理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)

理解數(shù)學(xué)(shùxué)理解學(xué)生理解教學(xué)人民教育出版社章建躍第一頁，共76頁。1一、課改中形成的根本(gēnběn)共識核心：以學(xué)生(xuésheng)的全面、和諧與可持續(xù)開展為本——教育中的“科學(xué)開展觀〞教學(xué)目標(biāo)——全面關(guān)注學(xué)生(xuésheng)的認(rèn)知、能力和理性精神，以學(xué)生(xuésheng)最近開展區(qū)為定向，促進學(xué)生(xuésheng)全面、和諧、可持續(xù)開展——數(shù)學(xué)育人。第二頁，共76頁。2教學(xué)要求——個性差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，但以個性差異為出發(fā)點和根底教學(xué)設(shè)計——不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓(xùn)練等，而且特別強調(diào)課堂“生成〞，預(yù)設(shè)能引發(fā)學(xué)生獨立思考、自主探究的“開放性問題〞，乃至強調(diào)“看過問題三百個，不會解題也會問〞教學(xué)方法——講授、問答、訓(xùn)練的綜合，不再是單一的講授或活動，是教師主導(dǎo)取向(qǔxiànɡ)的講授式和學(xué)生自主取向(qǔxiànɡ)的活動式的融合，強調(diào)“啟發(fā)式講授〞的重要性第三頁，共76頁。3學(xué)習(xí)方式——接受與探究的融合(rónghé)，強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性、積極性，獨立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)合教學(xué)過程——知識發(fā)生開展過程〔自然、水到渠成〕為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動過程，強調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開、深度參與〔教學(xué)的有效性〕第四頁，共76頁。4教學(xué)評價——教師根據(jù)教學(xué)進程進行教學(xué)反響、調(diào)節(jié)，學(xué)生通過自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)(xuéxí)進程，重視形成性評價——開展的眼光教學(xué)媒體——追求“必要性〞“平衡性〞“廣泛性〞“實踐性〞“有效性〞，效勞于數(shù)學(xué)概念、原理的實質(zhì)理解第五頁，共76頁。5教改只能成功不能失敗，因為人才的成長(chéngzhǎng)沒有重復(fù)時機，教育要絕對防止“折騰〞。教改必須“大膽創(chuàng)新，謹(jǐn)慎實踐〞。當(dāng)前，與教育的本質(zhì)相悖的“功利化〞現(xiàn)象還占據(jù)主導(dǎo)地位，需要我們共同努力，為教育的理想而奮斗。第六頁，共76頁。6二、當(dāng)前存在(cúnzài)的主要問題數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然〞，強加于人，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動機都有不利影響；缺乏問題意識，對學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力培養(yǎng)(péiyǎng)不利；重結(jié)果輕過程，“掐頭去尾燒中段〞，關(guān)注知識背景和應(yīng)用不夠，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程不完整；第七頁，共76頁。7重解題技能、技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，機械模仿多獨立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高；講邏輯而不講思想，關(guān)注(guānzhù)數(shù)學(xué)思想、理性精神不夠，對學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利。第八頁，共76頁。8三、提高“理解數(shù)學(xué)(shùxué)〞的水平老師理解(lǐjiě)好數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提。