專題01二次函數(shù)（2個知識點3大題型1個易錯點）（原卷版）

專題01二次函數(shù)（2個知識點3大題型1個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1．二次函數(shù)的定義（重點）知識點2．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式（重點）【方法二】實例探索法題型一：根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值題型二：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的表達式題型三：根據(jù)動態(tài)問題列二次函數(shù)的表達式【方法三】差異對比法易錯點1根據(jù)二次函數(shù)的定義求字母參數(shù)的值式，容易忽略二次函數(shù)系數(shù)不為0這個條件而導致錯誤【方法四】成果評定法期中期末中考真題練【學習目標】1.理解二次函數(shù)的概念，能將二次函數(shù)化為一般形式2.能根據(jù)概念判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)3.了解實際問題中存在的二次函數(shù)關系及對其自變量的要求?！局R導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1．二次函數(shù)的定義1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關鍵條件．2.二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.例1．（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學）下列函數(shù)中，常量3表示二次項系數(shù)的是（）A．y＝3xB．y＝3x2C．y＝D．y＝x2+3例2．（2023春?蘭溪市月考）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝2x2﹣7D．知識點2．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數(shù)與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．例3．（2022春?金東區(qū)校級月考）某公司的生產(chǎn)利潤原來是a元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增長達到了y萬元，如果每年增長的百分數(shù)都是x，那么y與x的函數(shù)關系是（）A．y＝x2+aB．y＝a（x﹣1）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2例4．（2022秋?下城區(qū)校級月考）美國圣路易斯市有一座巨大的拱門，這座拱高和底寬都是192m的不銹鋼拱門是美國開發(fā)西部的標志性建筑．如果把拱門看作一條拋物線，試建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担懗雠c該拋物線相應的函數(shù)表達式．【方法二】實例探索法題型一：根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值例5．（2022秋?金華期末）若y＝（m﹣2）x是二次函數(shù)，則m的值為（）A．±2B．2C．﹣2D．±例6．（2022秋?諸暨市期末）已知y關于x的二次函數(shù)解析式為y＝（m﹣2）x|m|，則m＝（）A．±2B．1C．﹣2D．±1題型二：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的表達式例7．（2022秋?桐廬縣校級月考）某工廠2017年產(chǎn)品的產(chǎn)量為100噸，該產(chǎn)品產(chǎn)量的年平均增長率為x（x＞0），設2019年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為y噸，則y關于x的函數(shù)關系式為．例8．（2022秋?西湖區(qū)期末）在一個邊長為1的正方形中挖去一個邊長為x（0＜x＜1）的小正方形，如果設剩余部分的面積為y，那么y關于x的函數(shù)表達式為（）A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x例9．（2022秋?蕭山區(qū)月考）將進貨價格為35元的商品按單價40元售出時，能賣出200個，已知該商品單價每上漲2元，其銷售量就減少10個．設這種商品的售價為x元時，獲得的利潤為y元，則下列關系式正確的是（）A．y＝（x﹣35）（400﹣5x）B．y＝（x﹣35）（600﹣10x）C．y＝（x+5）（200﹣5x）D．y＝（x+5）（200﹣10x）例10．（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進出，開了3道寬為1米的門．設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達式為；自變量x的取值范圍為．例11．（2022秋?南湖區(qū)校級期中）某商店購進某種商品的價格是元/件，在一段時間里，單價是元，銷售量是500件，而單價每降低1元就可多售出200件，當銷售價為x元/件時，獲利潤y元，則y與x的函數(shù)關系為（）A．y＝（6﹣x）（500+x）B．y＝（﹣x）（500+200x）C．y＝（6﹣x）（500+200x）D．以上答案都不對例12．（2022秋?拱墅區(qū)月考）為方便市民進行垃圾分類投放，某環(huán)保公司第一個月投放a個垃圾桶，計劃第三個月投放垃圾桶y個，設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關系是（）A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a例13．（2021秋?新昌縣期末）如圖，矩形DEFG的四個頂點分別在正三角形ABC的邊上．已知△ABC的邊長為4，記矩形DEFG的面積為S，線段BE為x．（1）求S關于x的函數(shù)表達式．（2）當S＝時，求x的值．例14．（2021春?青秀區(qū)校級月考）國家決定對某藥品分兩次降價，若設平均每次降價的百分比為x，該藥品的原價為33元，降價后的價格為y元，則y與x之間的函數(shù)關系為（）A．y＝66（1﹣x）B．y＝33（1﹣x）C．y＝33（1﹣x2）D．y＝33（1﹣x）2例15．（2022秋?義烏市月考）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜園ABCD，設AB邊長為x米，則菜園的面積y（米2）與x（米）的關系式為．（不要求寫出自變量x的取值范圍）題型三：根據(jù)動態(tài)問題列二次函數(shù)的表達式例16．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，動點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是ts，過點D作DF⊥BC于點F，連接EF．(1)若四邊形AEFD為菱形，則t值為多少？(2)在點D、E的運動過程中，設四邊形ADFE的面積為y，請求出y與t的函數(shù)關系式？【方法三】差異對比法易錯點1根據(jù)二次函數(shù)的定義求字母參數(shù)的值式，容易忽略二次函數(shù)系數(shù)不為0這個條件而導致錯誤例17．