初中數(shù)學(xué)最值題解法小結(jié)

-.z.初中數(shù)學(xué)最值題解法小結(jié)在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見(jiàn)題型，圍繞最大〔小〕值所出的數(shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)〔a、b、c為常數(shù)且〕其性質(zhì)中有①假設(shè)當(dāng)時(shí)，y有最小值。；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，y有最大值。。利用二次函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)展計(jì)算，從而到達(dá)解決實(shí)際問(wèn)題之目的例1.某玩具廠方案生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，生產(chǎn)x只玩具熊貓的本錢為R〔元〕，售價(jià)每只為P〔元〕，且R、P與x的關(guān)系式分別為，?！?〕當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲得的利潤(rùn)為1750元；〔2〕當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解：〔1〕根據(jù)題意得整理得解得，〔不合題意，舍去〕〔2〕由題意知，利潤(rùn)為所以當(dāng)時(shí)，最大利潤(rùn)為1950元。二.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)的自變量x的取值圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條直線，因而沒(méi)有最大〔小〕值；但當(dāng)時(shí)，那么一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大〔小〕值。例2.某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問(wèn)甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)可使得每月所付的工資最少？解：設(shè)招聘甲種工種的工人為x人，那么乙種工種的工人為人，由題意得：所以設(shè)所招聘的工人共需付月工資y元，那么有：〔〕因?yàn)閥隨x的增大而減小所以當(dāng)時(shí)，〔元〕三.判別式法例3.求的最大值與最小值。分析：此題要求出最大值與最小值，直接求那么較困難，假設(shè)根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程；再根據(jù)x是實(shí)數(shù)，推得，進(jìn)而求出y的取值圍，并由此得出y的最值。解：設(shè)，整理得即因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以即解得所以的最大值是3，最小值是。四.構(gòu)造函數(shù)法"最值〞問(wèn)題中一般都存在某些變量變化的過(guò)程，因此它們的解往往離不開(kāi)函數(shù)。例4.求代數(shù)式的最大值和最小值。解：設(shè)，，再令，，那么有所以得y的最大值為，最小值為五.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)圍，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為k。例5.設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么的最小值為_(kāi)______。解：當(dāng)，，即時(shí)，上式等號(hào)成立。故所求的最小值為－1。六.零點(diǎn)區(qū)間討論法例6.求函數(shù)的最大值。分析：此題先用"零點(diǎn)區(qū)間討論法〞消去函數(shù)y中絕對(duì)值符號(hào)，然后求出y在各個(gè)區(qū)間上的最大值，再加以比擬，從中確定出整個(gè)定義域上的最大值。解：易知該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)卯?dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，y有最大值為七.利用不等式與判別式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。例7.x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，，數(shù)m最大值與最小值。解：由題意得所以x、y是關(guān)于t的方程的兩實(shí)數(shù)根，所以即解得m的最大值是，m的最小值是－1。八."夾逼法〞求最值在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值圍，再通過(guò)解不等式獲取問(wèn)題的答案，這一方法稱為"夾逼法〞。例8.不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為_(kāi)_______。解：設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h因?yàn)?，所以又因?yàn)?，代入得，所以又因?yàn)椋氲?，所以所?<h<6，故整數(shù)h的最大值為5?！袂笞钪祮?wèn)題最值型應(yīng)用問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。這類問(wèn)題貼近生活、貼近社會(huì)，有利于表達(dá)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，有利于考察學(xué)生的分析、猜測(cè)、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。本文舉幾例求最值的問(wèn)題。