工程力學(xué)08第八章扭轉(zhuǎn)

18.2扭矩、扭矩圖8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實例8.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形8.4圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件8.5靜不定問題第八章圓軸的扭轉(zhuǎn)返回主目錄2研究思路：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=+材料物理關(guān)系dxdGGjrgtrr==---(2)靜力平衡關(guān)系+TAMdAdxdG=ò2rj---(3)圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：rrrtIMT=---(4)且由(2)、(4)可知單位扭轉(zhuǎn)角為：rjGIMdxdT//=---(5)33.力的平衡關(guān)系令：最后得到：--(4)IP稱為截面對圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關(guān)。trTotrrtmaxtmax在圓軸表面處，且

W=IP

/r，稱為抗扭截面模量。T求IP，WT?4圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量dDo空心圓軸實心圓軸Do極慣性矩P=)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-=DWTa=d/D=0324DIpP=163DWTp=58.3.3扭轉(zhuǎn)圓軸任一點的應(yīng)力狀態(tài)

Tdx

TttdxCAdyttt′t′研究兩橫截面相距dx的任一A處單位厚度微元，左右兩邊為橫截面，上下兩邊為過軸線的徑向面。

AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0

t=t剪應(yīng)力互等定理：物體內(nèi)任一點處兩相互垂直的截面上，切應(yīng)力總是同時存在的，它們大小相等，方向是共同指向或背離兩截面的交線。6tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=08.3.3扭轉(zhuǎn)圓軸任一點的應(yīng)力狀態(tài)

dxCAdyttt′t′純切應(yīng)力狀態(tài)等價于轉(zhuǎn)過45后微元的二向等值拉壓應(yīng)力狀態(tài)。純切應(yīng)力狀態(tài):微元各面只有切應(yīng)力作用。

45斜截面上的應(yīng)力：

還有：s-45=t；t-45=0

t45dxCt45s45ttdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得：s45=-t；t45=0。Ass一些脆性材料(例如粉筆、鑄鐵等)承受扭轉(zhuǎn)作用時發(fā)生沿軸線45方向的破壞，就是由此拉應(yīng)力控制的。78.3.4

圓軸的扭轉(zhuǎn)變形單位扭轉(zhuǎn)角為：相對扭轉(zhuǎn)角

：B截面相對于A截面的扭轉(zhuǎn)角。若AB=L，則AB

GI稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。P若扭矩、材料，截面尺寸改變，則需分段求解。dxOCDABrCDddg

Tg

TABLBAgdxGI

TdLABòò==0Pj若AB間扭矩不變，材料不變，截面尺寸不變，則

T/GIp=const.,故有：PGILTAB/=8小結(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

t在橫截面上線性分布?；仡櫁U的拉壓扭矩T(右手法)內(nèi)力軸力FN(拉為正)應(yīng)力正應(yīng)力

s

在橫截面上均勻分布。最大切應(yīng)力在表面處o

TtmaxFNs變形EALFLN/=DPGI

TL/=抗扭剛度抗拉剛度9拉壓

ss/n

(延)

=[]=

sb/n

(脆)max

ts/n

(延)t

=[t]=

tb/n

(脆)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件max

[t]=0.5~0.6[s](鋼材，延性)[t]與[s]之關(guān)系：

[t]=0.8~1.0[s](鑄鐵，脆性)1.強(qiáng)度條件][/maxss￡=AFN][/maxtt￡=TWT

8.4圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件返回主目錄10軸AB間的相對扭轉(zhuǎn)角為：AB=TL/GIP扭轉(zhuǎn)圓軸必須滿足強(qiáng)度條件，以保證不破壞；另一方面，軸類零件若變形過大，則不能正常工作，即還須滿足剛度條件。單位長度的扭轉(zhuǎn)角為：q=AB/L=T/GIP扭轉(zhuǎn)剛度條件則為：qmax[q]---許用扭轉(zhuǎn)角機(jī)械設(shè)計手冊建議：[q]=0.25~0.5/m;精度高的軸；

[q]=0.5~1.0/m;一般傳動軸。2.剛度條件單位統(tǒng)一為/m，則有：（弧度轉(zhuǎn)換為角度）][180maxqpqP￡=oGIT113.扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計二者均須滿足扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計計算：強(qiáng)度、剛度校核；確定許用載荷（扭矩）；設(shè)計軸的幾何尺寸。強(qiáng)度條件：][/maxtt￡=TW

T剛度條件：][180maxqpqP￡=oGIT極慣性矩324DIpP=抗扭截面模量163DWTp=12解:1)畫扭矩圖。例4.實心圓軸如圖，已知MB=MC=1.64kN·m，

