第四章變量數(shù)列分析

第四章變量數(shù)列分析第1頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)變量數(shù)列分析概述

一、變量數(shù)列分析的內(nèi)容

1、總體結(jié)構(gòu)與分布特征分析。

2、集中趨勢(shì)分析。

3、離中趨勢(shì)分析。

4、偏度與峰度分析。

第2頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、變量數(shù)列分析的作用

1、認(rèn)識(shí)作用。

2、比較作用。

3、數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)作用。

4、推斷作用。第3頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、變量數(shù)列分析的原則

1、注意總體各單位的同質(zhì)性。

2、用組平均數(shù)補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)。

3、用分配數(shù)列補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)。

4、集中趨勢(shì)與離中趨勢(shì)結(jié)合應(yīng)用。

5、一般與個(gè)別結(jié)合應(yīng)用。第4頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

第二節(jié)集中趨勢(shì)分析

一、平均指標(biāo)的意義

（一）平均指標(biāo)的概念平均指標(biāo)又稱平均數(shù)，是指某一數(shù)量標(biāo)志在總體各單位上所達(dá)到的一般水平。

（二）平均指標(biāo)的特點(diǎn)將具體數(shù)值抽象化，用一個(gè)代表性的數(shù)字來(lái)代表總體的一般水平。

第5頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（三）平均指標(biāo)的作用

1、反映總體分布的集中趨勢(shì)。

2、比較同類現(xiàn)象在同一時(shí)間、不同空間上的水平。

3、比較同類現(xiàn)象在同一空間、不同時(shí)間上的水平。第6頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（四）平均指標(biāo)的種類

算數(shù)平均數(shù)

計(jì)算平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)一般平均數(shù)（數(shù)值平均數(shù)）幾何平均數(shù)（靜態(tài)平均數(shù)）

眾數(shù)

位置平均數(shù)平均數(shù)中位數(shù)

平均發(fā)展水平動(dòng)態(tài)平均數(shù)平均增長(zhǎng)水平（序時(shí)平均數(shù)）平均發(fā)展速度平均增長(zhǎng)速度圖6-1第7頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、算術(shù)平均數(shù)（一）概念和基本公式算術(shù)平均數(shù)是指總體標(biāo)志總量與總體單位總量對(duì)比所得之比值。一般用符號(hào)表示。其基本公式為：

第8頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在計(jì)算算術(shù)平均數(shù)時(shí)應(yīng)注意：分子、分母必須同屬于同一總體，且具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即：有一個(gè)總體單位必須有一個(gè)標(biāo)志值與之對(duì)應(yīng)。只有這樣計(jì)算出來(lái)的平均指標(biāo)才能表明總體的一般水平。這正是平均指標(biāo)與強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的區(qū)別，強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)是兩個(gè)有聯(lián)系的不同總量指標(biāo)對(duì)比的結(jié)果，這兩個(gè)總量指標(biāo)沒(méi)有依附關(guān)系，而只是經(jīng)濟(jì)內(nèi)容上存在客觀聯(lián)系。第9頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（二）計(jì)算方法

1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均法。

（1）適用對(duì)象。簡(jiǎn)單算術(shù)平均法適用于求未分組資料的平均數(shù)。（2）計(jì)算公式。第10頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例6-1

某班組20名工人的周工資分別為：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，則其平均工資為：第11頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、加權(quán)算術(shù)平均法。

（1）適用對(duì)象。加權(quán)算術(shù)平均法適用于對(duì)已分組的資料求平均數(shù)。

（2）計(jì)算公式。

①當(dāng)權(quán)數(shù)為絕對(duì)數(shù)f時(shí)。第12頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-2某班組20名工人按周工資分組資料如下表：

表6-1按周工資分組（元）x工人人數(shù)（人）f

xf

150180200220240260280

2346311

3005408001320720260280

122934454874969

74422883484486252324014761

20

4220

518

20980第13頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②當(dāng)權(quán)數(shù)為頻率f/∑f時(shí)。第14頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-3

某班組若干名工人按周工資分組的資料如下表：

表6-2按周工資分組（元）

x各組人數(shù)占總?cè)藬?shù)比重（%）f/∑f

x﹡f/∑f

150180200220240260280

101520301555

15274066361314∑

100

211第15頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

=211(元）第16頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（三）關(guān)于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明

1、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受變量值x和權(quán)數(shù)f或f/∑f兩個(gè)因素的影響。

2、權(quán)數(shù)從形式上講可以是頻數(shù)f，也可以是頻率f/∑f。

3、對(duì)同一原始資料而言，用頻數(shù)f與用頻率f/∑f求出的平均數(shù)始終是相等的。

4、權(quán)數(shù)對(duì)平均數(shù)的大小有權(quán)衡輕重的作用，即哪一個(gè)組的權(quán)數(shù)最大，計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)就與該組的變量值最接近。