理解(lǐjiě)數(shù)學(xué)概念的幾個方面：從外表到本質(zhì)—把握概念的深層結(jié)構(gòu)上的進步；從抽象到具體—對抽象概念的形象描述，解讀概念關(guān)鍵詞，更多的典型、精彩的例子；第九頁，共76頁。9從孤立到系統(tǒng)—對概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認(rèn)識，有層次性、立體化的認(rèn)識；等。提高解讀概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的能力是教師(jiàoshī)專業(yè)化開展的抓手。教師(jiàoshī)培訓(xùn)的當(dāng)務(wù)之急是提高理解數(shù)學(xué)的水平，提高數(shù)學(xué)概念的教學(xué)理解水平，觀念只有落實在具體內(nèi)容中才能發(fā)揮力量。第十頁，共76頁。10例1幾個數(shù)學(xué)概念(gàiniàn)的理解如何理解誘導(dǎo)公式？推導(dǎo)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)前n項求和公式的思想方法是什么？如何理解“兩個變量的線性相關(guān)〞？第十一頁，共76頁。11四、課堂教學(xué)的高立意(lìyì)與低起點立意不高是普遍問題，許多教師的“匠氣〞太濃，課堂上題型、技巧(jìqiǎo)太多，彌漫著“功利〞，缺少思想、精神的追求，嚴(yán)重影響數(shù)學(xué)育人。第十二頁，共76頁。12數(shù)學(xué)的“育人〞功能如何表達？——挖掘數(shù)學(xué)知識蘊含的價值觀資源，在教學(xué)中將知識教學(xué)與價值觀影響融為一體。關(guān)鍵：提高思想性?！凹夹g(shù)〞：加強(jiāqiáng)“先行組織者〞的使用。第十三頁，共76頁。13例2不等式根本(gēnběn)性質(zhì)“立意〞比較以往做法：數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到“根本領(lǐng)實〞〔考察(kǎochá)兩個實數(shù)的大小，只要考察(kǎochá)它們的差〕，再由“利用比較實數(shù)大小的方法，可以推出以下不等式的性質(zhì)〞：性質(zhì)1，2，3……——證明——例題——練習(xí)、習(xí)題第十四頁，共76頁。14“高立意低起點〞的教學(xué)(jiāoxué)設(shè)計數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到“根本領(lǐng)實〞〔考察兩個實數(shù)的大小可以統(tǒng)一化歸為比較(bǐjiào)它們的差與0的大小〕；從“數(shù)及其運算〞的高度出發(fā)，以“運算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)〞為思想指導(dǎo)，以等式的根本性質(zhì)為起點，通過類比等式的根本性質(zhì)，得到不等式根本性質(zhì)的猜測；第十五頁，共76頁。15回到從“根本領(lǐng)實〞到“根本性質(zhì)〞的推理過程(guòchéng)，給出證明；引導(dǎo)學(xué)生用不同語言表述“根本性質(zhì)〞；從實例中概括根本不等式的作用——明確概括出思想方法。核心：將等式與不等式納入數(shù)及其運算的系統(tǒng)中，成為用運算律推導(dǎo)出的“性質(zhì)〞。既要講邏輯，更要講思想，加快學(xué)生領(lǐng)悟思想的進程。第十六頁，共76頁。16教學(xué)(jiāoxué)過程先行組織者：解方程要以等式的根本性質(zhì)為依據(jù)；解決不等式的問題要以不等式的根本性質(zhì)為依據(jù)。請表達等式的根本性質(zhì)。你能說說討論等式的根本性質(zhì)的思想方法嗎？類似(lèisì)的，你能猜測一下不等式的根本性質(zhì)嗎？第十七頁，共76頁。17閱讀教科書，看看還有哪些性質(zhì)沒有想到？根據(jù)“根本領(lǐng)實〞證明自己的猜測。你能總結(jié)一下等式的根本性質(zhì)和不等式的根本性質(zhì)蘊含的數(shù)學(xué)思想(sīxiǎng)方法嗎？第十八頁，共76頁。18五、提高概念的教學(xué)(jiāoxué)水平概念(gàiniàn)教學(xué)中存在的問題：概念(gàiniàn)教學(xué)走過場，常常采用“一個定義，三項注意〞的方式，在概念(gàiniàn)的背景、引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的時機，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠．