實(shí)數(shù)完備性基本定理等價(jià)性的證明

實(shí)數(shù)完備性基本定理等價(jià)性的證明摘要本文通過循環(huán)證明對(duì)實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性作出了證明.關(guān)鍵詞實(shí)數(shù)完備性基本定理等價(jià)性循環(huán)證明§1引在這一節(jié)，主要對(duì)本文所用到的定義，定理及推論作以介紹.定義設(shè)閉區(qū)間列也,b]｝具有如下性質(zhì)：⑴la,b〕ula,b],n=1,2,...；nnn+1n+1（ii）lim（b-a）=0,ntsnn則稱｛la,b]｝為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套.確界原理設(shè)S為非空數(shù)集.若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.單調(diào)有界定理在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.區(qū)間套定理若｛la,b]｝是一"使得J（an，bnIn=1,2,...,即a<^<b,n=1,2,.推論若^ela,b1n=1,2,...,是區(qū)間套｛la,b]｝所確定的點(diǎn)，則對(duì)任給的￡>0，存在N>0，使得當(dāng)n>N時(shí)有l(wèi)a,b]uU虹￡）.有限覆蓋定理設(shè)H為閉區(qū)間[?,b]的一個(gè)（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋[a,b].聚點(diǎn)定理實(shí)數(shù)軸上任一有限無界點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚點(diǎn).柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列｛an｝收斂的充要條件是：對(duì)任給的E>0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n,m>N時(shí)有a-b|〈￡-§2六大基本定理等價(jià)性的證明本節(jié)就是對(duì)六大基本定理等價(jià)性的證明.首先列出證明過程的基本框架：確界原理n單調(diào)有界定理n區(qū)間套定理nu柯西收斂準(zhǔn)則U聚點(diǎn)定理U有限覆蓋定理下面就是這個(gè)循環(huán)證明的過程.由確界原理證明單調(diào)有界定理證不妨設(shè)｛a｝為有上界的遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列｛a｝有上確界.記a=sup｛a｝.下面證明a就是｛a｝的極限.事實(shí)上，任給￡〉0，按上確界的定義，存在數(shù)列｛a｝中某一項(xiàng)a"使得a-￡〈a『又由｛a｝的遞增性，當(dāng)n>N時(shí)有a-￡Va<a.另一方面，由于a是｛a｝的一個(gè)上界，故對(duì)一切a,都有a<ava+￡.所以當(dāng)n>N時(shí)有a-￡vava+￡,這就證得lima=a.同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下nTs確界.由單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理證由區(qū)間套的定義，各閉區(qū)間的端點(diǎn)滿足如下不等式：a<a<…<a<…<b<…<b<b,12nn21即｛a｝為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界定理，｛a｝有極限&，且有a<&,n=1,2,...,（1）

（2）（3）（4）同理，遞減有界數(shù)列職｝也有極限，并按區(qū)間套的條件（ii）有l(wèi)imb=lima=&nts^nts"且（2）（3）（4）聯(lián)合(1)及(3)即得.最后證明滿足（4）的&是唯一的，設(shè)數(shù)&，也滿足,a<&'<b,n=1,2,…，則由（4）式有&-&'|<bn-a，n=1,2,....由區(qū)間套的條件（ii）得&一&，|<lim（b一a）=0,ntsnn故有&=&.由區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理證用反證法假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋［a,b］.將［a,b］等分為兩個(gè)子區(qū)間，則其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為［a,b］，則［a,b］u［a,b］，且b-a=1（b-a）.1111112再將［a1,b1］等分為兩個(gè)子區(qū)間，同樣，其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為［a,b］，則［a,b］u［a,b］，且222211b-a=—（b_a）-重復(fù)上述步驟并不斷進(jìn)行下去，則得到一個(gè)閉區(qū)間列也,b〕｝，它滿足[a,bLLa,b]n=1,2,...,,b-a=(b-a)t0(nts),即也,b]｝是區(qū)間套，且其中每一個(gè)閉區(qū)間都不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋.由區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn)^G[a,b],n=l,2,....由于H是[^,b]的一個(gè)開覆蓋，故存在開區(qū)間(a,p)eH，使geG,p).于是，由區(qū)間套定理推論，當(dāng)n充分大時(shí)有、bn]u(a,p).這表明[a,b]只須用H中的一個(gè)開區(qū)間(a,p)就能覆蓋，與挑選[a,b]時(shí)的nnnn假設(shè)“不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋”相矛盾.從而證得必存在屬于H的有限個(gè)開區(qū)間能覆蓋[a,b].4由有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理證設(shè)A為有界無限點(diǎn)集.那么存在正數(shù)M>0，使得Au[-M,M].假設(shè)[—M,M]中任意點(diǎn)都不是A的聚點(diǎn)，則對(duì)任意一點(diǎn)Xe[_M,M],必存在相應(yīng)的5(x)>0使得在u(x,5)中至多有A的有限個(gè)點(diǎn).記H=｛u(x,5)；xe[—M,M]｝，則H為A的一個(gè)開覆蓋.由有限覆蓋定理，在H中可以找到有限個(gè)開區(qū)間覆蓋[—m,M].記為H，=｛uG,5Vxe[-M,M]i=1,2,｝，從而更能覆蓋A.因h，內(nèi)至A中有限個(gè)點(diǎn)，從而A為有限點(diǎn)集，與假設(shè)“A是有界無限點(diǎn)集”矛盾.故區(qū)間[—M,M]中至少有一個(gè)集合A的聚點(diǎn)，即集合A至少有一個(gè)聚點(diǎn).5由聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證先證條件的必要性：設(shè)七-a，則對(duì)任意給定的8>0,有一正整數(shù)N，當(dāng)k.>N時(shí)，有xk-a<-從而當(dāng)m,n>N時(shí)，有

