三年高考兩年模擬-數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)

第十二章概率與統(tǒng)計(jì)

第一部分三年高考薈萃

2010年高考題

一、選擇題

23

1.(2010遼寧理)(3)兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件.加工為一等品的概率分別為一和一，

34

兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為

(A)-(B)—(C)i(D)-

21246

【答案】B

【命題立意】本題考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查了有關(guān)概率的計(jì)算問(wèn)題

【解析】記兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的事件為A,則

P(A)=P(Ai)+P(A2)=—X—+—X—=—

343412

2.(2010江西理)11.一位國(guó)王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國(guó)王

懷疑大臣作弊，他用兩種方法來(lái)檢測(cè)。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在

5箱中各任意抽查兩枚。國(guó)王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為P1和“2,則

A.=P2B.p,<P2C.>〃2Do以上三種情況都有可能

【答案】B

【解析】考查不放回的抽球、重點(diǎn)考查二項(xiàng)分布的概率。本題是北師大版新課標(biāo)的課堂作業(yè),

作為舊大綱的最后一年高考，本題給出一個(gè)強(qiáng)烈的導(dǎo)向信號(hào)。方法一：每箱的選中的概率為

1

10

，總概率為1-同理，方法二：每箱的選中的概率為"，總事件的概率為

1一%)°6，作差得乩〈生。

3.(2010安徽文)(10)甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形

四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是

(A)—(A)—(A)—(A)—

18181818

【答案】C

【解析】正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個(gè)基本事件。兩條

直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對(duì)角線）包括10個(gè)基本事件，所以概率等于.

【方法技巧】對(duì)于幾何中的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確作出幾何圖形，分類得出基本事件數(shù)，然

后得所求事件保護(hù)的基本事件數(shù)，進(jìn)而利用概率公式求概率.

4.（2010北京文）⑶從｛1,2,3,4,5｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從｛1,2,3｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為

b,則b>a的概率是

43

(A)-(B)-

55

【答案】D

5.（2010廣東理）8.為了迎接2010年廣州亞運(yùn)會(huì)，某大樓安裝5個(gè)彩燈，它們閃亮的順序

不固定，每個(gè)彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個(gè)彩燈所閃亮

的顏色各不相同.記這5個(gè)彩燈有序地閃亮?次為一個(gè)閃爍，在每個(gè)閃爍中，每秒鐘有且僅

有一個(gè)彩燈閃亮，而相鄰兩個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為5秒。如果要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍，那么

需要的時(shí)間至少是（）

A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

【答案】C

每次閃爍時(shí)間5秒，共5X120=600s,每?jī)纱伍W爍之間的間隔為5s,共5X（120-1）=595s.總

共就有600+595=1195s.

6.（2010湖北理）4.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事

件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是

AAB1Dl

122124

4.【答案】C

【解析】用間接法考慮，事件A、B一個(gè)都不發(fā)生概率為P（A5）=Ri）R札;x凱工

則所求概率故C正確

二、填空題

1.（2010上海文）10.從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取2張，則“抽出的2張

均為紅桃”的概率為_(kāi)____________L結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）。

【答案】—

解析：考查等可能事件概率”抽出的2張均為紅桃”的概率為C二=±3

51

2.（2010湖南文）11.在區(qū)間［-1,2］上隨即取一個(gè)數(shù)x,則xd［O,1］的概率為?

【答案】-

3

【命題意圖】本題考察幾何概率，屬容易題。

3.（2010遼寧文）（13）三張卡片上分別寫(xiě)上字母E、E、B,將三張卡片隨機(jī)地排成?行,

恰好排成英文單詞BEE的概率為。

【答案】-

3

解析：題中三張卡片隨機(jī)地排成一行，共有三種情況：BEE,EBE,EEB,

.?.概率為：L

3

4.（2010重慶文）（14）加工某一零件需經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分

別為」-、—，—,且各道工序互不影響，則加工出來(lái)的零件的次品率為.

706968

解析：加工出來(lái)的零件的次品的對(duì)立事件為零件是正品，由對(duì)立事件公式得

6968673

加工出來(lái)的零件的次品率p=\-——x——x——

70696870

5.（2010重慶理）（13）某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多

命中次的概率為一，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為.

