【函數的單調性和奇偶性-例題和練習-高中數學】

WORD完整版----可編輯----教育資料分享函數的單調性和奇偶性經典例題透析類型一、函數的單調性的證明f(x)=1=在(0，+8)上的單倜性.yx證明：在(0,+8)上任取x1、x2(x1Wx2),令4x=x2-x1>0?/x1>0,x2>0,.\y'x>0，xx>0，x-x<0,??上式<0,?'?4產f(x2)-f(x1)<0??f(x)=]在(0，+8)上遞減.弋x總結升華：[1]證明函數單調性要求使用定義；[2]如何比較兩個量的大?。?作差)[3]如何判斷一個式子的符號？(對差適當變形)舉一反三：f(x)=x+1在區(qū)間(0,1]【變式1】用定義證明函數 笈 上是減函數.思路點撥：本題考查對單調性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調性的唯一途徑證明：設x1,x2是區(qū)間色”上的任意實數，且x產x2,貝U其引)一￡(叼)-町+'-(町+—)V0<x產x2W1???x1-x2<0,0Vx1x2<1- <00<x1x2<1 向町----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享（叼—叼）（1—〕＞0故X產X2時有"器,即“f2）＞0：,f（x）=x+1在區(qū)間（0,1]X 上是減函數.總結升華：可以用同樣的方法證明此函數在口,*0）上是增函數；在今后的學習中經常會碰到這個函數，在此可以嘗試利用函數的單調性大致給出函數的圖象類型二、求函數的單調區(qū)間2.判斷下列函數的單調區(qū)間;⑴產X⑴產X2-31X1+2； (2)=|1|+蝦⑵解：（1）由圖象對稱性，畫出草圖曾，在口7上遞減3_,+oo解：（1）由圖象對稱性，畫出草圖曾，在口7上遞減3_,+oo在「上遞增.（2）???圖象為-2^+3 <1)1 (1<<2)2x-3 2)???f（X）在（匈]上遞減，在2地上遞增.舉一反三：【變式1】求下列函數的單調區(qū)間：----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享11^=7-7; ^=—⑴產1%+11；(2)穴一1 ⑶ ].X+l(z>-1)；y=v解：(1)〔一況一1國《T)畫出函數圖象，??.函數的減區(qū)間為(-03'一」，函數的增區(qū)間為(-1,+8)；-co,—LJI—,+M,設u=2芯-1,y=—(2)定義域為[2，,1y--其中u=2%-1為增函數， □在(-8,0)與(0,+8)為減函數,j nm 1y= -tt-co1—,—n+oo則之芯TI 2八2 )上為減函數；1

y=--(3)定義域為(-8,0)U(0,+8), 笈”單調增區(qū)間為：(-8,0),單調減區(qū)間為(0,+).總結升華：[1]數形結合利用圖象判斷函數單調區(qū)間；⑵關于二次函數單調區(qū)間問題，單調性變化的點與對稱軸相關[3]復合函數的單調性分析：先求函數的定義域；再將復合函數分解為內、外層函數；利用已知函數的單調性解決.關注：內外層函數同向變化=復合函數為增函數；內外層函數反向變化=復合函數為減函數.類型三、單調性的應用(比較函數值的大小，求函數值域，求函數的最大值或最小值).已知函數f(%)在(0,+8)上是減函數，比較f(a2-a+1)與 的大小.1 :：解： 344-a+1)<又f(%)在(0,+8)上是減函數，則.求下列函數值域：2^-1y= -(1)元+2； 1)%￡[5,10]；2)%￡(-3,-2)U(-2,1)；(2)產%2-2%+3； 1)%￡[-1,1]；2)%￡[-2,2].思路點撥：(1)可應用函數的單調性；(2)數形結合.----完整版學習資料分享----WORD完整版----可編輯----教育資料分享到，如圖解：=上左移工 到，如圖解：=上左移工 2個單位，再上移2個單位得Q1Q1)f(X)在［5，10］上單增，ye(丁(4,+03)即(7,+co)2) 3(2)畫出草圖1)y引f(1)，f(1)］即［2,6］；2/E"(DJd)唧211］2)舉一反三:fW=【變式fW=【變式1】已知函數1+3k1-⑴判斷函數f(X)的單調區(qū)間；(2)當x￡[1,引時，求函數f(X)的值域.思路點撥：這個函數直接觀察恐怕不容易看出它的單調區(qū)間，但對解析式稍作處理，即可得“幻二到我們相對熟悉的形式“幻二到我們相對熟悉的形式.第二問即是利用單調性求函數值域.----完整版學習資料分享----WORD完整版----可編輯----教育資料分享…1+為一卜五+1)+2 1 2II,KJ= =—: : =-1- 解：⑴1一五1一3x 3z-l--f⑶在(功;) ga3上單調遞增，在3 上單調遞增；口,3］口』.)故函數f(x)在［1,引上單調遞增??.x=1時f(x)有最小值，f(1)=-2x=3時f(x)有最大值產,-，］???x引1,引時f(x)的值域為 $J」)5.