有些老師不知如何教概念(gàiniàn)．第十九頁，共76頁。19教概念(gàiniàn)的意義李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧缺乏道也！以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正．否那么，學(xué)生在數(shù)學(xué)上消耗大量時間、精力，結(jié)果可能是對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人〞終將(zhōnɡjiānɡ)落空．第二十頁，共76頁。20概念(gàiniàn)教學(xué)的核心概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)(níngjié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維翻開，以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。第二十一頁，共76頁。21概念教學(xué)的根本(gēnběn)環(huán)節(jié)典型豐富的具體例證——屬性的分析、比較、綜合；概括(gàikuò)共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；下定義〔準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述〕；第二十二頁，共76頁。22概念的辨析——以實例〔正例、反例〕為載體(zàitǐ)分析關(guān)鍵詞的含義；用概念作判斷的具體事例——形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致〞——建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。第二十三頁，共76頁。23例3三角函數(shù)定義(dìngyì)的教學(xué)過程設(shè)計復(fù)習(xí)請答復(fù)(dáfù)以下問題：前面學(xué)了任意角，你能說說任意角概念與平面幾何中的角的概念有什么不同嗎？引進象限角概念有什么好處？在度量角的大小時，弧度制與角度制有什么區(qū)別？我們是怎樣簡化弧度制的度量單位的？設(shè)計意圖：從為學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念效勞的角度復(fù)習(xí)；關(guān)注的是思想方法。第二十四頁，共76頁。24先行“組織者〞：我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。例如指數(shù)函數(shù)描述了“指數(shù)爆炸〞，對數(shù)函數(shù)(duìshùhánshù)描述了“對數(shù)增長〞等。圓周運動是一種重要的運動，其中最根本的是一個質(zhì)點繞點O做勻速圓周運動，其變化規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢？“任意角的三角函數(shù)〞就是一個刻畫這種“周而復(fù)始〞的變化規(guī)律的函數(shù)模型。設(shè)計意圖：解決“學(xué)習(xí)的必要性〞問題，明確要研究的問題。第二十五頁，共76頁。25問題1對于三角函數(shù)我們并不陌生，初中學(xué)過銳角三角函數(shù)，你能說說它的自變量和對應(yīng)關(guān)系各是什么嗎？任意畫一個銳角α，你能借助三角板，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義(dìngyì)找出sinα的值嗎？設(shè)計意圖：從函數(shù)角度重新認(rèn)識銳角三角函數(shù)定義(dìngyì)，突出“與點的位置無關(guān)〞。問題2你能借助象限角的概念，用直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)嗎？設(shè)計意圖：比值“坐標(biāo)化〞。第二十六頁，共76頁。26問題3上述表達式比較復(fù)雜，你能設(shè)法將它化簡嗎？設(shè)計意圖：為“單位圓法〞作鋪墊。學(xué)生答出“取點P(x，y)使x2+y2=1〞后追問“為什么可以(kěyǐ)這樣做？〞教師講授：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點為P(x，y)，定義正弦函數(shù)為y=sinα，余弦函數(shù)為x=cosα。