25-

解析：由1—=—得p=—

255

6.（2010湖北文）13.一個(gè)病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9.則服用這咱新藥的4

個(gè)病人中至少3人被治愈的概率為（用數(shù)字作答）。

【答案】0.9744

【解析】分情況討論:若共有3人被治愈，則片=C；（0.9px（1-0.9）=0.2916；

若共有4人被治愈，則鳥(niǎo)=（0.9）4=0.6561,故至少有3人被治愈概率p=q+￡=0.9744

7.（2010湖南理）11.在區(qū)間【一1，2】上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則1幻,1的概率為

【答案】y

1-(-1).2

【解析】（）

P|xl?l=2-(-1)~3

【命題意圖】本題考察幾何機(jī)率，蜃容易期.一

8.（2010湖南理）9.已知一種材料的最佳入量在110g到210g之間。若用0.618法安排實(shí)

驗(yàn)，則第一次試點(diǎn)的加入量可以是g

【答案】171.8或148.2~

【解析】根據(jù)0.618法，第一次試點(diǎn)加入量為2

110+（210-110）x0.618=171.8^

或210-（210-110）x0.618=148.2^

【命題意圖】本題考察優(yōu)選法的0.618法，蜃容易遁.，

9.（2010安徽理）15、甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)

白球和3個(gè)黑球。先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以4,4和人表示由甲罐取出

的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以8表示由乙罐取出的球是

紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是———（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）。

①P（B）=g；②尸（314）=打；③事件8與事件4相互獨(dú)立；

④4，42,43是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因?yàn)樗c4,4,A3中哪一個(gè)發(fā)

生有關(guān)

【答案】②④

【解析】易見(jiàn)4,A2,4是兩兩互斥的事件，而

5524349

P（8）=P（8IA）+P（6I4）+P（BIAj=—x—+—x—+——x—=——。

'"'''3710111011101122

【方法總結(jié)】本題是概率的綜合問(wèn)題，掌握基本概念，及條件概率的基本運(yùn)算是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.本題在4，4，4是兩兩互斥的事件，把事件B的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化

P（5）=P（5IA,）+P（5IA）+P（BIA,）,可知事件B的概率是確定的.

10.（2010湖北理）14.某射手射擊所得環(huán)數(shù)q的分布列如下：

78910

PX0.10.3y

已知己的期望E&=8.9,則y的值為,

【答案】0.4

【解析】由表格可知：x+0.1+0.3+y=9,7x+8x0.1+9x0.3+10xy=8.9

聯(lián)合解得y—0.4.

11.（2010福建理）13.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連

續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪。假設(shè)某選手.M

正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互

獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等〃\

于——。A/\

【答案】0.128If）

【解析】由題意知，所求概率為C>0.82-0.2'=0.128。

【命題意圖】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，考查基礎(chǔ)知識(shí)的同

（第19H）

時(shí)，進(jìn)一步考查同學(xué)們的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

12.（2010江蘇卷）3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球,

兩只球顏色不同的概率是,

【解析】考查古典概型知識(shí)。0=2=1

62

三、解答題

1.（2010浙江理）19.（本題滿分14分）如圖，一個(gè)小球從.〃處投入，通過(guò)管道自上而下落

4或6或&已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的.某商家按上述投球

方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A,B,C,則分別設(shè)為1,2,3等獎(jiǎng).

（I）已知獲得1,2,3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨變量片為獲得

kg,2,3）等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量&的分布列及期望E4.

（H）若有3人次（投入1球?yàn)?人次）參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量〃為獲得1等獎(jiǎng)或2

等獎(jiǎng)的人次，求0m=2）

解析：本題主要考察隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、二項(xiàng)分布等概念，同

時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)。

（I）解：由題意得&的分布列為

150%70%90%

337

P

16816

3373

則E，=—X50%+—X70%+-90%=—.

168164

339

(II)解：由(1)可知，獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為，+二=3.

16816

9

由題意得n?(3,—)

16

，、-2/99、1701

則P(n=2)=C：(―)2(1—)=--------.

316164096

2.(2010全國(guó)卷2理)(20)(本小題滿分12分)

如圖，由"到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為71,%,￡,T,,電流能通過(guò)K,力，

△的概率都是0,電流能通過(guò)北的概率是0.9.電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立.己知力，%

久中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999.

