第三章隨機(jī)變量及分布

第三章隨機(jī)變量及分布1第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三定義1.2設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意的x，y，二元函數(shù)F(x,y)=p(Xx,Yy)

稱為（X，Y）的分布函數(shù)?；蚍Q為

X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)的幾何含義：聯(lián)合分布函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處的函數(shù)值F(x,y)就表示隨機(jī)點(diǎn)落在以(x,y)為頂點(diǎn)的左下方的無窮矩形區(qū)域(-

<

ux,-

<

vy)內(nèi)的概率。(x,y)

xyo聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：(1)F(x,y)是變量x或

y的單調(diào)不減函數(shù)。即：對(duì)任意固定的y，當(dāng)x2>x1時(shí)，F(xiàn)(x2,y)

F(x1,y)

對(duì)任意固定的x，當(dāng)

y2

>y1時(shí)，F(xiàn)(x,y2)

F(x,y1)

第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三oxx1

x2

yy1

y2

(2)對(duì)任意的x

和y都有：0

F(x,y)

1(x,y)

xyo(3)對(duì)x

和y，F(xiàn)(x,y)都是右連續(xù)的(4)當(dāng)x1

<

x2

，y1

<

y2時(shí)，有

P(x1<X

x2,y1<Yy2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三定義：二維隨機(jī)變量(X,Y)中，隨機(jī)變量X（或Y）自身的分布稱為(X,Y)關(guān)于X（或Y）的邊緣分布。

結(jié)論：設(shè)(X,Y)

的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則有2邊緣分布邊緣分布函數(shù)：X的分布函數(shù)

FX(x)和

Y的分布函數(shù)FY(y)邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)確定。

邊緣分布從某種意義看，就是一維隨機(jī)變量的分布，它具有一維分布的性質(zhì)。只不過邊緣分布在二維空間考慮。第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三定義1.3：如果二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取的數(shù)對(duì)是有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量。1.2二維離散型隨機(jī)變量1二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

y

jy

2y

1x

1x

2x

ip

11p

12p

1jp

21p

22p

2jp

i1p

i2p

ij

Y

X

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y

)所有可能取的數(shù)對(duì)為(x

i

,y

j

)(i,j

=1,2,)則P(X=

x

i，Y

=

y

j

)=

p

i

j(i,j

=1,2,)稱為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y

)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分布。例：同時(shí)擲兩枚色子，朝上面的點(diǎn)數(shù)記為X,Y

，則二維隨機(jī)變量(X,Y

)為離散型。(X,Y

)的聯(lián)合概率函數(shù)表：(1)pij0,i,j=1,2,…

聯(lián)合概率分布的性質(zhì)(2)第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

P(X=

x

i，Y=

y

j

)=

p

i

j(i,j

=

1,2,

)

p

i.

行和

p1.

p2.

pi.

p.j

列和

p.1

p.2

p.j即2二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布

y

jy

2y

1x

1x

2x

ip

11p

12p

1jp

21p

22p

2jp

i1p

i2p

ijYX第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三注意：聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，邊緣分布不能唯一地確定聯(lián)合分布。11Y

X

01/121/61/61/61/61/1201/62332例：（X,Y）的聯(lián)合概率分布求：X,Y的邊緣分布解：X,Y的邊緣分布1pX

1/21/41/4321pY

1/21/41/432第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三定義1.5：設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x

,

y)。

如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)

稱為(X,Y

)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，或簡(jiǎn)稱聯(lián)合密度。1聯(lián)合密度函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度的基本性質(zhì)(1)f(x,y)

0

x

,

yR(2)第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三給出聯(lián)合密度f(x,y)

后，事件{(X,Y)G}的概率都可用二重積分表示。

OxyabG

1(x)

2(x)當(dāng)G為長(zhǎng)方形時(shí)，OxyabGcd例：(均勻分布)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=c,(x,

y)G

0,其他求：常數(shù)c

解第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三例：設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=ce

-3(x+y),0<

x<+,0<

y<+0,其他求：(1)常數(shù)c;(2)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(3)(X,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域G

內(nèi)的概率。解OxyG11x+y=1c=9(2)當(dāng)0<

x<+,0<

y<+時(shí)當(dāng)x,

y不都大于0時(shí)=(x,y)

xyo第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三求：(1)常數(shù)c;(2)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(3)(X,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域G

內(nèi)的概率。例：設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=ce

-3(x+y),0<

x<+,0<

y<+0,其他解：(3)Oxy1y=1-x1x1-x001第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合密度為f(x,y)，則其邊緣分布函數(shù)為若記稱fX(x)是(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)。把稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。2邊緣密度函數(shù)第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三例：已知隨機(jī)向量(X,Y)服從圓形區(qū)域G

上的均勻分布，其密度函數(shù)為0，其他求：邊緣密度函數(shù)f

x(x)和f

y(y)。解：關(guān)于X

的邊緣密度函數(shù)為同理，關(guān)于Y

的邊緣密度函數(shù)為當(dāng)x>R時(shí)當(dāng)xR時(shí)0x>R0y>R第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)條件分布定義：二維隨機(jī)變量(X