已知二次函數f(x)=x2-(4-1)x+5在區(qū)間2 上是增函數，求：(1)實數a的取值范圍;(2)f(2)的取值范圍.a-1x= 解：(1)???對稱軸 2是決定f(%)單調性的關鍵，聯(lián)系圖象可知只需2 2 ；(2)Vf(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又:aW2,；?-2a三-4.??f(2)=-2a+11三-4+11=7--可2)三［工也)類型四、判斷函數的奇偶性一⑺二七+1)(1)1一⑺二七+1)(1)1-工1+兀(2)(3)f(x)=x(3)f(x)=x2-41x1+3-x1+x{x>0)x3+ <0)(4)f(x)=1x+31-1x-31丁值j 上+2H八玻二1國⑶-g(一切5三的⑺ 上思路點撥：根據函數的奇偶性的定義進行判斷.----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享解：(1)???f(%)的定義域為('IL不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數;(2)??4-1三0,；.f(x)定義域不關于原點對稱，??.f(x)為非奇非偶函數;(3)對任意x￡R,都有一x￡R，且f(-x)=x2—41xl+3=f(x)，則f(x)=x2—41x1+3為偶函數；(4)Vx￡R,f(—x)=|—x+3l—|—x—3l=lx—3l—lx+3l=—f(x),；.f(x)為奇函數;1-x3>0-1<11-x3>0-1<1Kw。且區(qū)豐-4耳式！Q)u(Q,l■戈 X ，??.f(x)為奇函數;(6)Vx￡R,f(x)=-xlxl+x/.f(—x)=—(-x)l—xl+(—x)=xlxl—x=—f(x),；.f(x)為奇函數;f(.-^=[煎-幻-磯Y-初)=、[鼠-元)-g⑴]=-/⑶,，f(x)為奇函數.舉一反三：【變式1】判斷下列函數的奇偶性：(1),仁)=22十班； (2)f(x)=lx+1l—lx—1l； (3)f(x)=x2+x+1；x3+2x-1(x<0)f(k)=0 (z=0)L .思路點撥：利用函數奇偶性的定義進行判斷.癡小其-法+而3=-0+&)=-的)=f(切=2笈+次為奇函數解：(1) “(2)f(-x)=l—x+1l—l—x—1l=—(lx+1l—lx—1l)=—f(x) f(x)為奇函數；(3)f(—x)=(—x)2+(—x)+1=x2—x+1???f(-x)W-f(x)且f(—x)Wf(x)，f(x)為非奇非偶函數；(4)任取x>0則卜x<0,Af(—x)=(—x)2+2(—x)—1=x2—2x—1=—(—x2+2x+1)=—f(x)任取x<0,則-x>0f(—x)=—(—x)2+2(—x)+1=-x2—2x+1=—(x2+2x-1)=—f(x)x=0時，f(0)=—f(0).??x￡R時，f(-x)=—f(x).\f(x)為奇函數.舉一反三：【變式2】已知f(x),g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數，f(x)?g(x)為偶函數.證明：設F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)?g(x)則F(—x)=f(—x)+g(—x)=—f(x)—g(x)=—[f(x)+g(x)]=—F(x)G(—x)=f(—x)?g(—x)=—f(x)?[—g(x)]=f(x)?g(x)=G(x)Af(x)+g(x)為奇函數，f(x)?g(x)為偶函數.----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享類型五、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)7.已知f(x)=X5+ax3-b%-8,且f(-2)=10,求f(2).解：法一：?.?f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10.??8a-2b=-50.\f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數???g(-2)=-g(2)???f(-2)+8=-f(2)-8.??f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8.f(x)是定義在R上的奇函數，且當x<0時，f(x)=x2-x，求當x三0時，f(x)的解析式，并畫出函數圖象.解：???奇函數圖象關于原點對稱，.x>0時，-尸(-x)2-(-x)f-z3-xz>0㈤T2 .6設定義在［-3,3］上的偶函數f(x面0,即y=6設定義在［-3,3］上的偶函數f(x面0,引上是單調遞增，當f(a-1)<f(a)時，求a的取值范圍.