利用一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值問(wèn)題對(duì)于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值圍可以是全體實(shí)數(shù)，因此不存在最大最小值〔簡(jiǎn)稱"最值〞〕，但在實(shí)際問(wèn)題中，因題目中的自變量受到實(shí)際問(wèn)題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類問(wèn)題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值圍可以確定最大值或最小值。例１、〔2008年市初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查〕紅星服裝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一批A、B兩種型號(hào)的演出服，每小時(shí)生產(chǎn)A型演出服比B型演出服少2套，且生產(chǎn)18套A型演出服與生產(chǎn)24套B型演出服所用的時(shí)間一樣。設(shè)該廠每小時(shí)可生產(chǎn)A型演出服a套，用含a的代數(shù)式表示該廠生產(chǎn)24套B型演出服所用的時(shí)間；求出a的值。假設(shè)該廠要在8小時(shí)之〔含8小時(shí)〕先后生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的演出服50套，且生產(chǎn)一套A、B兩種型號(hào)的演出服可得利潤(rùn)分別為40元和30元，問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的演出服的套數(shù)，才能使獲得的總利潤(rùn)最大？最大的總利潤(rùn)是多少元？分析：〔１〕①或②解得〔２〕設(shè)生產(chǎn)A型演出服套，依題意得，解得。W利潤(rùn)＝W利潤(rùn)是一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性∵∴W隨的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，W利潤(rùn)有最大值＝AB本錢(萬(wàn)元/套)2528售價(jià)(萬(wàn)元/套)3034例２某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司方案建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬(wàn)元，但不超過(guò)2096萬(wàn)元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房本錢和售價(jià)如下表：(1)該公司對(duì)這兩種戶型住房有哪幾種建房方案"(2)該公司如何建房獲得利潤(rùn)最大"(3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每套B型住房的售價(jià)不會(huì)改變，每套A型住房的售價(jià)將會(huì)提高a萬(wàn)元(a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤(rùn)最大"注：利潤(rùn)=售價(jià)-本錢分析：(1)設(shè)A種戶型的住房建x套，那么B種戶型的住房建(80-x)套，根據(jù)題意：該公司所籌資金不少于2090萬(wàn)元，但不超過(guò)2096萬(wàn)元，可列出兩個(gè)不等式，解不等式組，即可求出x的取值圍，進(jìn)而確定x的正整數(shù)值.(2)根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決.(3)要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想.從而做到不重復(fù)不遺漏,注意思維的縝密性.解析：(1)設(shè)A種戶型的住房建x套，那么B種戶型的住房建(80-x)套．由題意知2090≤25x+28(80-x)≤209648≤x≤50∵x取非負(fù)整數(shù)，∴x為48，49，50．∴有三種建房方案：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套(2)設(shè)該公司建房獲得利潤(rùn)Ｗ(萬(wàn)元)．由題意知Ｗ=5x+6(80-x)=480-x∴當(dāng)x=48時(shí)，Ｗ最大=432(萬(wàn)元)即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤(rùn)最大(3)由題意知Ｗ=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x∴當(dāng)O<a<l時(shí)，x=48，Ｗ最大，即A型住房建48套，B型住房建32套當(dāng)a=l時(shí)，a-1=0，三種建房方案獲得利潤(rùn)相等當(dāng)a>1時(shí)，x=50，Ｗ最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.答:略.說(shuō)明:此題的第(1)問(wèn)是利用一元一次不等式組解決的,第(2)、(3)問(wèn)是利用一次函數(shù)的增減性解決問(wèn)題的,要注意三問(wèn)相互聯(lián)系.二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值問(wèn)題例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具３至５個(gè)，假設(shè)每天須生產(chǎn)這種玩具４００個(gè)，那么須招聘工人多少名？分析：這是一道反比例函數(shù)模型的應(yīng)用題，這里４００是常量。設(shè)每人每天生產(chǎn)x個(gè)玩具，需要工人名。那么有?！玻常襵為整數(shù)〕∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴，即∵為正整數(shù)，∴?。福爸粒保常?。即須招聘工人為80至134人。