,Y)中，已知隨機(jī)變量X取定值x時(shí)，隨機(jī)變量Y的分布稱為在(X=x）條件下Y的條件分布。

已知隨機(jī)變量Y取定值y時(shí)，隨機(jī)變量X的分布稱為在(Y

=y）條件下X的條件分布。

第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三2.2離散型隨機(jī)變量的條件概率分布設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為：P((X=

x

i,

Y

=

yj

)=p

i

j(i,j

=1,2,)邊緣分布：現(xiàn)考慮在事件(Y=yj

)已發(fā)生的條件下，事件(X=

xi

)的條件概率P(X=x

i|Y=y

j)。定義2.1：設(shè)

(X,Y

)是二維離散型隨機(jī)向量，對(duì)于固定的j,若P(Y=y

j

)>0，則稱為在Y=y

j

條件下隨機(jī)變量X的條件概率分布同樣，對(duì)于固定的i，若P(X=x

i

)>0，則稱為在X=x

i

條件下隨機(jī)變量Y的條件概率分布第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三在X=2的條件下,Y的條件分布為：=1/3例：（X,Y）的聯(lián)合概率分布11YX01/121/61/61/61/61/1201/62332P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2在Y=1時(shí),X

的條件分布解：1

P(Y|X=2)Y

1/31/31/332=1/3=1/3求：在X=2時(shí),Y

的條件分布在Y=1的條件下,X的條件分布為1

P(X|Y=1)X

2/31/3032第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三稱為在Y=y條件下X的條件密度函數(shù)。2.3連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布定義2.2設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合密度為f(x,y)，邊緣密度函數(shù)為fX(x),fY(y)

則稱為在Y=y條件下，隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù)，記為第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三稱為在X=x條件下Y的條件密度函數(shù)。類似的，當(dāng)則稱為在X=x條件下，隨機(jī)變量Y的條件分布函數(shù)，記為第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三解：0其他例：設(shè)(X,Y)~f(x,y)=求：條件密度函數(shù)

f(x|y)，

f(y|x)0其他0其他對(duì)于滿足y

<R的固定值y，f

Y

(y)>0，則：0其他0其他對(duì)于滿足x

<R的固定值x，f

X

(x)>0，則：第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三定義：二維隨機(jī)變量(X,Y)中，聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)分別為F(x，y)，F(xiàn)X(x)，F(xiàn)Y(y）。若滿足

F(x，y)=FX

(x)FY(y）則稱隨機(jī)變量

X和Y

相互獨(dú)立。第三節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性離散型隨機(jī)變量X,Y的獨(dú)立性離散型隨機(jī)變量X,Y

獨(dú)立的充要條件是對(duì)一切i,j=1,2,…

都有pij=pi.?

p.j即：

P(X=

x

i,Y=

y

j

)=P(X=

x

i)

P(Y=

y

j

)(i,j

=

1,2,

)第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合密度為f(x,y)，邊緣密度函數(shù)為fX(x),fY(y)，若f(x,y)=fX

(x)fY(y)，則X,Y獨(dú)立例：設(shè)(X,Y)~f(x,y)=判斷X，Y是否獨(dú)立0其他解：0其他0其他f(x,y)fX(x)fY(y)，則X，Y不獨(dú)立例：設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=9e

-3(x+y),0<

x<+,0<

y<+0,其他

fX(x)

=3e

-3x,0<

x<+0,其他

fY(y)

=3e

-3y

,0<

y<+0,其他f(x,y)=fX

(x)fY(y)，則X,Y獨(dú)立第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三二維正態(tài)分布若二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度為其中

1,

2,1>0,2>0

,||<1均為常數(shù)，則稱(X,Y)服從參數(shù)為

1,

2,1,2,的二維正態(tài)分布，記作(X,Y)~N(

1,

2,12

,22

,)。可求出邊緣密度函數(shù)為：表明，二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布。

X~N(

1,12

)

Y~N(

2,22

)

第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三例：因?yàn)殡S機(jī)變量X

與Y

獨(dú)立，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有設(shè)隨機(jī)變量X

與Y獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為求：(X,Y)

的聯(lián)合密度函數(shù)。解：(X,Y)~N(1,

2,12,22

,0)

此例說明：若XN(1,12)，YN(

2,22)，且X與Y獨(dú)立，則(X,Y)N(1,

2,12,22

,0)；若(X,Y)N(1,

2,12,22,0)，則X

與Y獨(dú)立。所以，二維正態(tài)隨機(jī)變量X

與Y獨(dú)立的充要條件是

=0。第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布若存在二元函數(shù)z=g(x,y)，使得對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y)的每一取值(x,y)，隨機(jī)變量Z的相應(yīng)取值為z=g(x,y)，則稱隨機(jī)變量Z是隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)，記作Z=g(X,Y)。由(X,Y)

的分布求出Z=g(X,Y)的分布呢？

例：

Z=X+Y4.1Z=X+Y的分布第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三例：已知(X,Y)的聯(lián)合分布如表求Z=X+Y

的概率函數(shù)。因?yàn)閆=X

+Y，所以Z

的可能取值是1,2,3,4,5解：于是，Z的概率函數(shù)如表所示。123450.10.250.270.380ZP表7

P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.110Y

X00.020.180.20.050.20.150.10.11232

P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.15+0.1+0.02=0.27P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.18=0.38P(Z=5)=P(X=2,Y=3)=01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三例：設(shè)X~P(

1)

與Y~P(

2)，且X

與Y

獨(dú)立求Z=X+Y的概率函數(shù)。

由于泊松分布的隨機(jī)變量X與Y可取所有非負(fù)整數(shù)，故其和Z=X+Y