MD=2.18kN·m材料G=80GPa，[t]=40MPa，

[q]=1/m，試設(shè)計軸的直徑。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN·m1.642)按強(qiáng)度設(shè)計，有：][16/3maxtpt￡==DTW

TTN-m-Pa單位制132)按剛度設(shè)計，有：同時滿足強(qiáng)度與剛度要求，則應(yīng)取取大者][18032/1804maxqpppqr￡==ooDGMGIMTT則有：42max][18032qpGMDT°342911080180328032=pN-m-pa單位制)(109.693m-=mm70=14討論：若取a=0.5，試設(shè)計空心圓軸尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-3TMD3641040)5.01(328016-=p按剛度設(shè)計，有：][18032/)1(44maxqpapq￡-=oDGMT則有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-3apD扭矩圖不變，按強(qiáng)度設(shè)計，有：][maxmaxtt￡==MMTT16/)1(43maxap-DWT)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD實心軸空心軸重量比：重量減輕25%，尺寸略大一點。15例5.聯(lián)軸節(jié)如圖。軸徑D=100mm，四個直徑d=20mm的螺栓對稱置于D1=320mm的圓周上，t=12mm。若[]=80MPa，[bs]=120MPa。試確定許用的扭矩T。解：1)考慮軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件:][16/3maxmaxtpt￡==DTW

TT16/][3DT扭pt￡mkNmmN·7.15·107.1516/1008063===pttD1ToD162)考慮螺栓剪切強(qiáng)度:=FS/(d2/4)[]

有：FS[]d2/4=25.12kN2)考慮螺栓擠壓

強(qiáng)度：bs=Fbs/Abs=Fbs/td[bs]

有:Fbs

td[bs]=28.8kN

T=min{Ti}=15.7kN·mttD1ToDFSFSFSFSD1

ToFbsFbsFbsFbs由平衡條件有4FS(D1/2)=T

T剪=4FS(D1/2)4×25.12×0.16=16.1kN·m由平衡條件有：4Fbs(D1/2)=T

故T擠=4×28.8×0.16=18.4kN·m。返回主目錄178.5靜不定問題和彈塑性問題求解變形體靜力學(xué)問題的基本方程:力的平衡方程、材料的物理方程和變形幾何方程。變形體靜力學(xué)問題研究對象受力圖平衡方程求反力？靜不定物理方程幾何方程靜定求內(nèi)力應(yīng)力求變形物理求位移幾何聯(lián)立求解反力、內(nèi)力、應(yīng)力變形、位移等靜不定問題有多余的變形約束彈塑性問題物理方程不同18靜不定問題例6兩端固定的圓截面桿AB，在C截面處受外力偶Mc作用，試求兩固定端的支反力偶矩。

解:靜力平衡方程

:

MC=MA+MB---(1)物理方程(力—變形關(guān)系)

AC=-MAa/GIr;CB=MBb/GIr

---(3)幾何方程:

AB=AC+CB=0---(2)abAMCCBMAMBMAMBMＴ圖(3)代入(2)，再與(1)聯(lián)立求解，得:

CBMbaaM+=

CAMbabM+=;19彈塑性問題例7空心圓軸承受扭轉(zhuǎn)作用，材料服從理想彈塑性剪應(yīng)力-剪應(yīng)變關(guān)系。試估計軸開始發(fā)生屈服時的扭矩MS，及軸可承受的最大扭矩MU。解：解：1）彈性階段：（MT<MS）剪切虎克定律成立，有t=Gg。

2）開始屈服:(MT=MS)

此時有:tmax=MS/WT=tys

trtmaxorMTMTMTOttysg已知截面剪應(yīng)力分布，且有：

tmax=MT/WT=MT/[pD3(1+a4)/16]20彈塑性問題trorMT屈服扭矩:

Ms=WTtys=ys

rtap)1(243-3）屈服階段：（MT>MS）對于理想彈塑性材料，已經(jīng)屈服的部分材料承擔(dān)的載荷不再進(jìn)一步增加，t

tys。隨著扭矩的進(jìn)一步增大，截面上的剪應(yīng)力由外向內(nèi)逐漸進(jìn)入屈服；未屈服的彈性材料部分，剪應(yīng)力仍呈線性分布。MT=MStrtmax=tysorMTMU>MT>MStmax=tys21òò==RrysAysUddAMrprtrt22)1(3233atp-=ysR對于實心圓軸，

a=0，則有：屈服扭矩

極限扭矩

trtmax=tysorMTMU>MT>MStmax=tysorMT

MT=MUdA極限扭矩與屈服扭矩之比