三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問(wèn)題對(duì)于某些與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如果我們能夠?qū)?shí)際問(wèn)題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，建立起二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì)，可以解決許多實(shí)際問(wèn)題。例１．將進(jìn)貨單價(jià)40元的商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)，假設(shè)此商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量減少10個(gè)，為了賺到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)利潤(rùn)為元，每個(gè)售價(jià)為元，那么每個(gè)漲〔－50〕元，從而銷售量減少∴＜100〕∴答：為了賺取最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為70元．例２、〔市2008年中考題〕某產(chǎn)品第一季度每件本錢為元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低本錢的百分率為⑴請(qǐng)用含的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的本錢；⑵如果第三季度該產(chǎn)品每件本錢比第一季度少元，試求的值=3\*GB2⑶該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價(jià)為元，第三季度每件的銷售價(jià)比第二季度有所下降，假設(shè)下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低本錢的百分率一樣，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價(jià)不低于元，設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為元，試求與的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求的最大值〔注：利潤(rùn)銷售價(jià)本錢〕分析：〔1〕⑵解得〔3〕解得而，∴而＝＝∵當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的增減性，隨的增大而增大，而，∴當(dāng)時(shí)，最大值＝18〔元〕說(shuō)明：當(dāng)自變量取值圍為體體實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)在拋物線頂點(diǎn)取得最值，而當(dāng)自變量取值圍為某一區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意以下兩種情形：假設(shè)拋物線頂點(diǎn)在該區(qū)間，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)不在該區(qū)間，那么區(qū)間兩端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。四、利用對(duì)稱性來(lái)求最值問(wèn)題。類這題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解答有一定的難度?！惨弧吃趲缀晤}組中的應(yīng)用ＥＤＣＢＢＡＰＭＥＤＣＢＢＡＰＭ`分析：由菱形的性質(zhì)知：點(diǎn)Ｂ與點(diǎn)Ｄ關(guān)于ＡＣ對(duì)稱。因?yàn)椋性冢粒蒙现н\(yùn)動(dòng)，所以ＰＢ＝ＰＤ。要求PE+PB的最小最，即求PＤ+PB的最小值。連接ＤＥ交ＡＣ于點(diǎn)，那么ＤＥ即為所求。又∠BAD＝60°，ＡＥ＝ＡＤ，Ｅ為ＡＢ的中點(diǎn)，所以ＤＥ⊥ＡＢ，而ＡＢ＝ＡＤ＝２，所以ＤＥ＝，即PＤ+PB的最小值為ＰＯＢＡＱＲ例２、如圖，∠ＰＯＢＡＱＲ分析：作Ｐ關(guān)于ＯＡ，ＯＢ的對(duì)稱點(diǎn)，。連接，分別交ＯＡ，ＯＢ于Ｑ，Ｒ。如下圖，再連接ＰＱ，ＰＲ。易知Ｑ＝ＰＱ，Ｒ＝ＰＲ，所以△ＰＱＲ的周長(zhǎng)＝Ｑ+ＱＲ+Ｒ。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，△ＰＱＲ的周長(zhǎng)＝，而∠ＰＯＡ＝∠ＯＡ，∠ＰＯＢ＝∠ＯＢ，且ＯＰ＝Ｏ＝Ｏ＝１０，又∠ＡＯＢ＝４５°，所以∠Ｏ＝９０°即△Ｏ為等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周長(zhǎng)的最小值為〔二〕在代數(shù)題組中應(yīng)用ABOCDEABOCDEMXY且A〔－1，0〕。求拋物線的解析式及頂點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)判斷△ＡＢＣ的形狀，證明你的結(jié)論。點(diǎn)Ｍ〔m，0〕是Ｘ軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ＭＣ+ＭＤ的值最小時(shí)，求m的值分析：〔1〕將A〔－1，0〕代入得，所以拋物線的解析式配方得：，所以頂點(diǎn)D〔2〕求出AC=，BC=，而AB=5∴，故△ＡＢＣ為RT△〔3〕作點(diǎn)C關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E〔，0〕，連接DE交X軸于點(diǎn)M，通過(guò)兩點(diǎn)式可求得直線DE的XOAEBPDYCXOAEBPDYCF32MN∴Ｍ〔，0〕即m=例2、如圖以矩形ＯＡＢＣ的頂點(diǎn)Ｏ為原點(diǎn)，ＯＡ所在的直線為Ｘ軸，ＯＣ所在的直線為Ｙ軸，建立平面直角坐標(biāo)系。ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，點(diǎn)Ｅ是ＡＢ的中點(diǎn)，在ＯＡ上取一點(diǎn)Ｄ，將△ＢＡＤ沿ＢＤ翻折，使點(diǎn)Ａ落在ＢＣ邊上的點(diǎn)Ｆ處。直接寫出點(diǎn)Ｅ、Ｆ的坐標(biāo)：設(shè)頂點(diǎn)為Ｆ的拋物線交Ｙ軸正半軸于點(diǎn)Ｐ，且以Ｅ、Ｆ、Ｐ為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；在Ｘ