模型的動(dòng)力學(xué)

PAGE2PAGE7有限理性Bertrand模型的動(dòng)力學(xué)分析摘要：研究了具非線性成本的有限理性Bertrand模型的動(dòng)力學(xué)，分析了此非線性系統(tǒng)均衡的存在與穩(wěn)定性問(wèn)題，觀察到了分叉、混沌行為等復(fù)雜現(xiàn)象，并對(duì)混沌現(xiàn)象的影響及控制做了有益的探討。關(guān)鍵詞：有限理性；Nash均衡；動(dòng)態(tài)演化；穩(wěn)定性中圖分類號(hào):F713文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:ADynamicsofBertrandmodelwithboundedrationalityZengxiang-jin,Yiqi-guo(SchoolofSciences,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan,Hubei,China,430070

)Abstract:ABertrandmodelwithboundedrationalityarestudied.Weanalyzetheexistenceandstabilityofthenonlinearsystem,andobservethecomplicatedphenomenonsuchasbifurcationandchaos.Wealsostudytheinfluenceandcontrolofchaosandgainsomehelpfulresults.Keywords:boundedrationality;Nashequilibrium;dynamicalevolution;stabilityZengXiang-jin:Prof.;SchoolofSciences,WUT,Wuhan430070,China.1引言近年來(lái),關(guān)于有限理性條件下的寡頭博弈的研究工作引起了越來(lái)越多的經(jīng)濟(jì)學(xué)者的興趣。Bischi和Naimzada研究了一個(gè)具線性成本的有限理性雙寡頭博弈模型，Ahmed,Agiza以及Hassan等把Puu的模型修改成具非線性成本的有限理性多寡頭博弈模型和不同行為規(guī)則的寡頭非線性博弈的混沌動(dòng)力學(xué),觀察到了分叉、混沌行為等復(fù)雜現(xiàn)象。Yassen和Agiza則研究了一個(gè)具有滯后效應(yīng)的有限理性雙寡頭博弈模型,并發(fā)現(xiàn)滯后效應(yīng)能夠增加博弈達(dá)到均衡的可能性[1-6]。易余胤,盛昭瀚,肖條軍研究了具溢出效應(yīng)的有限理性雙寡頭博弈的動(dòng)態(tài)演化[7],指出溢出效應(yīng)將增加博弈達(dá)到Nash均衡的可能性。文章用數(shù)字模擬的方法觀測(cè)到了這一現(xiàn)象,并對(duì)混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)及其對(duì)市場(chǎng)、企業(yè)的影響做了有益的探索。他們?cè)诓煌袨橐?guī)則下的Cournot競(jìng)爭(zhēng)的演化博弈模型[8]中，分析了把企業(yè)產(chǎn)量動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制和企業(yè)行為規(guī)則選擇機(jī)制結(jié)合在一起構(gòu)成一個(gè)非線性的演化博弈動(dòng)態(tài)系統(tǒng),并分析了雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)的產(chǎn)量均衡和企業(yè)對(duì)行為規(guī)則的選擇概率的動(dòng)態(tài)演化。然而，他們研究的寡頭模型都是企業(yè)選擇產(chǎn)量的Cournot模型，近幾年在中國(guó)西式快餐市場(chǎng),雙寡頭麥當(dāng)勞和肯德基之間的競(jìng)爭(zhēng)在價(jià)格上頻頻做文章，膠卷市場(chǎng)富士激戰(zhàn)柯達(dá)也是以降價(jià)作為利器。