(I)求P；

(II)求電流能在M與川之間通過(guò)的概率；

(III)J表示71,%,%,北中能通過(guò)電流的元件個(gè)數(shù)，求自的期望.

【命題意圖】本試題主要考查獨(dú)立事件的概率、對(duì)立事件的概率、互斥事件的概率及數(shù)學(xué)期

望，考查分類討論的思想方法及考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

【參考答案】

記4表示事件：電流能通過(guò)7；,i=1.2.3.4.

A表示事件：工.可,7；中至少有一個(gè)能通過(guò)電流，

8表示事件：電流能在"與N之間通過(guò).

<I>久=彳%兀A,4.A相互獨(dú)立，

P（a=P0?4?不）=p（Qp（麗尸（不）=（1-p）1,

又P（A）=1-P（A）?1-0.999=0.001.

故（1-pP=0.001,p=0.9.?—

（H）8=4+無(wú)A4+工?彳4,

P（8）=P（A,+無(wú)AA+無(wú)?不4A）

=P（4）+P（%A4）+P（AM4A）

=&人）+P（%）P（A）P（A）+&元）2（不以4）「（娟

?0.9+0.1x0.9x0.9+0.1x0,lx0.9x0.9

=0.9891.…

<1U）由手電流能通過(guò)各元件的概率都是0.9.且電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)二

故4~5（40.9）,

聒=4x0.9=3.6........

【點(diǎn)評(píng)】概率與統(tǒng)計(jì)也是每年的必考題，但對(duì)考試難度有逐年加強(qiáng)的趨勢(shì)，已經(jīng)由原來(lái)解答

題的前3題的位置逐漸后移到第20題的位置，對(duì)考生分析問(wèn)題的能力要求有所加強(qiáng)，這應(yīng)

引起高度重視.

3.（2010全國(guó)卷2文）（20）（本小題滿分12分）

如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T(mén)1,12,丁3,14，電源能通過(guò)T|，

T,,T3的概率都是P，電源能通過(guò)T4的概率是69，電源能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立。已知

T「I2,T3中至少有一個(gè)能通過(guò)

電流的概率為0.999。W-

（I）求P；

（II）求電流能在M與N之間通

過(guò)的概率。

【解析】本題考查了概率中的互斥事件、對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率,

（1）設(shè)出基本事件，將要求事件用基本事件的來(lái)表示，將Tl,T2,T3至少有一個(gè)能通過(guò)電

流用基本事件表示并求出概率即可求得P。

（2）將MN之間能通過(guò)電流用基本事件表示出來(lái)，由互斥事件與獨(dú)立事件的概率求得。

4.（2010江西理）18.（本小題滿分12分）

某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過(guò)一扇智能門(mén)。首次到達(dá)此門(mén)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)（即

等可能）為你打開(kāi)一個(gè)通道，若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道,

則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門(mén)。再次到達(dá)智能門(mén)時(shí)、系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開(kāi)一個(gè)你本到過(guò)

的通道，直至走完迷宮為止。令J表示走出迷宮所需的時(shí)間。

（1）求《的分布列；

（2）求4的數(shù)學(xué)期望。

【解析】考查數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景，重點(diǎn)考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算事件的概率、

隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)特征和對(duì)思維能力、運(yùn)算能力、實(shí)踐能力的考查。

（1）必須要走到1號(hào)門(mén)才能走出，J可能的取值為1,3,4,6

P（&=D=〈,PC=3）=Jx1=!,P（g=4）=K=；,

3326326

PC=6）=A*；x；）xl=g

41346

]_]_

P

3663

（2）EJ=lxL+3xL+4x1+6xL=N小時(shí)

36632

5.（2010重慶文）（17）（本小題滿分13分，（I）小問(wèn)6分，（II）小問(wèn)7分.）

在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動(dòng)中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排

在一起.若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序（序號(hào)為1,2,……，6）,求：

（I）甲、乙兩單位的演出序號(hào)均為偶數(shù)的概率;

（II）甲、乙兩單位的演出序號(hào)不相鄰的概率.

解:考慮甲、乙兩個(gè)單位的排列.

甲、乙網(wǎng)單位可能排列在6個(gè)位置中的任兩個(gè).才8=30種等可能的結(jié)果.