5、各組頻率沒(méi)變，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)始終都不變；各組頻率發(fā)生變化，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)也發(fā)生變化。

第17頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如，某建筑工地上，各種起重機(jī)和起重機(jī)臺(tái)數(shù)構(gòu)成資料如下：起重（噸）起重機(jī)臺(tái)數(shù)（臺(tái)）各組所占比重％起重總量（噸）４０１１０４０２５２２０５０１０３３０３０５４４０２０合計(jì)１０１００１４０平均起重量=40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14噸第18頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三權(quán)數(shù)對(duì)平均數(shù)的大小不取決于它的絕對(duì)值的大小而取決于它的比重大小，若各組單位數(shù)與總體單位數(shù)同時(shí)發(fā)生變化，各組比重不變，則平均數(shù)不變。起重量（噸）起重機(jī)臺(tái)數(shù)（臺(tái)）各組起重機(jī)占比重％起重總量（噸）４０２１０８０２５４２０１００１０６３０６０５８４０４０合計(jì)２０１００２８０平均起重量X￣=40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14噸第19頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

6、當(dāng)個(gè)組頻數(shù)或頻率相等時(shí)，權(quán)數(shù)就失去了其應(yīng)有的作用，此時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就變成了簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)，所以說(shuō)簡(jiǎn)單平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)在權(quán)數(shù)相等是的一個(gè)特例。若各組單位數(shù)相同，即ｆ1=ｆ2=---=ｆn=ｆ,則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式與簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)存在下面的關(guān)系式：所以簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的一個(gè)特例，是權(quán)數(shù)相等條件下的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。

第20頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三7、根據(jù)組距數(shù)列求加權(quán)算術(shù)時(shí)，需取組中值作為各組變量值的代表，是假定總體各單位在各組內(nèi)部是均勻分布的，但并非如此，故計(jì)算的平均數(shù)只是一個(gè)近似值。第21頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8、在計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，對(duì)于權(quán)數(shù)的選擇必須慎重考慮。例如，計(jì)算平均利潤(rùn)率、平均合格率、平均費(fèi)用率、平均計(jì)劃完成程度等等，應(yīng)根據(jù)被研究標(biāo)志的性質(zhì)及具有的權(quán)數(shù)資料選擇不同的方法，下面請(qǐng)看例子：第22頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1：某市某局所屬15個(gè)企業(yè)工業(yè)增加值計(jì)劃完成情況的組距分配數(shù)列資料如下：計(jì)劃完成程度

(%)組中值

(%)企業(yè)數(shù)

(個(gè))計(jì)劃數(shù)

(萬(wàn)元)

90-100

95

5

100

100-110

105

8

800

110-120

115

2

100合計(jì)

---

15

1000根據(jù)上述資料計(jì)算該公司平均計(jì)劃完成程度如果以企業(yè)數(shù)為權(quán)數(shù)就不對(duì)第23頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2：某公司下屬三個(gè)門(mén)市部銷售情況如下：部門(mén)銷售利潤(rùn)率(%)銷售額(萬(wàn)元)

A

12

1000

B

10

2000

C

7

1500合計(jì)

-----

4500根據(jù)以上資料計(jì)算該公司的平均利潤(rùn)率。第24頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3：某市100個(gè)超市的月銷售額與流通費(fèi)用情況如下：按銷售額分組（萬(wàn)元）商店數(shù)（個(gè)）銷售費(fèi)用率（%）

50以下

10

14、2

50--100

20

11、4

100--200

30

10、1

200--300

25

9、2

300以上

15

8、5合計(jì)

100

------第25頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（四）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

1、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差的和等于0。即：｛第26頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第27頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

2、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的和為最小。即：｛第28頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第29頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（五）算術(shù)平均數(shù)的特殊應(yīng)用1、等級(jí)（品質(zhì)標(biāo)志）平均數(shù)(例6-4和例6-5）。

2、評(píng)分平均數(shù)（教材P62—63）。3、先進(jìn)平均數(shù)（例6-6和例6-7）。

4、截尾平均數(shù)（教材P63）。第30頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-4某地區(qū)勞動(dòng)力資源按文化程度不同的分組資料如下表。要求計(jì)算該地勞動(dòng)力資源的平均文化程度。

表6-3

按文化程度分組人數(shù)（萬(wàn)人）

f受教育年限（年）

x

xf大學(xué)高中初中小學(xué)文盲、半文盲

5357011525

1612960

804206306900∑

250

—

1820第31頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-5某農(nóng)產(chǎn)品收購(gòu)站2003年收購(gòu)的某農(nóng)產(chǎn)品按收購(gòu)等級(jí)分組得資料如下表。要求計(jì)算該農(nóng)產(chǎn)品的平均等級(jí)。