設(shè)計意圖：“定義〞是一種“規(guī)定〞；把精力放在定義合理性的理解上。第二十七頁，共76頁。27問題4你能說明上述定義符合函數(shù)定義的要求嗎？設(shè)計意圖：讓學(xué)生用函數(shù)的三要素說明定義的合理性，以此進一步明確三角函數(shù)的對應(yīng)法那么(nàme)、定義域和值域。例1用定義分別求自變量π/2，π，－π/3所對應(yīng)的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值。設(shè)計意圖：讓學(xué)生熟悉定義，從中概括出用定義解題的步驟。例2角α的終邊過P(1/2，－/2)，求它的三角函數(shù)值。第二十八頁，共76頁。28三角函數(shù)概念(gàiniàn)的“精致〞函數(shù)(hánshù)值的符號問題；終邊與坐標(biāo)軸重合時的三角函數(shù)(hánshù)值；終邊相同的角的同名三角函數(shù)(hánshù)值；與銳角三角函數(shù)(hánshù)的比較：因襲與擴張；從“形〞的角度看三角函數(shù)(hánshù)——三角函數(shù)(hánshù)線，聯(lián)系的觀點；終邊上任意一點的坐標(biāo)表示的三角函數(shù)(hánshù)；第二十九頁，共76頁。29把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點固定在單位(dānwèi)點A〔1，0〕，數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位(dānwèi)圓上，負(fù)半軸順時針纏繞在單位(dānwèi)圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)〔點〕t被纏繞到單位(dānwèi)圓上的點P〔cost，sint〕．第三十頁，共76頁。30課堂(kètáng)小結(jié)：〔1〕問題的提出——自然、水到渠成，思想高度——函數(shù)模型；〔2〕研究的思想方法——與銳角三角函數(shù)的因襲與擴張的關(guān)系，化歸為最簡單也是最本質(zhì)的模型，數(shù)形結(jié)合；〔3〕歸納概括概念的內(nèi)涵，明確自變量、對應(yīng)法那么、因變量；〔4〕用概念作判斷的步驟、本卷須知等。第三十一頁，共76頁。31六、什么(shénme)才是“抓根底〞我國“雙基〞的優(yōu)勢正在喪失；現(xiàn)象：〔1〕數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題型教學(xué)=刺激—反響〔記憶、模仿型學(xué)習(xí)〕；〔2〕缺少知識的發(fā)生開展過程，以訓(xùn)練代替概念教學(xué)——應(yīng)用可以促進理解(lǐjiě)，但沒有理解(lǐjiě)的應(yīng)用是盲目的；第三十二頁，共76頁。32〔3〕過分關(guān)注“題型〞及對應(yīng)(duìyìng)的技巧——技巧，雕蟲小技也，缺乏道也；技巧無法窮盡，教技巧的結(jié)果可能是“講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會〞；等。第三十三頁，共76頁。33如何(rúhé)改變？要強調(diào)知識及其蘊含的思想方法教學(xué)的重要性——無知者無能；要使學(xué)生養(yǎng)成不斷回到概念(gàiniàn)去、從根本概念(gàiniàn)出發(fā)思考問題、解決問題的習(xí)慣；解題訓(xùn)練應(yīng)針對概念(gàiniàn)的理解和應(yīng)用，而不是讓學(xué)生“對題型，套技巧〞；第三十四頁，共76頁。34加強概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路——解題的靈活性來源于概念的實質(zhì)性聯(lián)系，技巧是不可靠的。應(yīng)追求(zhuīqiú)解決問題的“根本大法〞——根本概念所蘊含的思想方法，強調(diào)思想指導(dǎo)下的操作。第三十五頁，共76頁。35例4向量加法(jiāfǎ)運算及幾何意義的教學(xué)設(shè)計先行組織者：類比數(shù)及其運算，引進一個量就要研究運算，引進一種運算就要研究運算律。位移、力的合成、速度的合成等物理原理的回憶。學(xué)生帶著問題(wèntí)看書：向量的加法法那么的關(guān)鍵詞是什么？你如何理解？第三十六頁，共76頁。36匯報對定義和三角形法那么、平行四邊形法那么的理解，其中特別要注意對“關(guān)鍵詞〞的理解，要求用自己的語言描述。向量a，b不共線，作出a+b，要求說明作法。