(I)設(shè)4表示“甲、乙的演出序號(hào)均為例數(shù)一，

則力包含的結(jié)果有A；=6種.

故所求鍛率為p(a)=&=+.

(口)設(shè)“表示“甲、乙兩單位的演出序號(hào)不相鄰”，

則B表示甲、乙兩單位序號(hào)相鄰，B包含的結(jié)果在5X2!=10種.

從而

P(s)-l-P(ff)-1-55=y.

6.(2010北京理)(17)(本小題共13分)

4

某同學(xué)參加3門(mén)課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為一，第二、

5

第三門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p,q(p>q),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相

互獨(dú)立。記&為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為

€0123

624

pad

125125

(I)求該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率;

(11)求〃，q的值；

(III)求數(shù)學(xué)期望E&。

解：事件4,表示“該生第i門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)”，1=1,2,3,由題意知

4

P(A)=bP(4)=p，P(A3)=q

(I)由于事件“該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)”與事件“4=0”是對(duì)立的，所以

該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率是

1-3)=1一備119

125

(II)由題意知

------16

PC=0)=P(4A,A3)=-(l-p)(l-^)=—

424

P^=3)=P(A]A2A3)=-pq=—

整理得p+q=1

32

由p>q,可得p=,，q=q.

(III)由題意知°=尸(&=1)=P(444)+P(A^A^)+P(?QA)

411

=§(1-p)(i-g)+mP(i-q)+g(i-p)<?

37

-125

b=pq=2=1>-P(g=o-9(-e=3)

_58

125

Eg=0X=0)+1Xp/=1)+2P(g=2)+3P(J=3)

——9

5

7.(2010四川理)(17)(本小題滿分12分)某種有獎(jiǎng)銷售的飲料,瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”

或“謝謝購(gòu)買(mǎi)”字樣，購(gòu)買(mǎi)?瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為L(zhǎng)

6

甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買(mǎi)了一瓶該飲料。

(I)求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；

(II)求中獎(jiǎng)人數(shù)』的分布列及數(shù)學(xué)期望￡6.

解(1)設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為/、B、C,那么

尸(冷=戶(而=0(0=]

6

P(ABC')=P(A)P(B)P(C)=-(-)2=—

66216

答：甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為g............................6分

216

(2)￡的可能值為0,1,2,3

2(§=田=(，)&(2嚴(yán)(公0,1,2,3)

所以中獎(jiǎng)人數(shù)f的分布列為

§0123

1252551

rp

2167272216

1252s511

E^=OX—+1X—+2X_+3X—.....12分

21672722162

8.（2010天津理）（18）.（本小題滿分12分）

2

某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是一，且各次射擊的結(jié)果互不影響。

3

(I)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率

(II)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2次未擊中目標(biāo)的概率；

(III)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射

擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3

分，記J為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求J的分布列。

【解析】本小題主要考查二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件

和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿分12分。

(1)解：設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X“B[5,|).在5次射擊中，恰

有2次擊中目標(biāo)的概率

22

P（X=2）=G?x

(Il)解：設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件4(，'=L2,3,4,5)；“射手在5次射擊中,

有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A,則

P(A)=PSdA%無(wú))+3A4%)+P(兄可A3A出)

8

81

(III)由題意可知，J的所有可能取值為0,1,2,3,6

P?=0）=P（44&）=仁）$

AP

p%=1）=尸（4A24）+p（424）+（44A3）

——Z1Z4

尸（：=2=/）（AAA3）=-X-X-=—

22

______（2A11/1\Q

P4=3）=P-P（444）=KJx-+-xl-l=—

P?=6）=P（AM3）=

所以j的分布列是

9.（2010廣東文）17.（本小題滿分12分）

某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀

眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：

文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)

20至40歲401858

大于40歲152742

總計(jì)5545100

.(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？

(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于

40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？

(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為

20至40歲的概率.

解：(1)有關(guān)，收看新聞節(jié)目多為年齡大的。

(2)應(yīng)抽取的人數(shù)為：5x2=3(人)

45

(3)由(2)知，抽取的5名觀眾中，有2名觀眾年齡處于20至

40歲，3名觀眾的年齡大于40歲.

所求概率尸=婆=3

5

10.(2010福建文)18.(本小題滿分12分)

設(shè)平頂向量(m,1),bn=(2,n),其中m,ne{1,2,3,4).

