探究二次函數(shù)最值問題 論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選探究二次函數(shù)最值問題摘要：二次函數(shù)最值問題作為安徽中考必考的知識點，同時也是不少同學感覺得難點。難點在于構建函數(shù)模型，分析函數(shù)圖像，解決實際問題，這里面最主要的就是體現(xiàn)了初中數(shù)學最主要的數(shù)形結合的思想。關鍵詞：函數(shù)模型，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結合，最大值或者最小值。引言：本文首先從經(jīng)歷數(shù)學建模的基本過程，能分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，其次運用二次函數(shù)的性質(zhì)，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型求實際問題中的最大值或最小值，感受數(shù)學建模的思想和數(shù)學的應用價值。一、利用二次函數(shù)解決面積問題 1．利用二次函數(shù)求最大面積

例1小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化．(1)求S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？賞析：利用矩形面積公式就可確定二次函數(shù)．(1) 矩形一邊長為x，則另一邊長為，從而表示出面積；(2) 利用配方法求出頂點坐標． 解：(1)根據(jù)題意，得S＝·x＝－x2＋30x.自變量x的取值范圍是0＜x＜30； (2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，因為a＝－1＜0，所以S有最大值，即當x＝15(米)時，S最大值是225(平方米)．點評：二次函數(shù)與日常生活中的例子還有很多，體現(xiàn)了二次函數(shù)這一數(shù)學模型應用的廣泛性．解決這類問題關鍵是在不同背景下學會從所給信息中提取有效信息，建立實際問題中變量間的二次函數(shù)關系．2.利用二次函數(shù)判斷面積取值成立的條件 例2用長為32米的籬笆圍一個矩形養(yǎng)雞場，設圍成的矩形一邊長為x米，面積為y平方米．(1)求y關于x的函數(shù)關系式；

(2)當x為何值時，養(yǎng)雞場面積為60平方米？(3)能否圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場？如果能，請求出其邊長；如果不能，請說12022年安徽省中小學教育教學論文評選明理由．賞析：(1)先表示出矩形的另一邊長，再利用矩形的面積公式表示出函數(shù)關系式；(2)通過已知矩形的面積，可以轉化為解一元二次方程；

(3)判斷能否圍成，其實就是利用根的判別式判斷一元二次方程是否有實數(shù)根，也可用配方法判斷．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)當y＝60時，－x2＋16x＝60，

解得x1＝10，x2＝6. 所以當x＝10或6時，圍成的養(yǎng)雞場的面積為60平方米；

(3)方法一：當y＝70時，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程無實數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場． 方法二：當y＝70時，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程無實數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場.[1]

點評：與面積有關的函數(shù)與方程問題，可通過面積公式列出函數(shù)關系式或方程．3.利用二次函數(shù)確定最大面積的條件 例3現(xiàn)有一塊矩形場地，如圖所示，長為40m，寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：A.蘭花；B.菊花；C.月季；D.牽牛花． (1)求出這塊場地中種植B菊花的面積y與B場地的長x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)當x是多少時，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？ 賞析：這是花草種植面積的最優(yōu)化問題，先根據(jù)矩形的面積公式列出y與x之間的函數(shù)關系式，再利用配方法或公式法求得最大值． 解：(1)由題意知，B場地寬為(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自變量x的取值范圍為0＜x＜30；

(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，當x＝15m時，種植菊花的面積最大，最大面積為225m2.22022年安徽省中小學教育教學論文評選二．利用二次函數(shù)解決實際生活問題1.在建筑問題中的應用 例1如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面寬4米時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2米．水面下降1米時，水面的寬度為________米．賞析：如圖，建立直角坐標系，設這條拋物線為y＝ax2，把點(2，－2)代入，得－2＝a×1 1 122，a＝－，∴y＝－x2，當y＝－3時，－x2＝－3，x＝±2 2 26.故答案為26.點評：在解決呈拋物線形狀的實際問題時，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直角坐標系；(2)將實際問題中的數(shù)量轉化為點的坐標；(3)設出拋物線的解析式，并將點的坐標代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)解析式解決實際問題．2.運動軌跡問題例2某學校初三年級的一場籃球比賽中，如圖，隊員甲正在投籃，已知球出手時距 20

