課后限時(shí)集訓(xùn)47立體幾何中的向量方法紙間書屋

建議用時(shí)：45分鐘若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于( [lαβ，lαsinβ＝|cosγ|＝|cos在正方體A1B1C1D1-ABCD中，AC與B1D所成角大小為 6633

42421[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，A(0，0，0)C(1，1，0)，B(1，0，1)，D(0，1，0).∴＝(1，1→→∵→∴ AC⊥B1D，∴ACB1D所成的角為ABC-＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為 555C.25

355 [CA＝2，1B(0，2，1)，＝(－2，2，1)＝(0，2，－1)1得cos〈→，→〉 1 555

＝5ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D，EAC1和BB1的中點(diǎn)，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為( A[AB2＋BC2＝AC2，AB⊥BC.B為原點(diǎn)，分BC，BA，BB1x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AA1＝2a，則A(0，1，0)，C( → D2，2，a，E(0，0，a)，所以ED＝2，2，0，BB1C1C

ED，n〉＝

＝2

2

DEBB1C1C30°.故選BCPAB，PA⊥AB，MPB的中點(diǎn)，PA＝AD＝2.AB＝1，則二面角B-AC-M的余弦值為 666C.266

666 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP軸，y軸，z軸，A- → 所以AMCABC的一個(gè)法向量→所以cos〈n，→〉＝n·AP ＝1＝

66B-AC-M的余弦值為6在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成 3 32AB＝2，1C(0，1，2)，則＝(0，1，0)＝(1，1，0)1BDC1 →

則→

所以有y＝－2，BDC1CDBDC1θ， →sinθ＝|cos〈n〉|＝n·DC → 7．(2019·汕頭模擬)S-ABCD90°，AD∥BC，SA⊥平面

SCD平面SAB所成銳二面角的余弦值

3 3 → SCD→ 因?yàn)椤? →所以→22即x＝2，SCDSAB→→則cos→1 61

＝3

×8.(2019·模擬)如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD2的正方形，PD＝2，EPB的中點(diǎn)，M是542么線段PM的長(zhǎng)度是542[如圖建立空間直角坐標(biāo)系∵EPB的中點(diǎn)M(0，2－m，m)，則 →→→＝AP·EM→→22 ＝1＝

9.ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2P，QA1B1，BC的中點(diǎn)．(1)BPAC1(2)CC1AQC1[解 如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1O，O1，OB，OO1，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB， {OB，OC，OO1}為基底，O-AB＝AA1＝2，A(0，－1，0)，B(B1((1)PA1B1的中點(diǎn)，

從而

3

P2

BP＝－2 → 5×2故|cos〈→〉|＝|BP·AC5×2

＝3 →

2020因此，BPAC1所成角的余弦值為320(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q 2因此

AQ＝2 →→n＝(x，y，z)AQC1的一個(gè)法向量→

2→AC1·n＝0，n＝(CC1AQC1 ，n〉 |CC＝→→

55CC1AQC1所成角的正弦值為510．(2019·卷Ⅱ)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底ABCDEAA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BEEB1C1；(2)AE＝A1EB-EC-C1 (1)證明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，BE⊥由題設(shè)知∠AEB＝45°，D為坐標(biāo)原點(diǎn)x軸正方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度D-xyz，0，1)，→＝(1，0，0)，→＝(1，－1，1)，→

→

EBCn＝(x，y，z)，→

即

ECC1m＝(x1，y1，z1)， 即 于是cos〈n，m〉＝n·m 2所以，B-EC-C1的正弦值為2ABCD-A1B1C1D12D1A1BD 223C.23

23D.23 [如圖建立坐標(biāo)系，則 →→A1BD →→

z＝1，∴DABD

323→ 323→

形ABEF是矩形，且 ＝a，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平AGC所成角的正弦值 3 [如圖，A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系3 AGC→ →

→由 →

→

sin ＝→

2a×

3已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE與SD所成角的余弦值為 3 [以兩對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)O作為原點(diǎn)，以3OB，OS所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊(2)，D(0，－2，0)， 2 20，2，2 → 2 2 AE＝－2，2，2，SD＝(0，－2，－ →→ 3 AE，SD|＝→→ ＝3

2×3AESD所成角的余弦值為3＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，OAC證明：POMBCM-PA-C30[解 (1)證明：因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P＝2連接OB.因?yàn)锳B＝BC＝ ，所以△ABC為等腰直角三角形2且 OP2＋OB2＝PB2OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，PO⊥(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)x向，O-0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，23)．PAC的一個(gè)法向量M(a，2－a，0)(0≤a≤2)，則＝(a，4－a，0)．設(shè)平面PAM的法向量為n＝(x，y，z)．由 AP·n＝0，AM·n＝0

n＝(3(a－4)，2 所以cos〈2 ＝＝2 2 3所

a＝－4(舍去)-所以 8 4-

2 3，3 又 3PC＝(0，2，－23)，所以cos〈PC，n〉＝44PCPAM所成角的正弦值為41ABCD-A1B1C1D1BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的 4A.439

B.3D.3 [AD中點(diǎn)連接OA1易證A1O⊥平面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系1B(2，－1，0)，D(0，2，3)13)，ABCDn＝(0，0，1)，BD1ABCD→θ，∴sinθ＝|BD1·n|＝→ 413∴tanθ＝13(1)求證：BFADE；CEBDE

CF[解 依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以→，→，→的方向?yàn)閤軸y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)．設(shè)CF＝h(h＞0)，則依題意，→＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又 ＝(0，2，h)，可得→→BF?BF∥依題意＝(－1，1，0