表6-4按等級(jí)分組收購(gòu)量（公斤）

f

x

xf特等品一等品二等品三等品等外品

300500100035050

01234

050020001050200∑

2200

—

3750第32頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-6資料見(jiàn)例6-2。要求計(jì)算該班組20名工人周工資的先進(jìn)算術(shù)平均數(shù)。第33頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-7資料見(jiàn)例6-15。要求計(jì)算該班學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的先進(jìn)算術(shù)平均數(shù)。

表6-5按成績(jī)分組（分）人數(shù)（人）

f

x

xf

73.20—8080—9090以上

1772

76.608595

1302.20595190∑

26

—

2087.20第34頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、調(diào)和平均數(shù)（一）概念和基本公式調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是指各變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。一般用符號(hào)表示。其基本公式為：第35頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（二）計(jì)算方法

1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均法。（1）適用對(duì)象。簡(jiǎn)單調(diào)和平均法適用于對(duì)未分組資料求平均數(shù)。（2）計(jì)算公式。第36頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-8某種蔬菜在某個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)早、中、晚的價(jià)格分別為（元/斤）：2.00、1.80、1.50，則某人早、中、晚各買(mǎi)1元時(shí)的平均價(jià)格為：

=1.74（元）第37頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、加權(quán)調(diào)和平均法。

（1）適用對(duì)象。加權(quán)調(diào)和平均法適用于對(duì)已分組資料求平均數(shù)。

（2）計(jì)算公式。==

==第38頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3）應(yīng)用。

例6-9

某班若干名學(xué)生按年齡分組的資料如下表：

表6-6按年齡分（歲）

x總年齡（歲）

m

m/x

1819202122

3619052021044

21026102∑

1000

50第39頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例6-10某公司所屬甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)率和利潤(rùn)額資料如下表。要求計(jì)算甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)的平均利潤(rùn)率。

表6-7企業(yè)名稱利潤(rùn)率（%）

x利潤(rùn)額（萬(wàn)元）m

m/x甲乙丙

151816

75396104

5002200650∑

—

575

3350第40頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例6-11某單位2003年新、老職工的有關(guān)工資資料如下表。要求計(jì)算該單位新、老職工的平均工資。

表6-8職工類別平均工資（元）x工資總額（元）

m

m/x新職工老職工

1300017000

455000011050000

350650∑

—

15600000

1000第41頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、幾何平均數(shù)

（一）幾何平均數(shù)的概念

幾何平均數(shù)是指N個(gè)比率連乘積的N次方根。一般用符號(hào)表示。

（二）幾何平均數(shù)的計(jì)算方法

1、簡(jiǎn)單幾何平均法。

（1）適用對(duì)象。簡(jiǎn)單幾何平均法適用于對(duì)未分組的N個(gè)比率求平均數(shù)。

（2）計(jì)算公式。第42頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例6-12某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)五道工序，已知各工序的合格率分別為98%、95%、98%、97%和95%，要求計(jì)算五道工序的平均合格率。第43頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、加權(quán)幾何平均法。

（1）適用對(duì)象。加權(quán)幾何平均法適用于對(duì)已分組的N個(gè)比率求平均數(shù)。（2）計(jì)算公式。第44頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-13某校某年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試各班級(jí)按及格率分組的資料如下表。要求計(jì)算各班級(jí)的平均及格率。

表6-9按及格率分組（%）x班級(jí)數(shù)（個(gè)）f

60以下

60—7070—8080—9090以上

271353∑

30第45頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（三）、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系：1、從統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)的角度看，上述三種平均數(shù)是無(wú)關(guān)的，即這三種平均數(shù)，只能根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究的性質(zhì)單獨(dú)使用，不可同時(shí)使用。2、但從數(shù)量上看，它們存在著如下關(guān)系：

H≤G≤Xˉ（只有當(dāng)所有變量值都相等的情況下，三種平均數(shù)才相等）。明白了這個(gè)關(guān)系，就可判定：在該用算術(shù)平均數(shù)時(shí)，如果用了其它平均數(shù)則結(jié)果必??；在該用調(diào)和平均數(shù)時(shí)，如果用了其它平均數(shù)則結(jié)果必大。第46頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、僅以兩個(gè)變量值來(lái)證明以下不等式關(guān)系：證明：（a-b）2=a2-2ab+b2≥0

第47頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4、舉例：某機(jī)械廠六個(gè)工人某天生產(chǎn)零件如下：15、16、17、18、19、20件，用三種方法計(jì)算其平均日產(chǎn)量。H≤G≤Xˉ假設(shè)當(dāng)六個(gè)工人產(chǎn)量均為18件時(shí)，則H=G=Xˉ第48頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三五、眾數(shù)

（一）眾數(shù)的概念眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。一般用符號(hào)表示。（二）眾數(shù)的前提條件

