因式分解拓展題及解答(必考題型)

PAGEPAGE4因式分解拓展題解板塊一：換元法例1分解因式：將看成一個(gè)字母，可利用十字相乘得原式例2分解因式：方法1：將看作一個(gè)整體，設(shè)，則原式=方法2：將看作一個(gè)整體，設(shè)，則原式=方法3：將看作一個(gè)整體，過(guò)程略.如果學(xué)生的能力到一定的程度，甚至連換元都不用，直接把看作一個(gè)整體，將原式展開(kāi)，分組分解即可，則原式.分解因式：分解因式：例3證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方．設(shè)這四個(gè)連續(xù)整數(shù)為：、、、原式若，是整數(shù)，求證：是一個(gè)完全平方數(shù).令∴上式即例4分解因式原式設(shè)，原式分解因式原式原式例5分解因式：咋一看，很不好下手，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：， 故可設(shè)，則.故原式=.分解因式：由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個(gè)，共4個(gè)地方，故采取換元法后會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，不妨設(shè)，則原式=例6分解因式：設(shè)，則原式=分解因式：為方便運(yùn)算，更加對(duì)稱起見(jiàn)，我們令板塊二：因式定理因式定理：如果時(shí)，多項(xiàng)式的值為，那么是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式.有理根：有理根的分子是常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)，分母是首項(xiàng)系數(shù)的因數(shù).例7分解因式：的因數(shù)是，，的因數(shù)是，．因此，原式的有理根只可能是，(分母為1)，．因?yàn)?，，于是是的一個(gè)根，從而是的因式，這里我們可以利用豎式除法，此時(shí)一般將被除式按未知數(shù)的降冪排列，沒(méi)有的補(bǔ)0：可得原式點(diǎn)評(píng)：觀察，如果多項(xiàng)式的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，則說(shuō)明；如果多項(xiàng)式的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和相等，則說(shuō)明.，，…在字母中任意兩字互換時(shí)，保持不變．這樣的多項(xiàng)式稱為的對(duì)稱式．輪換式：關(guān)于的多項(xiàng)式，，，，，，…在將字母輪換(即將換成，換成，換成)時(shí)，保持不變．這樣的多項(xiàng)式稱為的輪換式．顯然，關(guān)于的對(duì)稱式一定是的輪換式．但是，關(guān)于，的輪換式不一定是對(duì)稱式．例如，就不是對(duì)稱式．次數(shù)低于3的輪換式同時(shí)也是對(duì)稱式．兩個(gè)輪換式(對(duì)稱式)的和、差、積、商(假定被除式能被除式整除)仍然是輪換式(對(duì)稱式)．例11：分解因式：解析：是關(guān)于的輪換式．如果把看作關(guān)于的多項(xiàng)式，那么在時(shí)，它的值為.因此，是的因式．由于是的輪換式，可知與也是它的因式．從而它們的積⑴是⑵的因式．由于⑴、⑵都是的三次多項(xiàng)式，所以兩者至多相差一個(gè)常數(shù)因數(shù)，即有⑶現(xiàn)在我們來(lái)確定常數(shù)的值．為此，比較⑶的兩邊的系數(shù)：左邊系數(shù)為1，右邊系數(shù)為．因此，．于是思路2：利用y－z＝(y－x)－(z－x).例12分解因式：此式是關(guān)于，，的四次齊次輪換式，注意到時(shí)，原式，故是原式的一個(gè)因式.同理，，均是原式的因式，而是三次輪換式，故還應(yīng)有一個(gè)一次輪換式，設(shè)其為，故原式，展開(kāi)并比較系數(shù)可知，，故原式.思路2：利用x2－y2＝(x2－z2)+(z2－y2).家庭作業(yè)分解因式：原式要使為完全平方式，則常數(shù)的值為_(kāi)_______，則分解因式：原式設(shè)，則 原式分解因式：設(shè)，，則原式.分解因式：分解因式：用待定系數(shù)法分解：原式的有理根只可能為，但是這2個(gè)數(shù)都不能使原式的值為，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒(méi)有(有理系數(shù)的)一次因式．故或故，解得，所以事實(shí)上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況.分解因式：是關(guān)于的輪換式．它有三次因式．由于原式是的四次式，所以還應(yīng)當(dāng)有一個(gè)一次因式．原式是的四次齊次式，所以這個(gè)一次因式也是的一次齊次式，即它的常數(shù)項(xiàng)是0(否則，它的常數(shù)項(xiàng)與三次式相乘得到一個(gè)三次式)．這個(gè)一次齊次式是的輪換式，形狀應(yīng)當(dāng)是是常數(shù)．即有⑴比較兩邊的系數(shù)，得于是上面求的方法是比較系數(shù)，也可以改用另一種方法，即適當(dāng)選一組使的數(shù)代替從而定出，例如，令,,,把它代入⑴，得,即,以上兩種確定系數(shù)的方法可以結(jié)合起來(lái)使用．補(bǔ)充題【備選1】分解因式：【備選2】分解因式：設(shè)，,原式＝(u