地面 米，與籃圈中心的水平距離為7米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4 9米，設籃球運行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米．(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？ (2)此時，若對方隊員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？賞析：這是一個有趣的、貼近學生日常生活的應用題，由條件可得到出手點、最高點(頂點)和籃圈的坐標，再由出手點、頂點的坐標可求出函數(shù)表達式；判斷此球能否準確投中的關鍵就是判斷代表籃圈的點是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就32022年安徽省中小學教育教學論文評選是比較當x＝1時函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大?。?20

解：(1)由條件可得到出手點、最高點和籃圈的坐標分別為A(0， )，B(4，4)，C(7， 93)，其中B是拋物線的頂點． 1 設二次函數(shù)關系式為y＝a(x＋h)2＋k，將點A、B的坐標代入，可得y＝－(x－4)2 9＋4.將點C的坐標代入上式，得左邊＝右邊，即點C在拋物線上．所以此球一定能投中；(2)將x＝1代入函數(shù)關系式，得y＝3.因為3.1＞3，所以蓋帽能獲得成功．[2]3.落點問題例3如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據(jù)實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式；(2)足球第一次落地點C距守門員多少米(取4 3＝7)?(3)運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米(取2 6＝5)?賞析：要求足球開始飛出到第一次落地時，拋物線的表達式，則需要根據(jù)已知條件確定點A和頂點M的坐標，因為OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以點A的坐標為(0，1)，頂點M的坐標是(6，4)．根據(jù)頂點式可求得拋物線關系式．因為點C在x軸上，所以要求OC的長，只要把點C的縱坐標y＝0代入函數(shù)關系式，通過解方程求得OC的長．要計算運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米，實際就是求DB的長．求解的方法有多種．解：(1)設第一次落地時，拋物線的表達式為y＝a(x－6)2＋4，1由已知：當x＝0時，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－ .121 1所以函數(shù)表達式為y＝－ (x－6)2＋4或y＝－ x2＋x＋1；12 1242022年安徽省中小學教育教學論文評選 1

(2)令y＝0，則－ (x－6)2＋4＝0， 123＋6<0(舍去)．所以(x－6)2＝48，所以x1＝43＋6≈13，x2＝－4 所以足球第一次落地距守門員約13米；

(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CD＝EF(即相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位)． 1

所以2＝－ (x－6)2＋4，解得x1＝6－2 126，x2＝6＋26，所以CD＝|x1－x2|＝46≈10. 所以BD＝13－6＋10＝17(米)．[3]

點評：解決此類問題的關鍵是先進行數(shù)學建模，將實際問題中的條件轉化為數(shù)學問題中的條件.常有兩個步驟：(1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)的關系式，將實際問題轉化為純數(shù)學問題；(2)應用有關函數(shù)的性質(zhì)作答.三．二次函數(shù)與幾何面積綜合1.三角形面積最值例1如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，且點B與點C的坐標分別為線的頂點．（1）求二次函數(shù)的關系式；B(3,0).C(0,3)，點M是拋物（2）點P為線段MB上一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D.若OD=m，△PCD的面積為S，（1）求S與m的函數(shù)關系式，寫出自變量m的取值范圍．（2）當S取得最值時，求點P的坐標；（3）在MB上是否存在點P，使如果不存在，請說明理由．賞析:△PCD為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；（1）將點B，C的坐標代入y=?x2+bx+c即可；