如果向量a，b共線，如何作a+b？與有理數(shù)加法運算有什么關(guān)系(guānxì)？從三角形法那么我們有，變形有，你怎么看變形？平行四邊形法那么的代數(shù)意義是什么？第三十七頁，共76頁。37七、探究(tànjiū)式教學(xué)的天時地利人和天時：建設(shè)創(chuàng)新型社會，教育“以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點〞；地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于“探究〞——有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱(míngchēng)、規(guī)定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教學(xué)；第三十八頁，共76頁。38例5直線與平面(píngmiàn)垂直的定義先“直觀感受〞、舉例，再給出定義，并把主要精力放在對“合理性〞的認(rèn)識上，通過正、反例理解定義的關(guān)鍵詞。提示學(xué)生：用“說得清道得明〞的幾何關(guān)系〔即“直線與直線垂直〞〕來定義“無法說清〞的幾何關(guān)系〔即“直線與平面垂直〞〕是一種公理化思想，學(xué)生那么只要采用(cǎiyòng)接受式學(xué)習(xí)方式即可。第三十九頁，共76頁。39例6兩個(liǎnɡɡè)平面平行的判定問題指導(dǎo)思想：類比兩條直線平行的判定，提出(tíchū)兩個平面平行的判定的猜測，再給出證明。問題1回憶已經(jīng)得到的兩個平面平行的判定定理，你能說說得到這些判定定理的思想方法嗎？——定義法〔原始，不容易說清楚〕，化歸為線面平行〔用想未知，與平面三公理聯(lián)系等〕。第四十頁，共76頁。40問題2從前面學(xué)習(xí)線、面位置關(guān)系的判定可知，判定方法不唯一。你有沒有想過別的判定方法？問題3在研究問題時，類比、推廣、特殊化等是獲得研究成果的常用方法。例如，類比兩條直線相互平行(píngxíng)的判定，能否得到一些猜測？學(xué)生可能得到：a，b∥c，那么a∥b——α，β∥γ，那么α∥β；第四十一頁，共76頁。41a，b⊥c，那么a∥b——α，β⊥γ，那么α∥β；α，β⊥c，那么α∥β；兩條直線(zhíxiàn)與第三條直線(zhíxiàn)相交，同位角〔內(nèi)錯角〕相等，或同旁內(nèi)角互補，兩直線(zhíxiàn)平行——能否類比？第四十二頁，共76頁。42人和：師生共同營造的“探究氣氛〞，有賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)的心向〞，也有賴于教師的“探究型教學(xué)的意識〞。數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)——注意(zhùyì)使用“先行組織者〞。第四十三頁，共76頁。43八、怎樣(zěnyàng)才算“教完了〞？舍不得在概念、原理的發(fā)生開展過程上花時間(shíjiān)——“這樣能教完嗎？〞給學(xué)生吃“壓縮餅干〞：根底知識——“一個定義，三項注意〞；解題教學(xué)——“題型教學(xué)〞，解題技巧大雜燴，“一步到位〞。第四十四頁，共76頁。44問題(wèntí)在那里？不“準(zhǔn)〞——或者是沒有圍繞概念的核心，或者教錯了；不“簡〞——在細(xì)枝末節(jié)(xìzhīmòjié)上下功夫，把簡單問題復(fù)雜化了；不“精〞——讓學(xué)生在知識的外圍重復(fù)訓(xùn)練，消耗學(xué)生大量時間、精力卻達不到對知識的深入理解。第四十五頁，共76頁。45例7函數(shù)概念(gàiniàn)的“本卷須知〞集合A，B都是數(shù)集；任意性；唯一性；可以一對一、多對一，但不能一對多；y﹦f(x)是一個整體，不是f與x的乘積(chéngjī)；值域C={f(x)|x∈A}是集合B的子集；函數(shù)的三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對應(yīng)法那么唯一確定。第四十六頁，共76頁。46在不適當(dāng)?shù)臅r候、用不適當(dāng)?shù)姆椒◤娬{(diào)細(xì)節(jié)，把學(xué)生“教糊涂了〞。如何(rúhé)讓學(xué)生體會“定義域〞的重要性：抽象強調(diào)“定義域很重要〞，“解析式相同，定義域不同就是不同的函數(shù)〞沒有作用。