第一三章基本概念平均數(shù)變異數(shù)

第一三章基本概念平均數(shù)變異數(shù)第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三第一章

基本概念、平均數(shù)、變異數(shù)學習要求

通過本次課堂的學習，使同學了解生物統(tǒng)計與試驗設(shè)計等一些常用名詞的基本概念；了解生物統(tǒng)計課程的性質(zhì)、地位和任務(wù)及在生物學領(lǐng)域科學研究中的功用。使學生理解數(shù)量性狀資料最基本的統(tǒng)計特征數(shù)（平均數(shù)、標準差和變異數(shù)）的含意及特性，掌握它們的計算方法。重點與難點重點：生物統(tǒng)計、總體、樣本、試驗誤差、準確性與精確性的概念，掌握平均數(shù)、標準差和變異數(shù)的特性及計算方法難點：如何根據(jù)本課程及專業(yè)上的特點掌握學習的要點

第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)生物統(tǒng)計與試驗設(shè)計的概念生物統(tǒng)計(Biometry)是應(yīng)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計原理來研究生物界數(shù)量變化的學科。

任務(wù)：根據(jù)這些原理和方法，能正確設(shè)計科學試驗，正確處理試驗結(jié)果，從而推導出較為客觀的結(jié)論。地位：是公共的專業(yè)基礎(chǔ)課、必修課；是當代農(nóng)業(yè)科學研究和生產(chǎn)上必不可少的工具。

1、介紹生物統(tǒng)計與試驗設(shè)計的基本概念。2、闡明生物統(tǒng)計與試驗設(shè)計之間的關(guān)系以及在生產(chǎn)、科研工作中的作用。功用：試驗設(shè)計(Experimetaldesign)是指在試驗工作進行前，應(yīng)用生物統(tǒng)計原理，來制訂合理的試驗方案，包括抽樣設(shè)計的最優(yōu)配置，以及正確選擇試驗動物等，使我們可以利用較少的人力、物力和時間，獲得較多的可靠的信息來進行統(tǒng)計分析，從而得出科學的結(jié)論。第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三常用名詞基本概念

1、總體(population)是指被研究對象的全體，是由所有性質(zhì)相似的個體所組成的集團。2、樣本(sample)由總體抽出若干個體所組成的單位稱為樣本。3、參數(shù)(Parameter)由總體計算的數(shù)稱為參數(shù)。4、統(tǒng)計量(statistics)由樣本計算的數(shù)稱為統(tǒng)計量。5、系統(tǒng)誤差(systematicerror)是由于試驗條件所帶來的差異。6、隨機誤差(randomerror)是指由偶然因素引起的差異。7、錯誤(error)是指由于工作上的粗心大意、或精神上的疲勞所造成的差錯。8、準確性(accuracy)觀察值與真值接近的程度稱為準確性。9、精確性(precision)同一性狀重復觀察各觀察值彼此接近的程度稱為精確性。10、隨機抽樣法(randomsampling)是指總體內(nèi)每一個體，抽取作樣本的機會是均等的。

例析常用名詞，重點掌握總體、樣本、試驗誤差、準確性與精確性的概念，理解由樣本推論總體這一思維邏輯是生物統(tǒng)計學的基本指導思維。

重要性：一切研究工作中，試驗設(shè)計是研究工作成敗的關(guān)鍵。關(guān)聯(lián)性：試驗設(shè)計需要豐富的生物統(tǒng)計知識作基礎(chǔ)，大量的試驗數(shù)據(jù)又為統(tǒng)計方法提了豐富可靠的資料。第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)

平均數(shù)

一、平均數(shù)的意義

意義：作為資料的代表，用來指出資料中各變數(shù)的集中性，并用來與另一資料相比較。

種類：

1、算術(shù)平均數(shù)一個資料中，各變數(shù)的總和被變數(shù)個數(shù)除所得的商數(shù)，稱為算術(shù)平均數(shù)。在統(tǒng)計學中，它是最常用的一種，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，其符號用表示。