1、變量值必須分組。

2、變量值要有明顯的集中趨勢(shì)。

第49頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三眾數(shù)是變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。由于它出現(xiàn)次數(shù)最多，所以可以代表社會(huì)現(xiàn)象的一般水平，并且眾數(shù)對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響很大。例如：某鞋店某月女式皮鞋的銷售量如下：34碼20雙35碼60雙36碼75雙37碼60雙38碼60雙39碼30雙

40碼5雙共計(jì)銷售了310雙，出現(xiàn)次數(shù)最多的是36碼，銷售了75雙，那么36碼則是眾數(shù)。第50頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（三）眾數(shù)的確定方法

1、由單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)。

眾數(shù)=頻數(shù)（頻率）最多組的變量值

單眾數(shù)——只有一個(gè)組的頻數(shù)（頻率）為最多。復(fù)眾數(shù)——有兩個(gè)組的頻數(shù)（頻率）一樣為最多。無(wú)眾數(shù)——第51頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三具體分三種情況：如：某車間三個(gè)生產(chǎn)班組工人某日生產(chǎn)零件數(shù)如下：第一組：70727575757575757880

眾數(shù)：75件出現(xiàn)6次，第二組：68707575757878788082

眾數(shù)：75、78件各出現(xiàn)3次75+78/2=76、5第三組：68707578808284909495

無(wú)眾數(shù)。第52頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-14某班50名學(xué)生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數(shù)。（20歲）

表6-10按年齡分（歲）人數(shù)（人）

1819

27

20

28

2122

121∑

50第53頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、由組距數(shù)列確定眾數(shù)。①確定眾數(shù)組。眾數(shù)組=頻數(shù)（頻率）最多的組②按下列方法中的公式求眾數(shù)的近似值。

A、切伯插值法。

（下限公式）（上限公式)第54頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

B、金氏插值法。

C、皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法。第55頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如：某鄉(xiāng)農(nóng)民家庭年收入情況如下：根據(jù)上述資料確定其眾數(shù)。解：第一步先確定眾數(shù)所在組在：“1400—1600”這一組，具體為多少呢？近似地確定為：第二步用公式計(jì)算按年收入分組（元）家庭戶數(shù)

1000-1200

240

1200-1400

480

1400-1600

1050

1600-1800

600

1800-2000

270

2000-2200

210

2200-2400

120

2400-2600

30合計(jì)

3000第56頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-15某班50名學(xué)生期末統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

表6-11按成績(jī)分組（分）人數(shù)（人）

f

x

xf累計(jì)頻數(shù)（人）較小制較大制

60以下

60—70

412

5565

220780

416

5046

70—80

25

75

1875

41

34

80—9090以上

72

8595

595190

4850

92∑

50

—

3660

—

—要求：計(jì)算該班學(xué)生考試成績(jī)的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)。第57頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第58頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三六、中位數(shù)

（一）中位數(shù)的概念中位數(shù)是指將變量值按大小順序排列以后，位于數(shù)列中間位置的變量值。一般用符號(hào)表示。

（二）中位數(shù)的前提條件變量值必須按大小順序排列。

第59頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（三）中位數(shù)的確定方法

1、由未分組資料確定。（1）N為奇數(shù)時(shí)。（2）N為偶數(shù)時(shí)。第60頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)(1)、首先將標(biāo)志值按大小順序排列，(2)、然后根據(jù)

{當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)}確定中位數(shù)的位置，(3)、再根據(jù)中位數(shù)的位置找出對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值。第61頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如：要測(cè)試7種新型小轎車的耗油量，每百公里耗油（公升）分別為：78910111315n=7中位數(shù)的位置

第4個(gè)位置對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值就是中位數(shù)，Me=10公升/百公里上列標(biāo)志值為奇數(shù)，若為偶數(shù)，如測(cè)試6種車的耗油量（公升）分別為：7910111315n=6中位數(shù)的位置在第3和第4個(gè)位置之間，則中位數(shù)是這兩個(gè)位置對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即：Me=（10+11）/2=10、5公升/百公里第62頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、由已分組資料確定。

（1）由單項(xiàng)數(shù)列確定。第一、首先按公式，確定中位數(shù)的位置第二、再根據(jù)位置找出中位數(shù)所在組，用向上累計(jì)或向下累計(jì)次數(shù)剛好超過(guò)中位數(shù)位置次數(shù)的組確定為中為數(shù)組第三、再根據(jù)中位數(shù)組的位置找出對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值，即為中位數(shù)。第63頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如：某市場(chǎng)某種商品的銷售情況如下，試確定其中位數(shù)。價(jià)格（元）成交量（千克）較小制累計(jì)較大制累計(jì)２、３２０２０３００２、６６０８０２８０３、０１４０２２０２２０３、２８０３００８０合計(jì)３００－－－－－－1、按公式確定中位數(shù)的位置2、找出中位數(shù)所在的組，從較小累計(jì)次數(shù)看，第三組的累計(jì)次數(shù)為220千克，大于150、5千克，因此中位數(shù)必然在第三組，該組的標(biāo)志值即為中位數(shù)

