第六章系統(tǒng)抽樣

第六章系統(tǒng)抽樣第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三一、系統(tǒng)抽樣的基本思想二、系統(tǒng)抽樣的基本方式直線等距抽樣循環(huán)等距抽樣不等概率系統(tǒng)抽樣三、總體單元的排序四、問題的改進首尾校正法中心位置抽樣法對稱系統(tǒng)抽樣法目錄第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三問題的提出各種抽樣方法都有優(yōu)點和不足難題：在一個連續(xù)的生產(chǎn)線上進行產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢查。設計：在開始的時候先抽取一個樣本點，然后按照某種規(guī)律順次得到整個樣本的一種抽樣組織方式。系統(tǒng)抽樣：等距抽樣，機械抽樣，規(guī)律性抽樣第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三一、系統(tǒng)抽樣的基本思想

對于一個容量為N的總體，首先，將總體中各單位按某種順序編為從1到A的號碼。若要從中抽出一個容量為n的樣本，則應先從編號為1到k(k<N)的k個單位中，隨機地抽取一個單位，然后，按照一定的規(guī)律，如每隔k個單位抽出一個單位等，順次地抽出n個樣本單位。第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三優(yōu)點：樣本分布比較均勻，在現(xiàn)實生活中比較容易接受樣本單位抽取簡便，有很高適用價值工業(yè)企業(yè)為檢查產(chǎn)品質(zhì)量，在連續(xù)生產(chǎn)線上每隔2小時抽選一個或若干個樣品進行檢驗；農(nóng)作物產(chǎn)量實測或?qū)r(nóng)作物害蟲進行調(diào)查，對一大片農(nóng)田每隔一定距離抽取一塊進行測量或調(diào)查等等，都是系統(tǒng)抽樣的直觀案例。第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)抽樣的特點優(yōu)點：簡便易行，簡化抽樣手續(xù)。簡便易行，容易確定抽樣單元。其他抽樣方法在抽取樣本前需要對總體單元編號，然后再利用隨機數(shù)表等方法進行抽取樣本。而系統(tǒng)抽樣，只需要總體單元的順序排列，只要隨機確定初始單元。整個樣本就確定了，在某些場合甚至不用編制抽樣框。比如要對杭州市區(qū)的機動車輛進行調(diào)查，抽樣比為1%，則可以在尾數(shù)00~99中隨機抽取一個整數(shù)，比如是63，則只需對車輛牌照號末位為63的號進行調(diào)查。容易為非專業(yè)人員掌握。而且容易保存抽樣的原始記錄。缺點：如果單元的排列存在周期性的變化，而抽樣者對此缺乏了解或處理經(jīng)驗，抽取的樣本可能代表性很差。系統(tǒng)抽樣的方差很復雜，對估計帶來很大困難。第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三二、系統(tǒng)抽樣的基本方式

系統(tǒng)抽樣與其他抽樣方法所不同的一個最顯著的特點，就是系統(tǒng)抽樣只需要抽取一個樣本單位，然后按照某種規(guī)律，順次地得到整個樣本?！澳撤N規(guī)律”，就是指樣本單位抽取的一種事先的規(guī)定和安排。在此基礎上，系統(tǒng)抽樣又可以劃分為若干種具體的系統(tǒng)抽樣方法。其中，線性系統(tǒng)抽樣是一種最基本的方法。第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三（一）直線等距抽樣（線性系統(tǒng)抽樣）