這些實(shí)例表明有必要探討寡頭企業(yè)選擇價(jià)格的Bertrand模型的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，并就此探討混沌的出現(xiàn)對(duì)市場(chǎng)的影響，并為企業(yè)在混沌市場(chǎng)中生存發(fā)展提供理論參考。2模型分析假設(shè)pi(t)是第i個(gè)寡頭在時(shí)期t的價(jià)格，i=1,2,t時(shí)期的產(chǎn)量q是由雙方的價(jià)格決定的一個(gè)線性逆需求函數(shù)為qi(pi,pj)=a-pi+bpji,j=1,2,ij，其中常系數(shù)a>0,b<0,表示兩企業(yè)的產(chǎn)品是互補(bǔ)的,b>0表示兩企業(yè)的產(chǎn)品是可替代的。兩個(gè)企業(yè)的成本函數(shù)為非線性形式ci(qi)=cqi2,即為簡(jiǎn)化討論，假設(shè)倆企業(yè)的生產(chǎn)方式類似。第i個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為混(p咬i潛,p成j擁)=p旦i須q惱i型-cq屠i名2珠循剪i,j=欄1,2,鏈i譜j世假愈設(shè)葵每個(gè)寡頭企闊業(yè)都是有限僑理性的察，煤他們進(jìn)行重溫復(fù)的窮Bertr自and廊飾雙寡頭博弈幅,寧他們都不完羅全清楚需求槍函數(shù)軌,分只是在每一田期根據(jù)對(duì)邊必際利潤(rùn)的估聾計(jì)來(lái)更新他成們的生產(chǎn)策姿略襪：絕在每個(gè)時(shí)期羨t昌,艙如果估計(jì)的倚邊際利潤(rùn)是虛正納(光負(fù)婦)乎的春,煙那么企業(yè)將漲增加鼻(跑減少徐)蠟第嫁t+舟1資期的價(jià)格形.擊每一期的邊懲際利潤(rùn)按如土下估計(jì)蜻:椒Φ注i嚇(t)=泡=銹a完(茂1+2沃c)-押2殖(慣1室+c)p答i形+(尤1+2扛c)bp憲j侵,燥拳i,j診=1,2,芒葵i悔j蹲老霜(1)其中股禾-霜<b<甜去腦愁癢故寶(脖2)伴那么描述爪Bertr農(nóng)and遙筐雙寡頭重復(fù)柱博弈的價(jià)格打動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)扶制可以表示明為訊p駛i凱(t+1)蕩=p善i秋(t)+黎α卸i燙(p提i洋)Φ蘇i趕礦,供饒i=校武1梢,望2哭威長(zhǎng)躬刻(由3航)褲這里函數(shù)神α掩i晶(p觀i旅)>彩0時(shí),擠它表示第拜i橫個(gè)企業(yè)相應(yīng)休于他所估計(jì)星的邊際利潤(rùn)膠的產(chǎn)量調(diào)整樹(shù)幅度楊。平有了這個(gè)動(dòng)眼態(tài)調(diào)整機(jī)制抄,穩(wěn)完全理性博州弈的兩個(gè)假劫設(shè)條件就可澤以放寬乖:劑雙寡頭不需赤要需求函數(shù)碑的完全信息金,虜只需要推斷鉆產(chǎn)量發(fā)生小何變化時(shí)市場(chǎng)趟如何反應(yīng)釘。壓產(chǎn)量的變化際由對(duì)邊際利嬌潤(rùn)的估計(jì)決洽定扣。系顯然蒼,竿對(duì)邊際利潤(rùn)碎的局部估計(jì)藏要比獲得需盟求函數(shù)的完侵全信息容易懇得多刃。取這種每一期歷重新決定產(chǎn)屆量的動(dòng)態(tài)調(diào)械整機(jī)制比道傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)己的瞬間調(diào)整畜更貼近現(xiàn)實(shí)休,蟲(chóng)因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)的市市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中赤,榨產(chǎn)量決策不蝦可能在瞬間睡改變坑。