3、Me=3、00元第64頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。①確定中位數(shù)組。中位數(shù)組=∑f/2位置的變量值所在的組②由下列公式求中位數(shù)的近似值。（下限公式）（上限公式）

第65頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

L表示中位數(shù)組的下限U表示中位數(shù)組的上限Sm-1表示中位數(shù)組以前各組的累計(jì)次數(shù)Sm+1表示中位數(shù)組以后各組的累計(jì)次數(shù)fm表示中位數(shù)的次數(shù)Σf表示總次數(shù)d表示中位數(shù)組的組距第66頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如：某鄉(xiāng)農(nóng)民家庭年收入情況如下，試確定其中位數(shù)：按年收入分組（元）家庭戶數(shù)較小制累計(jì)較大制累計(jì)１０００－１２００２４０２４０３０００１２００－１４００４８０７２０２７６０１４００－１６００１０５０１７７０２２８０１６００－１８００６００２３７０１２３０１８００－２０００２７０２６４０６３０２０００－２２００２１０２８５０３６０２２００－２４００１２０２９７０１５０２４００－２６００３０３０００３０合計(jì)３０００－－－－－－－解：1、先確定中位數(shù)位置Σf/2=3000/2=15002、確定中位數(shù)所在組從較小累計(jì)次數(shù)來(lái)看，第3組為1770，大于1500，因此中位數(shù)必在第三組。

3、用公式計(jì)算中位數(shù)的近似值。第67頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三按年收入分組（元）家庭戶數(shù)較小制累計(jì)較小制累計(jì)１０００－１２００２４０２４０３０００１２００－１４００４８０７２０２７６０１４００－１６００１０５０１７７０２２８０１６００－１８００６００２３７０１２３０２７０２６４０６３０２０００－２２００２１０２８５０３６０２２００－２４００１２０２９７０１５０２４００－２６００３０３０００３０合計(jì)３０００－－－－－－－第68頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三七、各種平均數(shù)之間的關(guān)系（一）算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系（二）算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系

1、對(duì)稱分布時(shí)（圖6-2）。

2、右偏（正偏）分布（圖6-3）時(shí)。

3、左偏（負(fù)偏）分布（圖6-4）時(shí)。（例6-19）第69頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三中位數(shù)、眾數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的比較1、眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系在單峰條件下，如果數(shù)據(jù)的分布是對(duì)稱的，則眾數(shù)（M0）、中位數(shù)（Me）算術(shù)平均數(shù)必定相等，即M0=Me=Xˉ如果數(shù)據(jù)是左偏分布，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在極小值，必然拉動(dòng)算術(shù)平均數(shù)向極小值一方靠,因此三者的關(guān)系表現(xiàn)為：Xˉ<Me<M0如果數(shù)據(jù)是右偏分布，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在極大值，必然拉動(dòng)算術(shù)平均數(shù)向極大值一方靠，則M0<Me<Xˉ上述關(guān)系如圖所示。P72第70頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)稱分布圖6-2

均值=中位數(shù)=眾數(shù)右偏（正偏）分布圖6-3眾數(shù)

＜中位數(shù)

＜均值左偏（負(fù)偏）分布圖6-4

眾數(shù)＜中位數(shù)

＜均值按成績(jī)分（分）人數(shù)（人）

60以下

60—7070—8080—9090以上

11126111∑

50按成績(jī)分（分）人數(shù)（人）

60以下

60—7070—8080—9090以上

1526144∑

50按成績(jī)分（分）人數(shù)（人）

60以下

60—7070—8080—9090以上

4142651∑

50表6-12表6-13表6-14第71頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在偏斜適度的情況下，不論右偏還是左偏，可以得到以下三個(gè)關(guān)系：

M0=

－3(

－Me)=3Me－2Me=(M0+2

)/3

=(3Me-M0)/2例如：某地職工年消費(fèi)支出眾數(shù)為6000元，算術(shù)平均數(shù)為7500元，問(wèn)近似的中位數(shù)是多少？消費(fèi)分布是左偏還是右偏？中位數(shù)Me=(M0+2

)/3=(6000+2*7500)/3=7000元M0(6000)<Me（7000）<（7500）所以消費(fèi)分布為右偏。第72頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三又如：某零件一批，直徑小于806毫米者占全部產(chǎn)品的一半，測(cè)定結(jié)果出現(xiàn)次數(shù)最多的為810，試估計(jì)另一平均指標(biāo)，并指出直徑尺寸分布的偏斜情況。

