一.故選D.

2.已知當(dāng)|岡卜寸,函數(shù)|刁”I取到最大值,則|岡是()

A.奇函數(shù)，在臼~~1時(shí)取到最小值:B.偶函數(shù)，在臼時(shí)取到最小值;

c.奇函數(shù)，在弓q時(shí)取到最小值:D.偶函數(shù)，在寸n時(shí)取到最小值:

【答案】B

【分析】由輔助角公式可得回............根據(jù)mi時(shí)國(guó)有最大值可得

戊求出國(guó)！再根據(jù)奇偶性并計(jì)算囚、囚F得答案?

【詳解】回------------岡,取向i

當(dāng)［岡］時(shí)，與飛行最大值|百二啡即臼，所以回

可得回,........,

所以兇.心臼一........，則s...................

因?yàn)閨四所以國(guó)，叵T’為偶函數(shù),

岡，岡，故B正確，故

選：B.

3.若存在正整數(shù)m使得關(guān)于x的方程|司一性目上有兩個(gè)不等

實(shí)根，則正整數(shù)〃的最小值是.

［答案］4

［分析］化簡(jiǎn)舊-----------,因?yàn)?三口,則

工上有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為

同

S

a

在國(guó)口」二有兩個(gè)不等實(shí)根，故

即可得出答案.

s在耳］上有兩個(gè)不等實(shí)根，

可

a

則,所以

①對(duì)任意鼻耳二1,恒成立.由②得!—I］,存在c耳目，成立，

所以岡I~3］：:h所以岡.故答案為：4

【題型六】最值與范圍2：一元二次正余弦有界性

【典例分析】

.關(guān)于口的不等式|.：一勝區(qū)間上恒成立,與□.的最大值為國(guó)，則實(shí)

數(shù)甲取值范圍()

AB.|臼TC.I刁ID.|刁.|

［答案］D

［分析］

根據(jù)題中條件，得到叵］…求出國(guó)根據(jù)特殊

值驗(yàn)證，分別取?臼I，?口「I，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.

【詳解】，

由I臼”一|得臼］，

即岡...................，貝(I岡，

為使不等式有解，必有臼飛

所以回......」’__________，即臼........，

若|蘇:……1，則|國(guó)-----而一

岡，貝ij岡,

又0………顯然恒成立，所以困

解得s……”-……，耳］

由題意可得，向m是因五堂勺子集，此時(shí)尋的最大值為

a,不滿足題意，故排除AB選項(xiàng)；

若【臼I,則?臼——……|,即岡，顯然對(duì)任意百二?恒成立,

此時(shí)無最大值；故C錯(cuò)；

若I叼—4則臼--------------------，即岡，

因?yàn)榫W(wǎng)”…顯然恒成立，所以岡一，

解得s………-…-…，國(guó)口

由題意可得，耳］是岡.........可的子集,此時(shí)尋■的最大值為

01滿足題意，故D正確；故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.一般情況下，正弦余弦有一次二次，要以“一次”為變量

2.消元或者換元，要注意舊元與新變量之間的范圍限制，包括互相限制。

【變式演練】

［分析］

根據(jù)余弦函數(shù)的二倍角公式將不等代臼—轉(zhuǎn)化為

回……----_~~再41~日工國(guó)則問二:;可得不等式后--------------在

互弓無解，可得岡，解之可得鄲最大值，再代入方程

s........................中，可將方程化為0’‘………，解之可得解的個(gè)數(shù).

［詳解］

根據(jù)余弦函數(shù)的二倍角公式將不等式1臼......轉(zhuǎn)化為向~…一……

即團(tuán)------:-----------,

令i節(jié)-I則|岡小所以由題意得不等式|問........一~|在|岡三T無解,

所以岡，解得回所以聊最大值為住

所以方程回""化為叵r,即|￡.

所以|岡I，解得岡............,所以整數(shù)堂個(gè)數(shù)有322個(gè),

所以當(dāng)實(shí)數(shù)B取得最大值時(shí)，方程區(qū)..........的解得個(gè)數(shù)為322.

故答案為:322.

3.已知同，若|F時(shí)任意實(shí)好［恒成立,則實(shí)數(shù)口應(yīng)滿足的條

件是.

【答案】s

岡,……-i『即上式變形為關(guān)于卵二元二次不等式［.------------］,對(duì)應(yīng)的二

次函數(shù)為|后］------------|,根據(jù)題意，若滿足?山時(shí)不等式

二I恒成立，則需I臼了麗,［岡玉日同成立，分類討論，當(dāng)［

______

]或[rjj財(cái)|，判斷函數(shù)陷貓性，解不力式，求解即可.

.山題意可知,I..I時(shí),I岡二T恒成］.

