曲面積分教學(xué)文案

曲面積分精品資料第二十二章曲面積分一．填空題（每題2分）1.為球面,則=2.為球面,則3.若是柱面外側(cè),則4.若是球面在第一卦限部分,則曲面積分其中是常量5.設(shè)是由與所圍立體的表面積外側(cè),則積分6.記均勻半球面 : 形狀構(gòu)件的重心為 ,則7.設(shè)關(guān)于面積的曲面積分: ,其中 是球面,其中 是曲面 ,則8.設(shè)數(shù)量場 ,則9.若是某二元函數(shù)的全微分,則10.是光滑閉曲面的外法向量的方向余弦,又所圍的空間閉區(qū)域為,設(shè)函數(shù)在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則由高斯公式有:僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝2精品資料=答案:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二.選擇題(每題2分)1.設(shè)是上半球面,則關(guān)于面積的曲面積分為()A.B.C.D.2.設(shè)是錐面被平面截得的部分(包括原點)的外側(cè),則當(dāng)時,()A.B.C.D.3.設(shè)是上半球面的上側(cè),則下面四個二重積分表達式中不等于關(guān)于坐標(biāo)的曲面積分 的為()A. B.C. D.其中 分別是球面 在 平面的投影區(qū)域.4.設(shè) ,其中 是上半球面 ,僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝3精品資料,其中 是下半球面 的外側(cè),則()A.B.C.D.5.設(shè)是平面被圓柱面截出的有限部分,則曲面部分的值()A.B.C.D.6.設(shè):,為在第一卦限中的部分,則有()A.B.C.D.7.若是平面在第一卦限的部分,方向向上,則曲面積分()A.B.C.D.若是曲線,從軸正向看去,是順時針方向的,則曲線積分()A. B. C. D.9.若 是 平面上方的拋物面 ,且 ,則曲面積分的物理意義為()僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝4精品資料表示面密度為1的曲面的質(zhì)量表示面密度為1的曲面對軸的轉(zhuǎn)動慣量C. 表示面密度為

的曲面

對 軸的轉(zhuǎn)動慣量D. 表示體密度為

1的流體通過曲面

指定側(cè)的流量10.由分片光滑的封閉曲面

所圍成立體的體積

()A. B.C. D.答案:ABBCA CDCBA三.計算題（每題

5分）1.計算曲面積分

，其中

為球面解：球面方程為

與

，上半球面記為

，下半球面記為，則根據(jù)對面積的曲面積分的性質(zhì)有對右邊的兩個積分分別積分，因為，在

＝平面上的投影區(qū)域都是，所以

＝＝因此

＝2.計算

，其中

為平面

在第一卦限的上側(cè)

.解:因為

的方程為

,

在

平面上的投影區(qū)域都是: , , ,僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝5精品資料= ==3.計算曲面積分 .其中 是三個坐標(biāo)面與平面所圍成的四面體表面的外側(cè) .解:因為由高斯公式得 =4.計算 , 為平面 被柱面 截得的部分.解:因為 ,所以 ,于是=5.設(shè)球面 上的密度等于點到 平面的距離,求球面被截下部分曲面的重心.解:由曲面對稱性知, .球面上半部曲面為 ,故 ;截得曲面在 平面上投影為 故=這里 是截得曲面中位于上半球面的部分 .僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝6精品資料= =故6.計算 ,其中 , 是球面的外側(cè).解:設(shè) 為 上單位外法線向量,則,于是= =7.計算 ,其中 是 的外側(cè).解:由于曲面關(guān)于 軸對稱,故又曲面關(guān)于 平面對稱,且 是關(guān)于 的奇函數(shù),所以8.計算 ,其中 為錐面 的外側(cè)解:令 ,取上側(cè),則 構(gòu)成封閉曲面,可用高斯公式.于是==僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝7精品資料而故9.計算 , 是從 到 的螺旋線:解:將添上直線段構(gòu)成封閉曲線.因為所以積分與曲面無關(guān),只與圍它的曲面有關(guān).由斯托克斯公式,有直線段 的方程為 ,所以10.計算 ,點 在球面 上,點 在球面 上解:設(shè)故積分與路徑無關(guān),只與起點和終點有關(guān),于是11.計算,設(shè)(1)為;為不包含原點的光滑閉曲面;為包含原點的光滑閉曲面;僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝8精品資料解:(1)因為 ,所以由高斯公式有不包含原點,而即 ,于是(3) 包含原點,需做半徑充分小球面 .則 與 之間區(qū)域,根據(jù)題(2),有而根據(jù)題(1),有故這里 取內(nèi)側(cè).12.計算 ,其中 為平面 與各坐標(biāo)面的交線,取逆時針方向為正向解:應(yīng)用斯托克斯公式得=13.計算 ,其中 為立體 的邊界曲面;解:面積 由兩部分 組成,其中 , ,它們在 平面上的投影區(qū)域都是 ,由極坐標(biāo)變換可得僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝9精品資料= =14.計算 ,其中 為柱面 被平面 所截取的部分解: =15.計算 ,其中 是單位球面 的外側(cè)解:=第二十二章 曲面積分計算曲面積分,其中 為圓錐曲面 被曲面 所割下的部分 .計算,其中 是曲面 介于兩平面 之間的部分.計算,其中 是球面 的下半部, 是曲面的法線方向與 軸正向的夾角.計算,僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝10精品資料其中 是柱面 在平面 和 之間的部分.計算,其中 是上半球面 的上側(cè).計算,其中 為球體的表面,并取外側(cè).計算,其中 為連續(xù)函數(shù); 為平行六面體 的外表面.計算曲面積分,其中 為 所圍成的立體的表面積 .計算,其中 為曲面 上 的那部分取正側(cè) .計算曲線積分,其中 是圓周 若從 軸正向看去, 是沿逆時針方向運行 .計算,僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