=(3Me-M0)/2=(3*806+810)/2=804毫米

(804)<Me(（806）<M0（810）所以零件分布為左偏。第73頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（三）、眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用場(chǎng)合眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，它是一種位置代表值，不受極端值的影響。其缺點(diǎn)是具有不唯一性，但眾數(shù)主要適合于作為定類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，其特點(diǎn)是不受數(shù)據(jù)極端值的影響。中位數(shù)以及其它分位數(shù)主要適合作為定序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值，雖然定序數(shù)據(jù)也可使用眾數(shù)，但以中位數(shù)為宜。第74頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三算術(shù)平均數(shù)是就定距和定比數(shù)據(jù)計(jì)算的，而且利用了全部數(shù)據(jù)信息，它具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是實(shí)際應(yīng)用最廣泛的集中趨勢(shì)測(cè)度值。作為算術(shù)平均數(shù)變型的調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)，是適合于特殊數(shù)據(jù)的代表值，調(diào)和平均數(shù)主要用于不能直接計(jì)算算術(shù)平均數(shù)的數(shù)據(jù)，幾何平均數(shù)則主要用于計(jì)算比率數(shù)據(jù)的平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)主要適合于作為定距和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值，雖然對(duì)于定距和定比數(shù)據(jù)也可以計(jì)算眾數(shù)和中位數(shù)，但以算術(shù)平均數(shù)為宜。當(dāng)數(shù)據(jù)呈對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)，三個(gè)代表值相等或接近相等，這時(shí)理應(yīng)選擇算術(shù)平均數(shù)作為集中趨勢(shì)的代表值。但算術(shù)平均數(shù)的主要缺點(diǎn)是易受數(shù)據(jù)極端值的影響，對(duì)于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，算術(shù)平均數(shù)的代表性較差。第75頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)離散趨勢(shì)測(cè)度例如，有甲、乙兩組的工人工資水平資料如下：甲組：500600700800900乙組：600650700750800X甲ˉ=X乙ˉ=700元各組的差異不同，甲組工人工資每人相差100元，乙組每人只相差50元，因此這兩組的平均工資所具有的代表性也不同。甲組的差異較大，其平均數(shù)的代表性就小；乙組各工資值的差異較小，其平均數(shù)的代表性也就大。第76頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、標(biāo)志變異指標(biāo)的意義（一）標(biāo)志變異指標(biāo)的概念標(biāo)志變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度，是反映某一數(shù)量標(biāo)志在總體各單位上差異程度的一種統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。（二）標(biāo)志變異指標(biāo)的意義

1、反映總體分布的離中趨勢(shì)。

2、說(shuō)明平均數(shù)代表性的大小。

3、反映生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)過(guò)程的均勻性、均衡性和穩(wěn)定性。第77頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三反映總體各單位標(biāo)志值的差異性，需要用總離差：Σ(X-

)∵Σ(X-

)=0∴求平均離差時(shí)想了兩個(gè)解決辦法：1、總離差用求絕對(duì)值的辦法，稱為平均差為使Σ（X-）≠0采取絕對(duì)值形式ΣⅠX–

Ⅰ再求絕對(duì)數(shù)形式的總離差的平均數(shù)：ΣⅠX–

Ⅰ∕N（簡(jiǎn)單式）

ΣⅠX–

Ⅰf≠0ΣⅠX–

Ⅰf/Σf（加權(quán)式）采用絕對(duì)值形式不便于代數(shù)運(yùn)算，所以采用平方的方法：2、總離差用平方的方法，稱為標(biāo)準(zhǔn)差為使Σ（X-）≠0采取平方的形式Σ（X-）2

再求平方形式的總離差的平均數(shù)：

Σ（X-）2/N（簡(jiǎn)單式）

Σ（X-）2f≠0Σ（X-）2f/Σf（加權(quán)式）第78頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類

1、全距。（1）全距的概念。全距又稱極差，是指變量數(shù)列中最大變量值與最小變量值之差。全距一般用符號(hào)R表示。（2）全距的計(jì)算公式。第79頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于組距數(shù)列，極差也可近似表示為：R=最高組上限-最低組下限在平均數(shù)相同的條件下：R越大，平均數(shù)的代表性越差；R越小，平均數(shù)的代表性越好。如上例兩組工人的全距為：R1=900-500=400元R2=800-600=200元可見(jiàn)甲、乙兩組工人的平均工資雖然相同=700元，但他們的變動(dòng)范圍不一樣：甲組的遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于乙組的，所以乙組平均數(shù)的代表性高于甲組。第80頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三極差是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于理解，但它容易受極端值的影響。由于極差只是利用了一組數(shù)據(jù)的兩端的信息，不能反映出中間數(shù)據(jù)的分布狀況，因而不能準(zhǔn)確描述出數(shù)據(jù)的分散程度。第81頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、平均差。