流假設(shè)函數(shù)司α傷i堤(p爆i樂(lè))浸劇為線性函數(shù)用,α遲i分(p起i亡)=α振i掩p婚i歪,i百=卵1喘,厚2兼,術(shù)即假設(shè)產(chǎn)量嘆的相對(duì)變化捏與邊際利潤(rùn)世是成比例的魚(yú),五即會(huì)[p筐i仿(t+穗1百)-p蟲(chóng)i濟(jì)(t)]/延p受i礙(t)=探α晌i之Φ護(hù)i黎這里穩(wěn)α幅i石證表示產(chǎn)量調(diào)刮整速度的正創(chuàng)常數(shù)草,所代表企業(yè)對(duì)惜每單位產(chǎn)品貍利潤(rùn)信號(hào)的膠反應(yīng)速度傳。驕動(dòng)態(tài)系統(tǒng)探(區(qū)2牌)矮可以寫(xiě)為如陶下形式拒p學(xué)i努(t+1)肆=p爸i破(t)+促α既i啞p粒i劉(t)擾[壁a(律1+2忘c(diǎn))成-2孔(玻1碰+c)p少i帝+(貨1+2頓c)bp擠j弱]廚堅(jiān)(4蹦)寫(xiě)從經(jīng)濟(jì)學(xué)的最觀點(diǎn)紫,餡只有非負(fù)均伙衡才有意義衣。劃可以定義這循個(gè)有限理性爐雙寡頭重復(fù)燒博弈的均衡種點(diǎn)為系統(tǒng)沸(繭4雙)韻的非負(fù)定點(diǎn)叮。肢則在系統(tǒng)袍(兆4吳)黃中令那p綠i老(t+1)氣=p紙i織(t)委,撫i毀=籮1懲,觀2雙得到非線性若系統(tǒng)左(4)盯的4個(gè)均衡暫為份E興0痛=(0,0貨),E獅1仰=(驅(qū),0),鋒E虧2句=(0,壺研),E端*=(p*躁,p*)莊其中延p炎*=祖>0,噸即示b<葉不妨稱均衡懷E丘0啦雞,菠失E潮1若雞,因E崗2桿為有界均衡昏,嘩均衡畝E*幸為輩Nash犧均衡妥。惰下面研究這值些均衡的局逢部穩(wěn)定性招。值先計(jì)算系統(tǒng)瘦(東4悅)攻艇的母Jacob滔ian沉矩陣密,嘆即從J=歡在有界均尸衡點(diǎn)計(jì)E熱0敵透處尿,夸Jacob光ian腫矩陣為J=剃它的特征值揀為遷=猛和近=枯顯然遠(yuǎn)，腥>拍1餃，仙目>發(fā)1棟,恨逮故戰(zhàn)E包0墓不穩(wěn)定。戰(zhàn)在有界均衡娛點(diǎn)雁E鹽1自努處聽(tīng),齒Jacob副ian糖矩陣為J=哪它的特征值商為肅=錯(cuò)和到=謝，它們的特算征向量為崗r打1拘(1)迷=(1,0除)和r擾1件(2)京=(1,押)講.臺(tái)箱因此丙,副E島1票狹是一個(gè)鞍筑點(diǎn)。當(dāng)校α臥1她軟<雁2/隊(duì)[習(xí)ɑ食(1+2趟c察)援]適時(shí)孤,臉沿著歷q役1故斜軸的軌線是昨穩(wěn)定的暫,黎沿著禾r哥1垃(2)撕的切線不穩(wěn)閱定摧。旱算此外腔,蟲(chóng)E超1和蜘是不穩(wěn)定節(jié)渡點(diǎn)舉。嗎E科2死設(shè)和兇E傅1荷乘具對(duì)稱結(jié)構(gòu)挎,誰(shuí)故潛E破2份騙也是一個(gè)鞍勝點(diǎn)頃。抖孕下面研究N盤(pán)ash均衡勢(shì)E*=(p堵*,p*)需的局部穩(wěn)定賺性。先計(jì)算推E*羽點(diǎn)處的Ja榮cobia皮n矩陣為J=壤其中遣x保=a(訓(xùn)1+2狡c)+[(鋸1+2什c)b性-4敏(利1搬+c)]p適*，元特征方程為搬P(肆)＝護(hù)2話－trJ遣+det纖J=0必這里trJ刺為喜Jacob帝ian開(kāi)矩陣的跡，難detJ為吊Jacob侵ian郵矩陣的行列擴(kuò)式，表示如斃下雨trJ=綿2+(澇α故1歌+漲α博2市)乏x允detJ=炒1+(室α肝1騰+梅α蓮2略)糟x聯(lián)+翼α芒1背α童2票[很x銷2籍-b查2兩p*青2虹(1+2善c攏)紗2佩]料因?yàn)檠騮rJ翠2砍-4det貞J=扇x剖2皺(孝α泳1溉-α德2閣)耗2挎+4港α扎1衫α鎖2汽b雖2勉p*柿2趨(1+2刷c沙)喪2必>0底瞇這說(shuō)明妙Nash牧均衡協(xié)E*邪的特征值是跳實(shí)的膝。昂那么燈,富下面給出繁Nash擔(dān)均衡還E*商穩(wěn)定的充分斧必要條件崇。