2、中位數(shù)將資料內(nèi)所有變數(shù)從小到大依次排列，位于中間那個變數(shù)，稱為中位數(shù)，當變數(shù)個數(shù)是偶數(shù)時，則以中間兩個變數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時多用中位數(shù)，這時中位數(shù)代表性比平均數(shù)為優(yōu)，其符號用Md表示。若資料已分組，制成次數(shù)分布表，則可用下式求得Md。（1—1）式中：L為中位數(shù)所在組的下限；i為組距；f為中位數(shù)所在組的次數(shù)；n為總次數(shù)；c為小于中位數(shù)所在組的累加次數(shù)。例1．某奶牛場68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間整理成次數(shù)分布表如下，求中位數(shù)。第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三3、眾數(shù)在資料中某一個變數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，即稱該變數(shù)為眾數(shù)。連續(xù)性變數(shù)資料確定眾數(shù)需要制成次數(shù)分布表，在表內(nèi)次數(shù)出現(xiàn)最多一組的組中值，即為眾數(shù)。如羊毛纖維檢驗時，測定羊毛毛叢長度，應(yīng)用眾數(shù)計算。

表1—168頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間次數(shù)分布表間隔時間（d）頭數(shù)（f）累加頭數(shù)12～2627～4142～5657～7172～8687～101102～116≥11712132016122213163652646668由表1—1可見：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加次數(shù)為36所對應(yīng)“57～71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3—1）得：即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時間的中位數(shù)為70.5d。（1—2）4、幾何平均數(shù)

如有n個變數(shù)，其相乘積開n次方所得的方根，即為幾何平均數(shù)。生物群體的數(shù)量變化呈幾何級數(shù)的資料，應(yīng)用幾何平均數(shù)，其符號用G表示。第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三幾何平均數(shù)在畜牧生產(chǎn)中可用來求家畜的平均增殖率。例2．某羊場各年度的存欄數(shù)，見表1—2。試求其年平均增長率。

表1—2某羊場各年度的存欄數(shù)與增長率（1—3）代入公式（1—3）：

年度存欄數(shù)（只）增長率（x）lgx1997199819992000140200280350—0.4290.4000.250—－0.368－0.398－0.602∑lgx=－1.368即年平均增長率為0.3501或35.01%。又如，在池內(nèi)作藍藻培育試驗，水體中藍藻的初始濃度為281.4，24小時后濃度為540.5，求試驗開始后12小時的濃度。設(shè)每小時的增長率為r，初始生物量為N0，則在時刻t的生物量為

Nt=N0rt

第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三于是有

N24=N0r24，r24=N24/N0

從而得上式表明12小時后的初始濃度與24小時后濃度的幾何平均數(shù)，將試驗數(shù)據(jù)代入

獸醫(yī)學上，如食物中毒的潛伏期、抗體的滴度及血清的效價等資料常用到幾何平均數(shù)。

關(guān)于速度一類資料，如反映畜群不同階段的平均增長率等，常用調(diào)和平均數(shù)。例3．仔豬斷奶后肥育增重試驗，在原體重基礎(chǔ)上凈增150kg時結(jié)束試驗。由于各期增重速度不同，求全期每天平均增重須用調(diào)和平均數(shù)計算。經(jīng)測定第一個50kg的每天增重速度為0.3kg，第二個50kg的每天增重速度為0.4kg，第三個50kg的每天增重速度為0.6kg。代入公式（1—4）：

5、調(diào)和平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)的定義為各變數(shù)倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù)。其符號用H表示。

第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三平均增重為每天0.4kg，因此豬體重凈增到150kg時所需要天數(shù)為150÷0.4=375天。在第一個50kg時，飼養(yǎng)天數(shù)為50/0.3天；第二個50kg時，飼養(yǎng)天數(shù)為50/0.4天；第三個50kg時，飼養(yǎng)天數(shù)為50／0.6天，因此豬體重凈增到150kg時。所需天數(shù)為（50／0.3）＋（50／0.4）＋（50／0.6）=375天。用調(diào)和平均數(shù)求出的平均增重與實際相符。用算術(shù)平均數(shù)求出的平均增重為（0.3＋0.4＋0.6）／3＝0.433kg／每天，如豬體重凈增到150kg時則需346.5天，顯然與事實不符。同一個資料，求出的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，而幾何平均數(shù)又大于調(diào)和平均數(shù)。上述五種平均數(shù)中，算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)是最常用的平均數(shù)。