X—X

nm其次，證明條件的充分性：II￡￡<x-a\+a-x|<—+—=s

nX—X

nm其次，證明條件的充分性：II￡￡<x-a\+a-x|<—+—=s

nm22設(shè)數(shù)列E｝滿足條件：對(duì)任給正數(shù)6n，總存在某一個(gè)自然數(shù)N,使得當(dāng)從而12N、"1則對(duì)一切n=1,2,??-,有a\<M

n下證b｝有收斂子列.n若E="/〃=1,2，…｝是有限集，貝U"｝必有一常子列；若E為無限集，則由nn聚點(diǎn)定理，E有一個(gè)聚點(diǎn)A.由聚點(diǎn)定義可證，存在￡｝，使limo=A.%Joo%總之，L｝有收斂子列.設(shè)limo=A，則對(duì)任給正數(shù)6，存在N,當(dāng)k,m,ntnk—>ookn>N時(shí)，有Iea-a|<—，nm2s

a-A<—-所以當(dāng)n>N（任取k>N,使〃>n）時(shí)，有kI￡￡a-A|<a-a+a-A<—+—=￡"nL22

6用數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理證設(shè)S為原理非空有上界數(shù)集.由實(shí)數(shù)的阿基米德性，對(duì)任何正數(shù)a，存在整數(shù)*,使得人Cta為S的上界，而入-a=(k-lh不是s的上界,

aa即存在a%S,使得a'>(k-1農(nóng).a分另U取a=~,n=1,2,

n6用數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理證設(shè)S為原理非空有上界數(shù)集.由實(shí)數(shù)的阿基米德性，對(duì)任何正數(shù)a，存在整數(shù)*,使得人Cta為S的上界，而入-a=(k-lh不是s的上界,

aa即存在a%S,使得a'>(k-1農(nóng).a分另U取a=~,n=1,2,

ns的上界，而X_1不是nn,則對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n,存在相應(yīng)的X,使得人為nns的上界,故存在S，使得(5)又對(duì)正整數(shù)m,人是S的上界，故有理有X-Xmnm1<-m從而得nX>a,結(jié)合(5)式得入mn一入；同

mn(6)nn—>co現(xiàn)在證明入就是S的上確界.首先，對(duì)任何aeS和正整數(shù)n式得a<x,BPx是的S一個(gè)上界.其次，對(duì)任何5>0，由LtoGtoo)及(6)式,n對(duì)充分大的n同時(shí)有1".§TOC\o"1-5"\h\z-<—,X>X-一.n22又因入-1不是S的上界，故存在a'wS，使得a'>X-1.結(jié)合上式得nnnn66a'>X————=X—8.22這說明入為S的上確界.同理可證：若S為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界.參考文獻(xiàn)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》高等教育出版社2001年6月第3版pp復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋等編《數(shù)學(xué)分析》高等教育出版社1983年7月第2版楊熙鵬邵子遜劉穎植主編《數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析》陜西師范大學(xué)出版社錢吉林等主編《數(shù)學(xué)分析題解精粹》崇文書局2003年8月第1版TheProofontheEquivalentRelationsintheFoundamentalTheoremsofCompletenessofRealNumbersAbstractInthispaper,weprovetotheequ