（1）平均差的概念。平均差是指各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。一般用符號(hào)AD表示。（2）平均差的計(jì)算方法。①簡(jiǎn)單算術(shù)平均法。

A、適用條件。簡(jiǎn)單算術(shù)平均法適用于對(duì)未分組資料求平均差。

B、計(jì)算公式。第82頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)單平均差。對(duì)未分組資料計(jì)算平均差，AD=（Σ|X-

|/N）甲組乙組工資X-|X-

|工資X-|X-

|500-200200600-100100600-100100650

-50

50700

0

0700

0

0800100100750

50

50900200200800100100合計(jì)

0600合計(jì)

0300

=700元AD1=（Σ|X-

|/N）=600/5=120元AD2=（Σ|X-

|/N）=300/5=60元甲組的平均差（120）>乙組（60元），因而其平均數(shù)的代表性比乙組小。第83頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②加權(quán)算術(shù)平均法。

A、適用條件。加權(quán)算術(shù)平均法適用于求已分組資料的平均差。

B、計(jì)算公式。第84頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三加權(quán)平均差對(duì)分組資料計(jì)算平均差A(yù)D=工資水平(元)組中值X人數(shù)?工資總額(元)X-Xˉ|X-Xˉ|?800-1000

900

20

180001230

246001000-15001250

50

62500

880

440001500-20001750

120

210000

380

45600200-25002250

280

630000

120

336002500以上2750

130

357500

620

80600合計(jì)-----

6001278000

----228400

AD=第85頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、標(biāo)準(zhǔn)差。

（1）標(biāo)準(zhǔn)差的概念。標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方差，是指各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。一般用符號(hào)表示。（標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差，用表示。）

第86頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。①簡(jiǎn)單算術(shù)平均法。

A、適用對(duì)象。簡(jiǎn)單算術(shù)平均法適用于求未分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差。

B、計(jì)算公式。第87頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算甲組乙組工資水平(元)

X-Xˉ(X-Xˉ)2工資水平(元)X-Xˉ(X-Xˉ)2

500-200

40000

600-100

10000

600-100

10000

650-50

2500

700

0

0

700

0

0

800

100

10000

750

50

2500

900

200

40000

800100

10000合計(jì)

0100000合計(jì)

0

25000

第88頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②加權(quán)算術(shù)平均法。

A、適用對(duì)象。加權(quán)算術(shù)平均法適用于求已分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差。

B、計(jì)算公式。第89頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算工資水平

(元)組中值X人數(shù)

?工資總額(元)X-Xˉ(X-Xˉ)2(X-Xˉ)2?800-1000

900

20

18000-12301512900

30258001000-15001250

50

62500

-880

774400387280001500-20001750120210000

-380

144400173280002000-25002250280630000

120

14400

40320002500以上2750130357500

620

38440049972000合計(jì)

----6001278000

----

------140310000第90頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4、離散系數(shù)。

（1）概念。離散系數(shù)又稱標(biāo)志變異系數(shù)，是指反映總體標(biāo)志變異的全距（或平均差或標(biāo)準(zhǔn)差）與算術(shù)平均數(shù)對(duì)比所得之比值。一般用符號(hào)V表示。

第91頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三離散系數(shù)（Coefficientofvariation）（２）、前面三種標(biāo)志變異指標(biāo)與平均數(shù)的關(guān)系：第一、在平均數(shù)相同的條件下，全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差越小，平均數(shù)的代表越大；全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差越大，平均數(shù)的代表越小。第二、在平均數(shù)不同的條件下，除了計(jì)算全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差外，還需計(jì)算離散系數(shù)。離散系數(shù)大的，平均數(shù)的代表性??；離散系數(shù)小的，平均數(shù)的代表性大。第92頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如：有甲乙兩組工人的日產(chǎn)零件數(shù)如下：甲組：6065707580X1ˉ=60+65+70+80/5=70件σ1=7、07乙組：257912X2ˉ=2+5+7+9+12/5=7件σ2=3、41件甲組的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙組的標(biāo)準(zhǔn)差（σ1>σ2），但不能斷言乙組的平均數(shù)的代表性就比甲組的高，這是因?yàn)閮山M數(shù)列標(biāo)志值本身水平相差懸殊，這時(shí)候就需要用離散系數(shù)進(jìn)行比較。第93頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）種類。①全距系數(shù)。

②平均差系數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。第94頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三離散系數(shù)：是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差或平均差與其相應(yīng)的平均數(shù)對(duì)比的比值，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)，其計(jì)算公式為：標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：平均差系數(shù)：如上例：甲組的離散系數(shù)：V=7、07/70=10、1%