二、平均數(shù)的計算方法平均數(shù)的計算方法可根據(jù)樣本的大小和分組情況而采用不同的計算方法。1、直接法

樣本一般在30個變數(shù)以下未經(jīng)分組的資料可用此法計算平均數(shù)。設(shè)有一個含n個變數(shù)的小樣本，用x代表任何一個變數(shù)，則第一個變數(shù)至n個變數(shù)可用x1、x2、x3……xn表示。平均數(shù)用表示，可用下列公式計算：

第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三因此公式可簡寫成：=∑x /n（1—5）上式中，x為變數(shù)，∑x表示從第一個變數(shù)xl一直加到第n個變數(shù)xn，n為變數(shù)的個數(shù)。例4．某品種雞一年中各月產(chǎn)蛋量記錄：18、20、21、22、23、23、24、25、25、25、26、26，求一年當中月平均產(chǎn)蛋數(shù)。∑x＝18+20+21+22+23+23+24+25+25+25+26+26=278代入公式（1—5）：=∑x/n=178/12=13.17（枚）例5．兩個基因頻率不同的群體混合，當代的基因頻率是這兩個群體的基因頻率以其各自群體大小為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)。譬如一個有1000個個體的群體，某一基因的頻率為0.6，另一個400個個體的群體，同一基因的頻率為0.3，這兩個群體混合在一起，整個混合群體的這個基因的頻率為：（0.6×1000+0.3×400）/1400=0.51312、加權(quán)法

如變數(shù)x1、x2、x3……xn，其比重占得大的對平均數(shù)的影響大，比重占得小的對平均數(shù)的影響小。因此，不能平等地來看待這些變數(shù)，所以用一種權(quán)衡輕重的方法，計算時先將各個變數(shù)x乘上它自己的權(quán)數(shù)，再經(jīng)過總和后除以權(quán)數(shù)的總和；這就稱之為加權(quán)平均數(shù)。

第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三如在分組資料中，以組中值代替每組內(nèi)的變數(shù)，以“f”表示每組內(nèi)變數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，次數(shù)f表示變數(shù)x在整個資料中所占的比重，亦可稱為權(quán)數(shù)，這就可采用加權(quán)法求平均數(shù)。計算時，將各組的組中值分別乘以該組的次數(shù)，乘積相加再除以總次數(shù)，就可得出平均數(shù)，其公式為：=∑fx/n（1—6）例6．從200頭大白母豬的仔豬一月窩重的次數(shù)分布中，求加權(quán)平均數(shù)。表1—3200頭大白母豬的仔豬一月窩重的次數(shù)分布表組別組中值(x)次數(shù)(f)fxfx28—16—24—32—40—48—56—64—72—80—88—96—104—112—1220283644526068768492100108116469101317263528211684348120252360572884156023802128176414728004323485762400705612960251684596893600161840161728148176135424800004665640368總和20013120961920第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三2、樣本各變數(shù)與平均數(shù)的差的平方和比各個變數(shù)與其他數(shù)的差的平方和為小，即離均差的平方和為最小。由于離均差平方和為最小，所以平均數(shù)與各變數(shù)是最接近的一個數(shù)值。因此，它能代表這個樣本的集中趨勢，這一特性，證明如下：a為任何數(shù)值，可能比大或比小，但不等于，用算式表示：

a=±△△（讀delta）表示與a的差數(shù)?！?x—a)2=∑(x—±△)2=∑[(x—)±△]2=∑(x—)2±2△∑(x—)+n△2已知∑(x)=0，由此2△∑(x－)亦等于零。移項∑(x－)2=∑(x－a)2－n(－a)2∵n(－a)2＞0∴∑(x－)2＜∑(x－a)2代入公式（1—6）：=∑fx/n=13120/200=65.60（kg）三、平均數(shù)的特性1、樣本各變數(shù)與平均數(shù)的差之和等于零。即離均差總和為零?！?xi－)=0，可證明如下：第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)