有實際意義的具體例子最有效：例如：某商品每件5元，總價y與件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系；步行速度5km/h，步行距離y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系；等。先讓學(xué)生寫出函數(shù)，再問“為什么？〞“如何(rúhé)區(qū)別〞等。第四十七頁，共76頁。47“教完了〞應(yīng)該以學(xué)生是否理解為準(zhǔn)，以學(xué)生是否達成教學(xué)目標(biāo)為準(zhǔn)，特別是學(xué)生到達的數(shù)學(xué)雙基的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)〔注意，雙基包括由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法〕，而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容“講完〞。廣種薄收(guǎngzhòngbóshōu)是懶漢的做法。第四十八頁，共76頁。48例8函數(shù)(hánshù)概念的教學(xué)設(shè)計函數(shù)概念的教學(xué)理解：“變量說〞到“對應(yīng)說〞，引進抽象符號f(x)表示函數(shù)；較全面(quánmiàn)地學(xué)習(xí)函數(shù)的表示與性質(zhì)；強調(diào)函數(shù)是刻畫運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此強調(diào)函數(shù)的背景、思想和應(yīng)用；強調(diào)與方程、不等式的聯(lián)系，注重用函數(shù)觀點理解和解決方程、不等式問題；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，使思想方法和研究手段都上升到全新高度．第四十九頁，共76頁。49內(nèi)容(nèiróng)安排先從一般性角度研究函數(shù)概念，使學(xué)生在宏觀上了解函數(shù)的內(nèi)容和方法——先行組織者；再以根本初等函數(shù)為載體，感受建立函數(shù)模型的過程與方法，體會函數(shù)在數(shù)學(xué)(shùxué)和其他學(xué)科中的應(yīng)用，學(xué)會用函數(shù)思想解決簡單實際問題．第五十頁，共76頁。50高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)(xuéxí)特點定義抽象、符號抽象、具體函數(shù)類型多復(fù)雜性提高〔連續(xù)的、離散的〕、相關(guān)知識的聯(lián)系性增強、用更多的工具〔實數(shù)(shìshù)運算、導(dǎo)數(shù)〕討論函數(shù)性質(zhì)等．特別是，引入具有一般性的抽象符號f(x)，使學(xué)生能通過建立模型刻畫現(xiàn)實問題的數(shù)量關(guān)系，并通過討論函數(shù)的性質(zhì)而解釋現(xiàn)實問題，認(rèn)識和把握其中的規(guī)律．第五十一頁，共76頁。51教學(xué)設(shè)計(shèjì)的立意突出函數(shù)概念的本質(zhì)和建構(gòu)(jiànɡòu)過程函數(shù)是“科學(xué)的數(shù)學(xué)化〞的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)從運動的研究〔變化的量及其關(guān)系〕中引出一個根本概念——函數(shù)，或變量間的關(guān)系；變量和函數(shù)，具體變量〔時間、路程、速度、轉(zhuǎn)動角、掃過的面積等〕及其相互依賴關(guān)系〔如路程對時間的依賴關(guān)系等〕的抽象概括；函數(shù)是一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系的抽象模型；第五十二頁，共76頁。52在坐標(biāo)系中，一個量對另一個量的依賴關(guān)系可用圖像表示〔力學(xué)問題和幾何問題的關(guān)系——路程=曲邊梯形的面積〕；19世紀(jì)前函數(shù)(hánshù)概念沒有嚴(yán)格定義，所有函數(shù)(hánshù)都是代數(shù)函數(shù)(hánshù)的推廣；Dirchlet于1837年給出沿用至今的〔單值〕函數(shù)(hánshù)定義，可以沒有解析式，也可以沒有圖像〔如當(dāng)x是有理數(shù)時y=c，當(dāng)x是無理數(shù)時y=d〕；函數(shù)(hánshù)作為特殊的映射是后來的事情。第五十三頁，共76頁。