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第三節(jié)絕對收斂與條件收斂第1頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三一、交錯級數(shù)及其審斂法1、定義:
正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).萊布尼茨定理只能用來判定交錯級數(shù).
第2頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三證明滿足收斂的兩個條件,定理證畢.第3頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三收斂收斂收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂例1用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:第4頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三解故原級數(shù)收斂.第5頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三3、三點(diǎn)說明:(1)滿足條件
(i)(ii)的交錯級數(shù)為萊布尼茨型級數(shù).(2)兩個條件
(i)(ii)是交錯級數(shù)收斂的充分條件.若不滿足條件
(ii),則交錯級數(shù)必發(fā)散.若不滿足條件
(i),交錯級數(shù)未必發(fā)散.例如收斂.(3)應(yīng)用萊布尼茨定理判斷交錯級數(shù)斂散性必須驗證這兩個條件,缺一不可.第6頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三練習(xí):判別下列級數(shù)的收斂性.收斂收斂收斂發(fā)散第7頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三二、絕對收斂與條件收斂1、定義:
一般項為任意實(shí)數(shù)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).證明定理的作用:任意項級數(shù)正項級數(shù)第8頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三級數(shù)絕對收斂;則(1)
當(dāng)
0
1
時,(2)
當(dāng)
1
時,級數(shù)發(fā)散;(3)
當(dāng)
1
時,級數(shù)斂散性需另行判定.定理(Page244)說明:第9頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三解故原級數(shù)絕對收斂.例1
判別下列級數(shù)的斂散性.若收斂,指出是條件收斂還是絕對收斂.故原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)發(fā)散.第10頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三(1)當(dāng)p
0
時,級數(shù)發(fā)散;(2)當(dāng)0<p
1
時,級數(shù)條件收斂;(3)當(dāng)p
>1
時,級數(shù)絕對收斂.(1)當(dāng)0<x
<1
時,級數(shù)絕對收斂
;(2)當(dāng)x
=1
時,級數(shù)條件收斂;(3)當(dāng)x
>1
時,級數(shù)發(fā)散
.(絕對收斂)第11頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三(A)發(fā)散.(B)條件收斂.(C)絕對收斂.(D)斂散性與
k
有關(guān).B(條件收斂)(條件收斂)第12頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三解(1)當(dāng)p
0
時,故級數(shù)發(fā)散.(2)當(dāng)p
>0時,當(dāng)p
>1
時,故級數(shù)絕對收斂.當(dāng)0<p
1
時,即原級數(shù)條件收斂.故:當(dāng)p
0
時,級數(shù)發(fā)散;當(dāng)0<p
1
時,級數(shù)條件收斂;當(dāng)p
>1
時,級數(shù)絕對收斂.第13頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三解(1)當(dāng)x
>1
時,故級數(shù)發(fā)散.故:當(dāng)0<x
<1
時,級數(shù)絕對收斂
;當(dāng)x
=1
時,級數(shù)條件收斂;當(dāng)x
>1
時,級數(shù)發(fā)散
.(2)當(dāng)x=1時,級數(shù)條件收斂.(3)當(dāng)0<x
<1
時,即原級數(shù)絕對收斂.第14頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三解故原級數(shù)絕對收斂.第15頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三解故原級數(shù)條件收斂.第16頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三三、小結(jié)正項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);第17頁,共18頁,2023年,2月20日,星期三如何判別任意項級數(shù)的斂散性?若收斂,要指出
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