標準差

一、標準差的意義意義：用來指出資料中各變數(shù)的變異程度(離散性)，并用來衡量樣本平均數(shù)的代表性。若各個變數(shù)相同沒有變異，則平均數(shù)完全可以代表整個樣本；如各變異數(shù)間變異較大，則平均數(shù)代表性就小。為了正確地評定樣本的代表性，就有必要度量其變異程度。因此，單靠平均數(shù)不能使我們了解樣本中各個變數(shù)間的變異程度和平均數(shù)作為整個樣本的代表程度。因為有時兩個樣本的兩個平均數(shù)可能相同，但這兩個樣本所包含的變數(shù)其變異程度可能是不相同的。例7．有甲和乙兩個豬種，經(jīng)分別測定10頭母豬的產(chǎn)仔數(shù)，其結(jié)果如下：表1—4甲、乙兩品種母獵的產(chǎn)仔數(shù)

豬號產(chǎn)仔數(shù)甲品種乙品種1234567891084161222176146514811911121014138總和110110平均產(chǎn)仔數(shù)1111第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三由上表看出，甲和乙兩品種的平均產(chǎn)仔數(shù)是相同的，都是11頭，看不出差異情況，似乎沒有優(yōu)劣之分。但進一步研究，可知兩個樣本的變異程度并不相同。如甲品種產(chǎn)仔數(shù)最少的為4頭，最多的為22頭。全距是18；而乙品種產(chǎn)仔數(shù)最少的為8頭，最多的為14頭，全距是6。實際上甲品種產(chǎn)仔數(shù)的變異程度大于乙品種，因此僅有平均數(shù)是不夠的。由于兩個樣本的變異程度不同反映出所得的平均數(shù)代表性也不同。因此，研究生物的性狀和特性時，除計算平均數(shù)之外還應(yīng)測定其變異程度。測定樣本的變異程度最簡單的方法，是應(yīng)用全距來表示。全距僅由兩個極端數(shù)差的大小來衡量，它不能代表樣本各變數(shù)間的變異程度。目前廣泛被應(yīng)用的是以標準差來度量樣本內(nèi)各個變數(shù)的變異程度和表明平均數(shù)的代表情況。應(yīng)用標準差表示樣本的變異程度比全距要好得多，因它考慮了每個變數(shù)與平均數(shù)的離差。每個變數(shù)與平均數(shù)相差愈小，則樣本變異程度小，反之則愈大。如每個變數(shù)與平均數(shù)之差為零，這時表示每個變數(shù)與平均數(shù)沒有差異。所以標準差是從各變數(shù)與平均數(shù)差的大小來觀察變異程度的一個統(tǒng)計量。二、標準差的計算方法測定某一樣本的變異程度時，先以每個變數(shù)與其平均數(shù)相減求出離均差。但由于離均差之和等于零，故不能直接算出離均差的平均數(shù)。為了合理地算出平均差異，可利用離均差平方的辦法來消除正負號。離均差平方相加所得的總和，稱為平方和，常用符號SS表示。然后求平方和的平均數(shù)，第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三稱為樣本方差或均方，以消除變數(shù)個數(shù)多少的影響。由于各個離均差經(jīng)過平方使原來度量的單位都變?yōu)槠椒絾挝?，所以最后還需開平方，使之還原。用這種方法表示數(shù)據(jù)的變異程度，在統(tǒng)計學中稱為標準差。通常用符號S表示。標準差公式來源：離均差=(x)離均差之和＝∑(x)=0離均差平方和SS=∑(x)2