（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關于x的二次函數(shù)，則a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1易錯總結：求二次函數(shù)中字母參數(shù)的值，要根據(jù)二次函數(shù)定義，在保證二次函數(shù)中含自變量的代數(shù)式是整式的前提下，還必須滿足自變量的最高次數(shù)是2和二次項系數(shù)不為0的條件。解此題時，容易忽略二次項次數(shù)不為0這個條件，得出錯解-5或-1.【方法四】成功評定法一、單選題1．（2022秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的常數(shù)項是（）A．1 B．2 C． D．02．（2022秋·浙江杭州·九年級蕭山區(qū)黨灣鎮(zhèn)初級中學?？计谥校┫铝泻瘮?shù)是二次函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江·八年級專題練習）正方形的邊長為4，若邊長增加x，那么面積增加y，則y關于x的函數(shù)表達式為()A． B． C． D．4．（2022·浙江·九年級專題練習）一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關系式為（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）25．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)值等于，則下列關于的關系式中，正確的是（）A． B． C． D．6．（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）已知是y關于x的二次函數(shù)，則m的值為（）A．0 B．1 C．4 D．0或47．（2023秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）在一個邊長為1的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，如果設剩余部分的面積為y，那么y關于x的函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．8．（2021秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）一件商品原價為元，連續(xù)兩次降價，降價率均為，兩次降價后該商品的售價價格為元，則與的函數(shù)關系式為（）A． B． C． D．9．（2022·九年級單元測試）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，則該拋物線關于點成中心對稱的拋物線的表達式為（）A． B．C． D．二、填空題10．（2022秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當時，____________．11．（2021秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習）半徑是2的圓，如果半徑增加x時，增加的面積s與x之間的關系表達式為__________．12．（2022秋·浙江·九年級專題練習）為防治新冠病毒，某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元，若每月平均增長率為，第一季度的總產(chǎn)值為（億元），則關于的函數(shù)解析式為________________．13．（2022秋·浙江·九年級期中）圓的半徑為x（cm），那么圓的面積y（cm2）可以表示為y＝πx2；存入銀行2萬元，先存一個一年期，一年后將本息轉存為又一個一年期，設年利率均為x，那么兩年后共得本息y（萬元）可以表示為y＝2（1+x）2；…還可以表示許多不同情境中變量之間的類似這種特殊函數(shù)關系，請你再列舉一例：_____．14．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市豐潭中學?？计谥校┰谥苯瞧矫孀鴺讼抵?，二次函數(shù)（a，b為常數(shù)，），當點在函數(shù)圖象上，則＝_____．15．（2022秋·浙江嘉興·九年級校考期中）有下列函數(shù)：①y=5x-4；②；③；④；⑤；其中屬于二次函數(shù)的是___________（填序號）．16．（2019秋·浙江·九年級統(tǒng)考期中）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）.若設綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2.則y與x之間的函數(shù)關系式是，自變量x的取值范圍是；三、解答題17．（2019秋·浙江杭州·九年級期末）已知y關于x的函數(shù)y=（m2+2m）x2+mx+m+1.（1）當m為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)？（2）當m為何值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？18．（2021秋·九年級校考期中）某市化工材料經(jīng)銷公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元．物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每千克70元，不低于每千克30元．經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：日銷售量（千克）是銷售單價（元）的一次函數(shù)，且當時，時，．在銷售過程中，每天還要支付其它費用450元．(1)求與的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍．(2)求該公司銷售該原料日獲利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關系式．19．（2022秋·浙江·九年級期末）荔枝是夏季的時令水果，儲存不太方便．某水果店將進價為18元/千克的荔枝，以28元/千克售出時，每天能售出40千克．市場調研表明：當售價每降低1元/千克時，平均每天能多售出10千克．設降價x元．(1)降價后平均每天可以銷售荔枝千克（用含x的代數(shù)式表示）．(2)設銷售利潤為y，請寫出y關于x的函數(shù)關系式．(3)該水果店想要使荔枝的銷售利潤平均每天達到480元，且盡可能地減少庫存壓力，應將價格定為多少元/千克？20．（2019秋·浙江湖州·九年級?？茧A段練習）閱讀下列材料，解決材料后的問題：材料一：對于實數(shù)x、y，我們將x與y的“友好數(shù)”用f（x，y）表示，定義為：f（x）＝，例如17與16的友好數(shù)為f（17，16）＝＝．材料二：對于實數(shù)x，用[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，即滿足條件[x]≤x＜[x]+1，例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……（1）由材料一知：x2+2與1的“友好數(shù)”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，請求出x的值；（2）已知[a﹣1]＝﹣3，請求出實數(shù)a的取值范圍；（3）已知實數(shù)x、m滿足條件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，請求f（x，m2﹣m）的最小值．21．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求的值；(2)設、、均在該函數(shù)圖象上，①當時，、、能否作為同一個三角