乙組的離散系數(shù)：V=3、41/7=48、7%計(jì)算表明，乙組的標(biāo)志離散系數(shù)大于甲組的，故乙組的平均數(shù)的代表性小于甲組。第95頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-24已知甲乙兩廠工人2003年的勞動(dòng)生產(chǎn)率資料如下表。要求比較兩廠勞動(dòng)生產(chǎn)率代表性的大小。

表6-15廠名勞動(dòng)生產(chǎn)率（元）標(biāo)準(zhǔn)差（元）甲廠乙廠

3200016000

1200800第96頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6-25甲乙兩個(gè)橡膠廠某年生產(chǎn)某種輪胎的行駛里程資料如下表。要求比較兩廠輪胎的質(zhì)量哪一個(gè)較穩(wěn)定。

表6-16行駛里程（公里）輪胎數(shù)占總數(shù)的比重（%）甲廠乙廠

15000—2000020000—2500025000—3000030000—3500035000以上

3.85.650.435.25.0

14.521.230.223.610.5∑

100.0

100.0第97頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第98頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、方差的重要數(shù)學(xué)性質(zhì)

1、變量值的方差等于其平方的平均數(shù)減去其平均數(shù)的平方。即：{第99頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明：∵第100頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

2、變量值對(duì)某一任意常數(shù)的方差等于變量值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差與任意常數(shù)與算術(shù)平均數(shù)離差平方的和。即：｛第101頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)A為任意常數(shù)，D為變量對(duì)A的方差，則有：證明：

只有當(dāng)A=XˉD=σ2

否則無(wú)論A取何值（Xˉ-A）為一個(gè)正值，D都大于σ2，∴變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差是最小值。（即σ2為最小，A≠Xˉ時(shí)，則D變量比σ2大）。第102頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)為350，標(biāo)準(zhǔn)差為20，求該組數(shù)據(jù)對(duì)400的方差。解：根據(jù)性質(zhì)2得：

D=Σ（X-A）2/N=（A-Xˉ）2+σ2=（20）2+（400-350）2=2900第103頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

3、一個(gè)分組數(shù)列的總方差等于其各組組內(nèi)方差的平均數(shù)與組間方差的和。即：第104頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三總方差（σ總2

）=

它是各標(biāo)志值與總平均數(shù)計(jì)算出來(lái)的方差。

(χi各組的標(biāo)志值,Xˉ總平均數(shù))組間方差（σ組間2）=它是各組平均數(shù)與總平均數(shù)計(jì)算出來(lái)的方差。

(χiˉ各組的平均數(shù),Ni各組的單位數(shù))組內(nèi)方差（σ組內(nèi)2

）=是各組內(nèi)單位標(biāo)志值與組平均數(shù)計(jì)算出來(lái)的方差。組內(nèi)方差的算術(shù)平均數(shù)第105頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三舉例如下：某公司下屬七個(gè)部門(mén)某月?tīng)I(yíng)業(yè)額如下（單位：萬(wàn)元）：88、90、96、98、110、140、200按營(yíng)業(yè)額分為兩組；第一組：88、90、96、98第二組：110、140、200第106頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第107頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三總方差=組內(nèi)方差的算術(shù)平均數(shù)+組間方差=609、71+795、67=1405、38萬(wàn)元第108頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三課堂練習(xí)：1、某企業(yè)職工工資分組資料如下表：工人技術(shù)及管理人員工資水平（元）人數(shù)工資水（元）人數(shù)

200-300220200-300

50300-500350300-500

120500-700

80500-700

40----------700-1000

10合計(jì)

650合計(jì)

220要求：1、計(jì)算該企業(yè)職工的總平均工資和總標(biāo)準(zhǔn)差

2、分別計(jì)算工人和技術(shù)人員及管理人員的平均工資（即組平均工資）和標(biāo)準(zhǔn)差、方差（組內(nèi)方差）3、計(jì)算工人和技術(shù)及管理人員工資的組間方差4、用具體數(shù)值證明方差的加法定理即總方差等于組內(nèi)方差的算術(shù)平均數(shù)加組間方差

第109頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：1、總Xˉ=386、21總σ=120、99總σ2=14637、382、X1ˉ=373、85σ1=108、88σ12=11854、4X2ˉ=422、73σ2=145、17

σ22=21074、333、組間方差σ2=451、58

組內(nèi)方差的算術(shù)平均數(shù)=14185、8814637、38=451、58+14185、88第110頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、成數(shù)

（一）成數(shù)的概念和基本公式成數(shù)是指總體中具有（或不具有）某種特征的單位數(shù)占總體單位總數(shù)的比重。一般用符號(hào)P(或Q)表示。其基本公式為：第111頁(yè)，共128頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(二）成數(shù)的平均數(shù)和方差

表6-17標(biāo)志表現(xiàn)總體單位數(shù)F

X

XF是

N1

1

N1非

N