(I)請(qǐng)列出有序數(shù)組(m,n)的所有可能結(jié)果；

(II)記“使得成立的(m,n)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率。

IS.本小題主要考查概率、平而舞等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查化歸

與轉(zhuǎn)化思想、必然;與或然思想.滿分12分.

解：(I)有序數(shù)縛(2n)的所有可能結(jié)果為:

(1,1),(1.2),T1.3),(1,4).(2.1).(2.2).(2,3),(2,4).(3.1),

<3,2).(3.3),(3,4),(4,1).(4.2).(4.3).(4.4)共16個(gè).

<II)由%JT7±(、a?frtn得〃?2-2w+1-?=0.

即n=(m—I)2.

rtiJw.ne1.23.4.故事件A包含的基本事件為(2.1)和(3.4),共2個(gè)

21

乂基本郛仰的總數(shù)為16,故所求的極第為P(J)=^=-.

11.(2010全國(guó)卷1理)(18)(本小題滿分12分)

投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審.若能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審，

則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)

審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄

用.設(shè)稿件能通過(guò)各初審專家評(píng)審的概率均為0.5,復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為0.3.

各專家獨(dú)立評(píng)審.

(I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(ID記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望.

分析：本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、相互獨(dú)立試驗(yàn)、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí),以及運(yùn)用概率

知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解：(I)令事件4,4分別表示：“能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審”，事件B：”能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審”事件C：“投

到該雜志的1篇稿件稿件被錄用".則p(c)=P(4-4)+P(4-4+4-4)-R切=(0.5)?+?(0.5)?o.3=0.4.

(II)由題意X的所有可能取值分別為0,1.2,3,4,且丫~8(4,0.4)

E(X=0)=Q-0.4)4=0.1296,E(X=1)=弓0.4?(1-0.4)3=0.3456,E(X=2)=C^0.42-(L-0.4)2=0.0.3456

E(X=3)=C^O.43?(1-0.4)=0.1536,E(X=4)=0.44=0.0256分布列(略)

期望EY=4-0.4=1.6'卜

12.(2010四川文)(17)(本小題滿分12分)

某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買(mǎi)”字樣，購(gòu)買(mǎi)一瓶若其瓶蓋內(nèi)

印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為L(zhǎng)甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買(mǎi)了一瓶該飲

6

料。

(I)求三位同學(xué)都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；

(II)求三位同學(xué)中至少有兩位沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率.

(行)床示而主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等概率計(jì)算,考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問(wèn)

??的能力.

斛：(I)設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為.4、8、C,那么

P(A)=P(B)=P(C)=4--

o

P(A?n?C)=P(A)P(B)P(C)=(￡)'=界.

61216

答:三位同學(xué)都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率是烷...............(6分)

Z1O

(1])1-P(A-B'C+A-ii-C+A-B-C^A-H-C)

(12分)

13.(2010山東理)

(20)(本小題滿分12分)

某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽,第一輪選糕設(shè)有A,B,C,D四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下:

①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一

題誠(chéng)2分；

②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或

等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，

當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答

題結(jié)束，陶汰出局；

③每位參加者按問(wèn)題式民C,D順序作答，直至答題結(jié)束.

3111

假設(shè)甲同學(xué)時(shí)問(wèn)題A,B,C,D回答正確的概率依次為且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有彩響.

4234

(I)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；

(II)用J表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)的E&.

【解析】(I)因?yàn)榧淄瑢W(xué)能進(jìn)入下一輪與淘汰出局互為對(duì)立事件，所以甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率為1-

,11112312、13

4242342324

(II)可能取2,3,4,則

P(S2)=LL[P(3

42842342342324

31211231111

P(J=4)=—x—x—+—X—X--------x—X—二——

42342342324

所以J的分布列為

1234

1011

82424

數(shù)學(xué)期望EJ=2XL+3XW+4XU=W。

824243

【命題意圖】本題考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、考查了離散型隨機(jī)變量的分布列以

及數(shù)學(xué)期望的知識(shí)，考查了同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

14.(2010福建理)

三、解答題：

16.(本小題湎分13分)

設(shè)S是不等式-—x-6工0的解集，整數(shù)陽(yáng)％eS。

(1)記使得“冽+%=0成立的有序數(shù)組(依⑷”為事件A,試列舉A包含的基本事件；

設(shè)《=求4的分布列及其數(shù)學(xué)期望￡3

【命題意圖】本小題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意

識(shí)，考查分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

【解析】⑴由，一X-6W0得-2MxW3,BPS={x|-2<x^3),

由于整數(shù)wjeS且加+%=0,所以A包含的基本事件為

(-2,2),(2.-2),(-1,1),(1,-1),(0.0).