樣本均方樣本標準差

總體方差

總體標準差

其中μ為總體平均數(shù)，μ=∑x/N，N為總體中所包含的變數(shù)的個數(shù)。第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三1、未分組資料的計算方法未分組資料，一般指小樣本而言，其公式如下：（1—7）公式中，n－1為自由度，n為樣本含量，小樣本應(yīng)用自由度計算標準差的目的，在于糾正由于樣本小而發(fā)生的取樣誤差影響。如一個樣本含有n個變數(shù)，從理論上說，n個變數(shù)都同樣用以計算標準差，n個變數(shù)與相減有n個離均差。表面上雖有n個比較，但實質(zhì)上僅有n－1個可以自由變動，最后一個離均差受到∑(x)=0這個條件的限制。所以不能自由。例如，有5個變數(shù)，其4個離均差為－2、－1、1、2，則第5個離均差必等于0，如4個離均差為－1、0、1、2時，則第5個離均差必等于－2，這樣才能使離均差的總和等于0。這5個離均差中，因受離均差之和等于0的限制，所以只有4個能自由變動。這時的自由度就是n－1。自由度等于樣本變數(shù)的總個數(shù)減去計算過程中使用的條件數(shù)。在計算標準差時，條件就是一個，即∑(x)=0，故自由度為n－1。如計算樣本某一個統(tǒng)計數(shù)應(yīng)用2個條件，其自由度則為n－2，應(yīng)用k個條件，則自由度為n－k。小樣本常用自由度來計算標準差或其他統(tǒng)計數(shù)。因小樣本的全距較群體為小，若為大樣本當與群體較接近時，可不用自由度，直接用n亦可。自由度的符號以“df”表示。

標準差是測定離中性的統(tǒng)計量，因此用原數(shù)據(jù)的單位表示。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的多少，標準差的計算方法有以下兩種。例8．計算10頭考力代綿羊產(chǎn)毛量的標準差。

第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三表1—510頭考力代綿羊產(chǎn)毛量的資料單位：kg剪毛量（x）(x)(x)2x24.54.55.05.05.55.55.56.06.06.5-0.9-0.9-0.4-0.40.10.10.10.60.61.10.810.810.160.160.010.010.010.360.361.2120.2520.2525.0025.0030.2530.2530.2536.0036.0042.25∑x=54∑(x)=0∑(x)2=3.9∑x2=295.5將表1—5中，有關(guān)總和數(shù)值代入公式中：

第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三標準差公式中∑(x)2，因使用函數(shù)型電子計算器計算不方便，現(xiàn)在一般常用下列公式。公式推導：因：

2、分組資料的計算方法

當數(shù)據(jù)很大時，一般超過30個變數(shù)以上的大樣本，須先分組制成次數(shù)分布表，然后計算標準差。分組資料計算標準差方法采用加權(quán)法，即：次數(shù)分布表中各組的組中值與其平均數(shù)的離差再平方，乘上次數(shù)，總和后被n－1除，再開方，即得標準差，其公式：

第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三（1—8）

因：

上式中，f為各組次數(shù)，x為各組的組中值，根據(jù)公式推導，可將公式3—8化簡為：

（1—9）

例9．用表1—3，200頭大白母豬的仔豬一月窩重的資料計算標準差將表1—3中各項總和代入公式（1—9）中：

用以上方法算出標準差后，可以測定樣本內(nèi)變數(shù)的分布情況。當標準差小，則說明樣本內(nèi)變數(shù)的分布集中于平均數(shù)兩側(cè)；如標準差大，則說明變數(shù)的分布愈分散。因此，標準差的大小可以衡量樣本平均數(shù)的代表性，當標準差小，則說明平均數(shù)的代表性強，而標準差大，說明平均數(shù)的代表性弱。

第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三三、標準差的特性1、標準差的大小，受每個變數(shù)值的影響，如變數(shù)與變數(shù)間變異大，其離均差亦大，用此求得的標準差必然也大，反之則小。2、計算標準差時，在各變數(shù)上加或減一個常數(shù)，