（2）求出頂點坐標，直線MB的解析式，由PD⊥x軸且OD=m知P(m,?2m+6)，即可用 含m的代數(shù)式表示出S；②在①和情況下，將S與m的關系式化為頂點式， 由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可寫出點P的坐標；52022年安徽省中小學教育教學論文評選（3）分情況討論，如圖2?1，當∠CPD=90°時，推出PD=CO=3，則點P縱坐標為3，即可寫出點P坐標；如圖2?2，當∠PCD=90°時，證∠PDC=∠OCD，由銳角三角函數(shù)可求出m的值，即可寫出點P坐標；當∠PDC=90°時，不存在點P．解：(1)將點B(3,0)，C(0,3)代入y=?x2+bx+c，得{0=?9+3b+3c=3 ，解得，{b=2c=3，∴二次函數(shù)的解析式為y=?x2+2x+3；(2)①∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，∴頂點M(1,4)，設直線BM的解析式為y=kx+b，將點B(3,0)，M(1,4)代入，得{3k+b=0k+b=4，解得{k=?2b=6，∴直線BM的解析式為y=?2x+6，∵PD⊥x軸且OD=m，∴P(m,?2m+6)，∴S=S△PCD=12PD?OD=12m(?2m+6)=?m2+3m，即S=?m2+3m，∵點P在線段BM上，且B(3,0)，M(1,4)，∴1≤m≤3；②∵S=?m2+3m=?(m?32)2+9，∵?1>0，∴當m=3時，S取最大值，92 4∴P(32,3)；62022年安徽省中小學教育教學論文評選（3）存在，理由如下：如圖2?1，當∠CPD=90°時，∵∠COD=∠ODP=∠CPD=90°，∴四邊形CODP為矩形，∴PD=CO=3，將y=3代入直線y=?2x+6，得，x=3，2∴P(32,3)；如圖2?2，當∠PCD=90°時，∵OC=3，OD=m，∴CD2=OC2+OD2=9+m2，∵PD//OC，∴∠PDC=∠OCD，∴cos∠PDC=cos∠OCD，∴PD=OC，∴DC2=PD?OC，∴9+m2=3(?2m+6)，解得，m1=?3?32(舍去，m2=?3+32，∴P(?3+32,12?62)，當∠PDC=90°時，∵PD⊥x軸，∴不存在，綜上所述，點P的坐標為(32,3)或(?3+32,12?62).點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)的思想求極值以及直角三角形的存在性與動點結合等，解題關鍵是注意分類討論思想在解題過程中的運用．2.涉及圓的知識綜合72022年安徽省中小學教育教學論文評選例1如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點B(?1,0)，點C(4,0)，與y軸交于點A． （1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+2的表達式；

（2）連接AC，AB，若點N在線段BC上運動，不與點B，C重合，過點N作NM//AC， 面積最大時，求N點的坐標；交AB于點M，當

△AMN （3）在（2）的結論下，若點Q在第一象限，且tan∠CQN=2，線段BQ是否存在最值？如果存在請直接寫出最值，如果不存在，請說明理由．賞析：（1）由B、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設N(n,0)，則可用n表示出 AM

△ABN的面積，由NM//AC，可求得 ，則可用nAB表示出△AMN的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時n的值，即可求得N點的坐標；（3）取點F(32,54)，過點C、N、F作圓，則點E(114,58)為圓心，利用同圓等弦所對圓周角相等，再根據(jù)已知條件點Q在第一象限，找到BQ的最值，計算可得結果．解：（1）將點B，點C的坐標分別代入y=ax2+bx+4可得{16a+4b+2=0,a?b+2=0解得{b=3 2

2,

a=?1∴二次函數(shù)的表達式為y=?12x2+32x+4；（2）設點N的坐標為(n,0)(?1<n<4)，則BN=n+1，CN=4?n．∵B(?1,0)，C(4,0)，∴BC=5，82022年安徽省中小學教育教學論文評選在y=?12x2+32x+2中，令x=0，解得y=2，∴點A(0,2)，OA=2，∴S△ABN=12BN?OA=12(n+1)×2=n+1，∵MN//AC，∴AB=NCBC=4?n，∴S△AMN=AMAB=4?n，S△ABN∴S△AMN=4?n5S△ABN=15(4?n)(n+1)=?15(n?