假設總體單元數(shù)為N，樣本容量為n,N是n的整數(shù)倍。

首先計算抽樣間距k=N/n,把總體分為n段，每段k個單元，然后，在第一段的k個單元中隨機抽取一個單元，假設為r,然后每隔k個單元抽取一個單元，即抽取r,r+k,r+2k,…,r+(n-1)k,這n個單元為樣本。抽樣模型為：r+(j-1)k(j=1,2,…,n；r為隨機數(shù))例如：某學院要共200個學生，要抽10個學生做樣本。怎么進行直線等距抽樣？第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三（二）循環(huán)等距抽樣當N不是n的整數(shù)倍，即抽樣間距k=N/n不是整數(shù)時，應采取什么方法？總體有21個單元，擬抽取n=4，怎么抽取樣本？D.B.拉希里（D.B.Lahiri）于1952年提出了一種改進的系統(tǒng)抽樣法——循環(huán)系統(tǒng)抽樣。將總體N個單位的排序看作為一個首尾相連的圓圈，取最接近N/n的整數(shù)為k,在總體N個單位中隨機地抽取一個單位為隨機起點i，沿圓圈按順時針方向每隔k個單位抽取一個單位，直到抽出n個單位為止。第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三N=21,n=4,取k=5。設隨機起點為i=3，則應抽取的樣本單位編號依次為：3，8，13，18，如下圖所示，○表示隨機起點，□表示所抽中的其它樣本單位。第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三三總體單元的排序按無關(guān)標志排序（總體單位隨機排序）各單元的排序順序與所研究的內(nèi)容無關(guān)。要調(diào)查學生的視力情況，按學號順序排列。要調(diào)查職工平均年齡，按職工姓氏筆畫排列。無序系統(tǒng)排列按有關(guān)標志排列各單元的排序順序與所研究的內(nèi)容有關(guān)。要調(diào)查學生的平均身高，按照學生入學時體檢的身高順序排列。要對農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量進行調(diào)查，按當年的估產(chǎn)或前幾年的實產(chǎn)由高到低排列。這樣稱為有序系統(tǒng)抽樣處于兩者之間工廠中的工人名單按原有的工資名冊順序排列。主要是為了調(diào)查方便。第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三排序可能出現(xiàn)的問題總體單位排序與其標志值的大小有某種周期性的關(guān)系。對某個商場的日銷售額進行系統(tǒng)抽樣時，設抽樣距離為7天，樣本日銷售額正好都是星期天。在直線系統(tǒng)抽樣（線性系統(tǒng)抽樣）應注意避免抽樣的規(guī)律與現(xiàn)象變動的周期一致。總體單位排序有線性趨勢總體呈現(xiàn)這種“線性趨勢”（“單調(diào)上升或下降趨勢”）可以證明：其抽樣估值精度雖優(yōu)于簡單隨機抽樣，但劣于分層隨機抽樣。其原因在于對有線性趨勢的總體，采用直線系統(tǒng)抽樣法采用中心位置的系統(tǒng)抽樣法或?qū)ΨQ的系統(tǒng)抽樣法，可以大大地改善系統(tǒng)抽樣法的估值精度。第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三總體各單位按某種“負相關(guān)”的趨勢排列分為兩種情況：一種是總體各單位的標志值奇數(shù)層順排列而偶數(shù)層反排列；另一種是總體中上一半單位的標志值順排列而下一半單位的標志值反排列。這種負相關(guān)趨勢排列的情況下，線性系統(tǒng)抽樣法的估值精度最高。對線性趨勢總體下的系統(tǒng)抽樣或稱為有序排列下的系統(tǒng)抽樣的研究是十分重要的。

第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三四.估計量設系統(tǒng)抽樣的隨機起點值為r，則其相應系統(tǒng)樣本的均值為：

的估計量。為總體均值當N＝nk時，可以證明這個估計量是無偏的。

第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)抽樣與整群抽樣和分層抽樣的關(guān)系特殊的整群抽樣特殊的分層抽樣第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三五、問題的改進（1）當總體呈線性趨勢時，樣本觀測值可能會偏低或偏高，產(chǎn)生“趨向性的偏差”，對此統(tǒng)計學家們采用了很多方法來彌補這一不足。

(一)首尾校正法（1948年耶茨《皇家學會會刊》發(fā)表名為《系統(tǒng)抽樣》的文章提出。）

假設總體單元數(shù)為N，樣本容量為n,N是n的整數(shù)倍。

抽取r,r+k,r+2k,…,r+(n-1)k,這n個單元為樣本，每單元的權(quán)重都1/n，改變第一個單元和第n個單元的權(quán)重第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三問題的改進（2）中心位置抽樣法（麥多1953年《數(shù)理統(tǒng)計年刊》發(fā)表《論系統(tǒng)抽樣的理論III：中心起點與隨機起點系統(tǒng)抽樣的比較》）論文提出：當總體為單調(diào)上升趨勢時，中心系統(tǒng)抽樣法優(yōu)于隨機起點系統(tǒng)抽樣法（直線系統(tǒng)抽樣法）。初始樣本不是隨機產(chǎn)生，取第一段的中間位置。第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例子：27個學生抽取3個學生做樣本，用中心位置抽樣法，求學生的平均零花錢。樣本編號Y樣本編號Y樣本編號Y1210111920231112202034121321214513142222561415232367151724257816172525891719262591018192726第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三對稱系統(tǒng)抽樣法

N/n=k

（1）Sethi對稱系統(tǒng)抽樣將總體分成n/2（n為偶數(shù)時）組，每組有2k個單元，在組內(nèi)對稱。（2）Singn對稱系統(tǒng)抽樣總體對稱問題的改進（3）第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例子：用Sethi對稱系統(tǒng)抽樣，從20個學生中，抽取四個學生，并且求他們的平均零花錢。設隨機數(shù)為2

樣本編號Y樣本編號Y樣本編號Y樣本編號Y126711121617237812131719348913141819459101415192056101115172020第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例子：用singn對稱系統(tǒng)抽樣，從20個學生中，抽取四個學生，并且求他們的平均零花錢。