當(dāng)對(duì)稱軸丘q時(shí)I刁1/日|1二單調(diào)遞減，則后］,即岡

當(dāng)對(duì)稱軸「臼-'T時(shí),。解得

[7]叩?77]I

當(dāng)#稱軸[q時(shí)■」上羋調(diào)遞增,

地在[5

則IIM][II，即I同」

綜上所述：區(qū)"故答案為：S1

【題型七】最值與范圍3：sinx與cosx積和（差）換元型

【典例分析】

叵I

函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

-1r-1—1,—1

A.叵]*B,國(guó)nC.SD.S

【答案】D

［分析］將原式化簡(jiǎn)為［岡-------------|,再令國(guó)

將r^j飛?；癁殛P(guān)于口的二次函數(shù)，利用二次函學(xué)的性質(zhì)求解值域.

解：區(qū)s.

則岡…,…—_____________且岡.，令

區(qū)E……

當(dāng)向：時(shí),叵

當(dāng)國(guó)琴時(shí),0

故耳1的值域?yàn)?故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

之間的互化關(guān)系

2?囚

【變式演練】

1.函數(shù)|.…一的最大值為（)

A.B.3

C.D.4

【答案】C

【分析】令《，則岡,將原函數(shù)變形為岡

再根據(jù)口料取值范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;

解：根據(jù)題意，設(shè)S，則0”

則原函數(shù)可化為

所以當(dāng)同時(shí),函數(shù)取最大值日故選：C.

2.函數(shù)/(%)=sinxcosx+V2sin(%—的值域?yàn)?/p>

［答案］卜；一也,1］

【分析】令Sinx-cos%=3函數(shù)化為y=-：（t-1尸+1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

【詳解】

由于/'(x)=sinxcosx+V2sin(x-：)=sinxcosx+sinx-cosx,

令sinx—cosx=3貝！Jsinxcosx=3-,于是函數(shù)化為y=3-+t=—|(t-I)24-1,

而1=sinx—cosx=V2sin(x-彳)€[—V2,V2],

所以當(dāng)國(guó)＞十，函數(shù)取最大值1,

當(dāng)「=—四時(shí)，函數(shù)取最小值—［―加，故值域?yàn)椋郇Dg—四,1］

故答案為：［―1―四,1］.

3.函數(shù)y=siar—cosx+siarcosx的值域?yàn)?

【答案】卜］一夜，U

用換元法，設(shè)r=siiu—cosx,則sinrcosx=iy^,且一&<t<VL問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上的值域.2

【詳解】設(shè)f=sinx—cosx,則FusirPx+cosZx—2siovcosx,sinxcosx=^-,

t2=1-sin2x6[0,2],?'--V2<t<a:.y=-?+r+[^-注閆一同,

國(guó).

當(dāng)f=1時(shí)，ymax=1；

當(dāng)t=一同時(shí)，加〃尸一V2.

函數(shù)的值域?yàn)椋垡唬ㄒ?,1］.

【題型八】最值與范圍4：分式型

【典例分析】

函數(shù)因的最小值是（）

A.岡事B.與C.㈤D.直）

［答案］B

【分析】對(duì)向1變形,得到岡，當(dāng)I胃，時(shí),利用國(guó)」］的幾

何意義求解其取值范圍，進(jìn)而得到r^jI，當(dāng)與3時(shí)，目二］，從而求出國(guó)二|的最

小值.

【詳解】

當(dāng)?扇一人?臼弱肝

當(dāng)耳三］時(shí)，因?yàn)閮矗?/p>

令區(qū)|，目眄含義是點(diǎn)國(guó)用單位圓上的點(diǎn)回的連線的斜率,所以

岡一黨所以「岡［

所以因，即國(guó)三三j綜合得，?國(guó)：一］,故最小值為：鼻

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.可以用正余弦有界性:可

2.可以用輔助角：g

3.可以用外能公式代換：參考題型十

【變,演練】

i.設(shè)函數(shù)岡.......的最大值為可］,最小值為向則（）

A.1

C.回.

【分析】

［答案］B

【分析】首先根據(jù)換元法將函數(shù)岡的最小值與函數(shù)因在區(qū)

間向二1的最小值，最后利用基本不等式求出函數(shù)的最小值即可?

I囚二i］

因此函數(shù)岡的最小值與函數(shù)網(wǎng)在區(qū)間后lj的最小值相同,

又因?yàn)閷?，?dāng)且僅當(dāng)s即|區(qū)時(shí)等號(hào)成立，

所以函數(shù)岡...........的最小值2.

故選：了

3.函數(shù)回的最大值為.

【答案】囚.

試題分析：令囚,則IwI，I囚(其中

?，由「I刁LI岡1團(tuán)

..*.*!——If—11

a故答案應(yīng)填：W.