絲Nash芝均衡的局部遭穩(wěn)定性可以房用陜Jury聯(lián)條件給出升,哪即喘1）閱1濫-肌trJ務(wù)+框detJ稅掙=紡α聚1鉗α覆2車a郵(1+2壤c槐)飲[魯a墨(1+2吐c陷)+2殘bp*綠(1+2遍c)鐮]>0,彎當(dāng)且僅當(dāng)爪b撲>-侮，符合式椒(2)雖;丟2）逝E*駐丙的局部漸近痕穩(wěn)定的充分對(duì)條件是誓1+t屆rJ+蠶det拾J賓>0急即罪4+2(頃α杜1隨+樹(shù)α呢2訪)朗x+式α蜜1艇α罷2銜[怒x掏2蠻-b箱2易p*圖2竹(1+2逐c蹦)標(biāo)2僵]>0侵上面這個(gè)方押程定義了亮E*之的一個(gè)穩(wěn)定消區(qū)域擔(dān),凳這個(gè)穩(wěn)定區(qū)雷域由一段雙標(biāo)曲線與殃α貸1秧,誠(chéng)α統(tǒng)2縱推的正半軸界壯定羽。攔Nash鍋均衡孫E*目在這個(gè)區(qū)域奶內(nèi)是穩(wěn)定的訓(xùn)均衡點(diǎn)館,舌但篇α紀(jì)1吹嚼,α岡2皺一旦超出這敵個(gè)區(qū)域殃,及E*繞就變得不穩(wěn)普定折,寧并在點(diǎn)此A誠(chéng)1拉戒=(-2涉/挑x進(jìn),0)池和伐A曠2虧=(0,-濤2/嬸x互)綁處開(kāi)始出現(xiàn)囑分叉。輝顯然唇,第E*泉的穩(wěn)定性依畜賴于系統(tǒng)參低數(shù)斧。宮事實(shí)上栽,灰若增加確保魔E*氏局部穩(wěn)定的按參數(shù)集中的聽(tīng)α團(tuán)1仆粱,α箏2特的值機(jī),機(jī)使得恨α板1胃，切α孫2長(zhǎng)驚離開(kāi)穩(wěn)定區(qū)浩域盒,盲都將引起分撐叉選。蓄3睜數(shù)字模擬恐及結(jié)論乓本節(jié)通過(guò)數(shù)藥字模擬顯示垃這個(gè)有限理稱性雙寡頭博桐弈非線性系青統(tǒng)斯(交4怕)的的動(dòng)態(tài)演化塌。答香圖耕1波為有限理性頂Bertr諸and截低雙寡頭博弈聞動(dòng)態(tài)演化圖銜。均淹參數(shù)值為慣a=此3.5魄，競(jìng)b=抄-0.站2鏡5禁,朗c葉雕=批0跡.承5躲，悼α弦1眉=0.33婆,液圖2為有限嬸理性潔Bertr孩and葛雙寡頭博弈乖的混沌吸引出子。喬參數(shù)值為你a=撤3.5擋，斗b=節(jié)-0.25佳醒,悼c俊莖=著0幸.籮5，件α灰1貧=0.33知,腸膏α聞2界=0.43籮。嘴白半圖聲1慌有限理性仰Bertr尤and扎雙寡頭博弈迷動(dòng)態(tài)演化圖已敬圖沸2編彩有限理性煎Bertr饒and汪雙寡頭博弈另的混沌吸引葡子錄在本文中皺,得產(chǎn)量調(diào)整速疫度起著一個(gè)死擾動(dòng)作用垮,巴增加它的值屠可能使流Nash卻均衡不再穩(wěn)餅定慨,木而且還會(huì)出姨現(xiàn)更為復(fù)雜寨的混沌現(xiàn)象級(jí)。達(dá)從圖監(jiān)1爭(zhēng)、圖夢(mèng)2雞可以看到能,地混沌的出現(xiàn)庸是敏感的依蒸賴于系統(tǒng)的裕初始條件的稀,原初始條件的評(píng)細(xì)微變化能強(qiáng)夠?qū)е孪到y(tǒng)夕未來(lái)長(zhǎng)期運(yùn)理動(dòng)軌跡之間咽的巨大差異飼。耐在本文中脖,虜產(chǎn)量調(diào)整速稠度的最大值敘就是混沌出凈現(xiàn)的臨界值枯,烏只要有限理船性雙寡頭估鴨計(jì)的產(chǎn)量調(diào)遵整速度小于蛇這個(gè)臨界值賊,膽競(jìng)爭(zhēng)雙方的轉(zhuǎn)產(chǎn)量在重復(fù)抖博弈多次后昏都會(huì)動(dòng)態(tài)地液趨向于均衡肉狀態(tài)淘。舌然而舅,鳴一旦超過(guò)這滅個(gè)臨界值炎,部產(chǎn)量調(diào)整就惰進(jìn)入到混沌餃狀態(tài)銳,征市場(chǎng)出現(xiàn)不饞可預(yù)測(cè)性咬,誦此時(shí)腦,雙雙寡頭都無(wú)沈法決定長(zhǎng)期限動(dòng)態(tài)調(diào)整后迷的產(chǎn)量奔。披因此挎,磚為使市場(chǎng)處絕于平衡態(tài)罰,剩徹企業(yè)應(yīng)當(dāng)慎賤重選擇博弈燭的初始條件讓。佛4續(xù)結(jié)束語(yǔ)狡研究雙寡