53應(yīng)讓高中生理解(lǐjiě)到的函數(shù)思想：函數(shù)是描述變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型；函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；函數(shù)概念所反映的思想方法：用數(shù)量關(guān)系表示變量之間的依賴關(guān)系，并通過(tōngguò)數(shù)及其運算等研究變化規(guī)律；在y=f(x)中，對應(yīng)法那么f可以是公式、圖形、表格或別的什么；等。第五十四頁，共76頁。54搭建概括和領(lǐng)悟函數(shù)概念的“腳手架〞鋪設(shè)概括路線：以具有真實背景的實例為載體(zàitǐ)，先從“變量說〞出發(fā)，并用集合與對應(yīng)的語言講解對應(yīng)關(guān)系，再讓學(xué)生自己舉例并說明對應(yīng)關(guān)系，再讓學(xué)生概括實例的本質(zhì)而形成“對應(yīng)說〞．在函數(shù)的表示、函數(shù)的性質(zhì)中，不斷強化對函數(shù)這一特殊“對應(yīng)關(guān)系〞的認(rèn)識，強化對函數(shù)所研究的問題和思想方法的理解．第五十五頁，共76頁。55選擇和用好實例：例子在學(xué)生理解函數(shù)概念中有奠基性的“參照物〞作用，在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等各階段，都應(yīng)“用例子說話〞，為學(xué)生提供思考、探究、交流的時機，使學(xué)生在好例子的支持下開展思維，形成函數(shù)概念理解活動的強大背景支撐．例如：自由落體，路程是時間的函數(shù)；給定的物體，能量是速度的函數(shù)；電阻一定，熱量Q是電量強度I的函數(shù)；給定銳角(ruìjiǎo)A，直角三角形的面積是直角邊的函數(shù)；……。都?xì)w結(jié)為：y=1/2ax2。第五十六頁，共76頁。56強調(diào)只能用圖像、表格表示的函數(shù)例子的作用．表格、函數(shù)圖像不僅是“表示法〞的一種，從促進理解的作用看，它們使抽象的函數(shù)符號形象化，為學(xué)生提供(tígōng)了直觀的時機．例如圖像的種種形象和根本性質(zhì)使學(xué)生直觀地“看到〞、想象到函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等種種性質(zhì)。借助圖像、表格，聚焦于對應(yīng)關(guān)系的特點，更全面、深刻地領(lǐng)悟“對應(yīng)關(guān)系〞的本質(zhì)。第五十七頁，共76頁。57給予思想方法(fāngfǎ)的明確引導(dǎo)。如：變化之中保持的“不變性〞“規(guī)律性〞就是性質(zhì)．函數(shù)是描述現(xiàn)實事物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型．現(xiàn)實事物的某些變化會隨著時間的推移而有增有減、有快有慢，有時到達最大值有時處于最小值……這些現(xiàn)象反映到函數(shù)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加或減少、什么時候函數(shù)值最大、什么時候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)，知道了函數(shù)性質(zhì)也就把握了事物的變化規(guī)律。第五十八頁，共76頁。58加強建立函數(shù)模型的活動，深化函數(shù)概念理解采用“歸納式〞，在分析、歸納、概括實例共同本質(zhì)屬性的根底上，感悟函數(shù)概念及其蘊含的思想方法；函數(shù)的抽象程度(chéngdù)極高，只有設(shè)法使學(xué)生卷入其中，強化親身體驗，啟發(fā)內(nèi)心感悟，激發(fā)心理共鳴，才能真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生認(rèn)識客觀規(guī)律、解決實際問題的強大武器．第五十九頁，共76頁。59教學(xué)過程(guòchéng)的設(shè)計問題1同學(xué)們在初中已學(xué)過“函數(shù)〞，請舉幾個函數(shù)的例子．設(shè)計意圖：通過舉例回憶“變量(biànliàng)說〞．教師根據(jù)學(xué)生的例子，引導(dǎo)他們明確變量(biànliàng)、自變量(biànliàng)、函數(shù)、唯一確定、對應(yīng)等關(guān)鍵詞。教師也可以參與舉例，但讓學(xué)生判斷是否為函數(shù)，并要求說明理由．第六十頁，共76頁。60問題2〔追問〕你憑什么說自己舉的是函數(shù)？