【題型九】最值與范圍5：絕對(duì)值型

【典例分析】

若函數(shù)/(x)=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和信1),且當(dāng)［船時(shí),|/(x)|W2恒

成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】-V2<a<4+3V2.

【分析】

由同一|的圖象經(jīng)過(0,1)和巾,1)兩點(diǎn)，可得b,c與座勺關(guān)系，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有變量星

的函數(shù)，對(duì)眩勺取值分a>l,a=l,a<l討論，求出舊〕的最值,轉(zhuǎn)化為最值問題即可

求解.

【詳解】因?yàn)閲?guó)三|經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(少1),

所以f(0)=a+b=1,fG)=a+c=1,可得b=c=1-a,

故/'(x)=a+(1—a)cosx+(1—a)sinx=a+(1—a)(sinx+cosx)=a+V2(l—

a)sin(x+力

因?yàn)镺Wx封，所以『+所以當(dāng)wsin(x+T)Wl,

當(dāng)a<1時(shí)，，1—a>0,可得1—aW魚(1—a)sin(x+：)W&(1-a),

所以1W/(x)<V2(l一a)+a，要使一2</(x)<2恒成立，只要近(1一a)+a<2,

即aZ-VI，又a<l,從而—&Wa<l；

當(dāng)a=1時(shí)，/(x)=16［-2,2］；

當(dāng)a>l時(shí)，1-a<0,所以1-a26(1-a)sin(x+：)之&(1-a),

所以12f(x)之夜(l—a)+a，要使一2Wf(無)42恒成立，只要/(1一a)+a2-2.

解得aW4+3VL又a>l,從而l<aS4+3&.

綜上所述，"的取值范圍為一金WaS4+3a，

故答案為：一位Wa44+3夜.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

這類題較難，需要分類討論。

【變聲演練】

L.函數(shù)|岡|的值域?yàn)?)

A.臼B.直C.叵|

【答案】A

【分析】如何去函數(shù)目］中的絕對(duì)值，L判斷1Ml的正負(fù),將最勺范圍縮小,考慮周

期性，只要研究一個(gè)周期的值域即可，而;周期為顯取耳三對(duì)巨］

分段討論，由輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可求解.

【詳解】岡二所以互j周期為母毗

當(dāng)岡,其中

囚

當(dāng)a-時(shí),區(qū)1，回

當(dāng)S，其中

a

當(dāng)日時(shí)，回」，S

------I..

岡…二……］，國(guó)一~I周期為口7所以可的值域?yàn)镮臼微選:A.

2.已知函數(shù)百二若對(duì)任意實(shí)數(shù)［小昌方程因

有解，方程I囚也有解，則與口的值的集合為

【答案】R

【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)國(guó)J.分類討論當(dāng)國(guó)sumsuiw*

三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出國(guó)”

即值，即可得出［3的值的集合.

解：由題可知直三，不妨設(shè)|臼

對(duì)于鼻對(duì)任意實(shí)數(shù)母5方程|因有解,

當(dāng)耳］?…一|時(shí)，方程可化為網(wǎng).....-1

??有解,

所以?回一…:——旭成立,所以|刁1；

當(dāng)?臼—…一忖，同上;，

當(dāng)I回「…I時(shí),方程可化為|臼——I有解,所以

綜上得：I叼百___________

對(duì)于愿對(duì)任意實(shí)數(shù)［JQ方程向也有解,

當(dāng)II,||時(shí)，方程可化為［?二_Z__I有解，所以I網(wǎng),外

當(dāng)厚一?一同上;

當(dāng)臼一…—耐，方程可化為岡…有解,

所以I臼恒成立,所以耳,

的值的集合為囪.故答案為:國(guó).

所以G］一

3.已知函數(shù)|可的最小正周期為馬若巨］在岡上的最大值為M,

則M的最小值為_________.

'I1.

【答案】回—

【分析】求出母1勺值，取耳］,然后對(duì)函數(shù)問一口在區(qū)間F~［上是否單調(diào)進(jìn)行分類討

論，利用絕對(duì)值三角不等式結(jié)合輔助角公式可求得耳勺最小值.

【詳解】

a

【題型十】三角換元1：圓代換

【典例分析】

如圖，已知臼二］為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P在以8C為直徑的半圓上，若

岡’一|,則習(xí)|的最小值為.

［答案］［

【分析】如圖建系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)向」1,則可得|印一|的坐標(biāo),根據(jù)題意，可得聞:

的表達(dá)式，代入所求，根據(jù)日的范圍，利用三角函數(shù)求最值，即可得答案.

【詳解】取BC中點(diǎn)。，以心原點(diǎn)，OC,0A方向?yàn)閤軸），軸正方向建系，如圖所示

由題意得：gi…，所以

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