(2)由于m的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,所以J=活2的所有不同取值為0」,4,9,

121211

且有P?=0)=I，P(^=l)=-=->P(^=4)=-=->P(^=9)=

663636

故J的分布列為

J0149

pj_1

6336

所以EJ=OX1+1X!+4X』+9X』=2。

63366

15.(2010江蘇卷)22.本小題滿分10分)

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%,二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品

率為90%,二等品率為10缸生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品

則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元。

設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立。

(1)記X(單位：萬(wàn)元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求X的分布歹ij；

(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率。

［解析］本題主要考查概率的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。

解(1)由題設(shè)知，X的可能取值為10,5,2,-3,且

P(X=10)=0.8X0.9=0.72,P(X=5)=0.2X0.9=0.18,

P(X=2)=0.8X0.1=0.08,P(X=-3)=0.2X0.1=0.02o

由此得X的分布列為:

X1052-3

P0.720.180.080.02

(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有〃件，則二等品有4-〃件。

14

由題設(shè)知4〃—(4—〃)21,解得〃之,

又neN,得〃=3,或"=4。

所求概率為P=C：x0.83x0.2+0.84=0.8192

答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率為0.8192o

2009年高考題

一、選擇題

在區(qū)間［-1,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,cos?的值介于0到1之間的概率

1.（09山東11）

為()

TTYI

【解析】在區(qū)間［-1,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,即xe［-l,l］時(shí)，要使cos萬(wàn)?的值介于0到/之

間，需使—巴生或工4三4&...—IWXV-2或區(qū)間長(zhǎng)度為2,

223322333

2

jrx1QI

由幾何概型知cos—的值介于0到一之間的概率為工=—.故選A.

2223

答案A

2.（09山東文）在區(qū)間［-工，工］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,cosx的值介于0到工之間的概

222

率為（）.

【解析】在區(qū)間［-工，工］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,即X時(shí)，要使COSX的值介于0到

2222

77,TTTT77"77"

—之間，需使--4x4一'或上4x4上，區(qū)間長(zhǎng)度為一，由幾何概型知cosx的值介

223323

兀

于。到L之間的概率為旦=L故選A.

27L3

答案A

3.（09安徽卷理）考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也

從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線,則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等

于)

12c34

A.—B.—C.—D.—

75757575

【解析】如圖，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這

6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，共有=15x15=225

種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有

ACIIDB,AD//CB,AEIIBF,AF//BE,CE//FD,CF//ED

I?4

共12對(duì)，所以所求概率為。=——=一，選D

22575

答案D

4.（2009安徽卷文）考察正方體6個(gè)面的中心，從中任意選3個(gè)點(diǎn)連成三角形，再把剩下

的3個(gè)點(diǎn)也連成三角形，則所得的兩個(gè)三角形全等的概率等于（）

A.1B.1C.1D.0

23

【解析】依據(jù)正方體各中心對(duì)稱性可判斷等邊三角形有C：個(gè).由正方體各中心的對(duì)稱性

可得任取三個(gè)點(diǎn)必構(gòu)成等邊三角形，故概率為1,選A。

答案A

5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁4個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場(chǎng)比賽各隊(duì)取勝的概率

相等，現(xiàn)任意將這4個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組兩個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇

的概率為）

111

C

A.6-B.4-D.2-

c2c2

【解析】所有可能的比賽分組情況共有4xq2=12種，甲乙相遇的分組情況恰好有6

2!

種，故選O.

答案D

6.（2009江西卷理）為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食

品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)該種食品5袋，能獲獎(jiǎng)的概率為（）

313350

A.—B.—C.D.——

818181

【解析】P=上空竺且=竺故選D

3581

答案D

7.（2009四川卷文）設(shè)矩形的長(zhǎng)為。，寬為b,其比滿足b:a=上—=0.618,這種