為什么？其他同學(xué)也思考一下？設(shè)計意圖：讓學(xué)生用概念解釋問題，了解(liǎojiě)他們對函數(shù)本質(zhì)的理解狀況．注意突出“兩個變量x，y〞，對于變量x的“每一個〞確定的值，變量y有“唯一〞確定的值與x對應(yīng)，“y是x的函數(shù)〞．特別要求學(xué)生指出對應(yīng)關(guān)系是什么？x取哪些數(shù)？即取值范圍，感受數(shù)集A的存在，y值的構(gòu)成情況，為引入兩個數(shù)集做準(zhǔn)備．第六十一頁，共76頁。61問題3看下面的例子(lìzi)，它們是函數(shù)嗎？為什么？例1圖1中的曲線記錄了2019年2月20日上午(shàngwǔ)9：30至下午3：00上海證交所股價指數(shù)變動的情況．這是一個函數(shù)嗎？為什么？例2下面是某運發(fā)動在一次訓(xùn)練中射擊序號與中靶環(huán)數(shù)的對應(yīng)表：序號12345678910環(huán)數(shù)8888888888環(huán)數(shù)是序號的函數(shù)嗎？改為下表呢？序號12345678910環(huán)數(shù)87896889810第六十二頁，共76頁。62追問：你能自己舉一些類似的例子嗎？設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會存在用表格(biǎogé)、圖像表示的函數(shù)。問題4你能概括一下上述實例中的對應(yīng)關(guān)系的共同特征嗎？設(shè)計意圖：讓學(xué)生獲得函數(shù)概念的內(nèi)涵要素。問題5請看書，并表達函數(shù)概念。你認(rèn)為這里的函數(shù)定義與初中的函數(shù)定義有什么聯(lián)系與區(qū)別？第六十三頁，共76頁。63例1填寫以下表格：例2函數(shù)y＝x2的對應(yīng)關(guān)系是什么？你能用一個具體背景(bèijǐng)說明這一對應(yīng)關(guān)系嗎？設(shè)計意圖：聚焦對應(yīng)關(guān)系，穩(wěn)固概念，學(xué)習(xí)用函數(shù)概念作判斷的根本操作。學(xué)生先獨立完成再師生共同講評。函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)（a＜0）二次函數(shù)（a＞0）反比例函數(shù)對應(yīng)關(guān)系定義域值域第六十四頁，共76頁。64練習(xí)1請舉出對應(yīng)關(guān)系f只能用圖像或表格表示的函數(shù)例子，并用(bìnɡyònɡ)函數(shù)定義說明你舉的例子確實是函數(shù)．練習(xí)2以下圖表示一個函數(shù)嗎？為什么？yOx第六十五頁，共76頁。65練習(xí)3以下函數(shù)中哪個與y＝x相同，為什么？設(shè)計意圖(yìtú)：進一步認(rèn)識函數(shù)概念中“三要素〞的整體性．兩函數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)三要素相同．練習(xí)2是一個反例，目的是認(rèn)識“對應(yīng)關(guān)系〞的特點．第六十六頁，共76頁。66小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對函數(shù)概念有了哪些新的認(rèn)識？還有哪些收獲？要點：“對應(yīng)說〞的概括過程；如何理解“對應(yīng)關(guān)系f〞；等．設(shè)計意圖：回憶函數(shù)概念的概括過程，體會通過歸納具體事例的共同本質(zhì)特征得出數(shù)學(xué)概念的方法；體會用函數(shù)概念描述變量之間依賴(yīlài)關(guān)系的過程與方法；體會抽象符號f：A→B的含義．第六十七頁，共76頁。67目標(biāo)檢測設(shè)計〔1〕教科書的相關(guān)習(xí)題?！?〕用盡量多的具體情境解釋函數(shù)y=ax2〔x＞0〕的對應(yīng)關(guān)系．〔3〕聯(lián)系(liánxì)自己的生活經(jīng)歷和實際問題，舉出一些函數(shù)的實例．希望包括一些只能用圖像或表格表示的函數(shù)．設(shè)計意圖：加深“對應(yīng)關(guān)系〞的理解．學(xué)生能舉出豐富的函數(shù)例子，是理解函數(shù)概念的重要標(biāo)志．第六十八頁，共76頁。68九、重結(jié)果(jiēguǒ)輕過程的危害數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識的發(fā)生開展過程(guòchéng)中?！八枷毹暿歉拍畹?/p>