解:*Zf(a-1)<f(a).f(la-1l)<f(laI)解:-2a+1<0「2力工4-3<<3而-2a+1<0「2力工4-3<<3-3 <3類型六、綜合問題［0,+co''i▼10.定義在R上的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區(qū)間L '的圖象與f(x)的圖象重合，設a>b>0,給出下列不等式，其中成立的是 .①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)； ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)； ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.----完整版學習資料分享----WORD完整版----可編輯----教育資料分享11.求下列函數的值域:(1/=11.求下列函數的值域:(1/=M+為+8(2)"4i+G-2⑶y=+口思路點撥：(1)中函數為二次函數開方，可先求出二次函數值域；(2)由單調性求值域，此題也可換元解決；(3)單調性無法確定，經換元后將之轉化為熟悉二次函數情形，問題得到解決，需注意此時t范圍.解：(1戶小才十9/3飛?！⌒?.。，在1尸十9“一儂3］；「3元-1「3元-1之口…(2) 3經觀察知，2ZZ 3，1Q-D1Q-DJl-2H=^>0：,y= ⑶令 2◎.已知函數f(%)=%2-2ax+a2-1.⑴若函數f(x)在區(qū)間［0，2］上是單調的，求實數a的取值范圍；(2)當x￡［-1,1］時，求函數f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數尸g(a)的圖象.解：(1)：f(x)=(x-a)2-1???aW0或a三2(2)1°當a<-1時，如圖1,g(a)=f(-1)=a2+2a卻卻2°當-1WaW1時，如圖2,g(a)=f(a)=-13°當a>1時，如圖3,g(a)=f(1)=a2-2a----完整版學習資料分享----.已知函數f(x)在定義域(0,+8)上為增函數，f(2)=1,且定義域上任意％、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(%-2)W3.解：令x=2,y=2,；?f(2X2)=f(2)+f(2)=2.\f(4)=2再令％=4,y=2,；?f(4X2)=f(4)+f(2)=2+1=3Af(8)=3.??f(x)+f(x-2)W3可轉化為：f[%(X-2)]Wf(8)忒玉-2)<8T>0r-2>00^ 了⑺二 在(0,+3).判斷函數 上的單調性，并證明.證明：任取0<x1Vx2，[j][ x-x二,(11)-/(勺)=九+--々+—=Si一勺)一」--*/0<x1<x2，，xJx2<0，x1,x2>0(1)當知西時0<x1,x2<1,.二x1,x2-1<0???f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享二/⑴在(。,1]上是減函數.、r, rrX]./:1nxi?三一1>0(2)當％1,%產(1,+8)時，12 ,工/⑴=x+2在(1+ro)X 上是增函數.難點：％1?12-1的符號的確定，如何分段.15.設a為實數，函數f(%)=%2+1%-a1+1,%￡R,試討論f(%)的奇偶性，并求f(%)的最小值.解：當a=0時，f(%)=%2+1%1+1,此時函數為偶函數;當aW0時，f(%)=%2+1%-a1+1,為非奇非偶函數.(1)當%三a時，1 ■ 1匚；金工--時，函知㈤在卜,十期上的最小值為/(■-)=--%2 2 4⑶.且2厘>二時，函數/⑴在［@杷0)⑵ 2 上單調遞增，：./〔X)在1厘,+oo),,,口，公，上的最小值為f(a)=a2+1.3 1. 3f(x)=x2-x+a+1=(x--)口+1+—(2)當%<a時， 之4厘式)時，函數穴工)在(~0厘式)時，函數穴工)在(~0□，口[1] 2上單調遞減，：.」⑶在'上的最小值為f(a)=a2+1a>a>1時，了㈤在（ga⑵2/(-)=-上的最小值為 2 4TOC\o"1-5"\h\z1 3 I 7厘工一工時，以?人二彳一巴值二同時，/W +綜上： 2 42 4----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享4J時，￡_■ >L_b.學習成果測評基礎達標一、選擇題.下面說法正確的選項()A.函數的單調區(qū)間就是函數的定義域B.函數的多個單調增區(qū)間的并集也是其單調增區(qū)間C.具有奇偶性的函數的定義域定關于原點對稱D.關于原點對稱的圖象一定是奇函數的圖象.在區(qū)間(一電口)上為增函數的是()A.B.——+21A.B.——+21-xC.y=-x-2x-1.已知函數洌施(班"-I跳+12)為偶函數，則溜的值是()A.1B.2C.*D.44.若偶函數/。，在上是增函數，則下列關系式中成立的是4.A.A.止!)<〃7<八2)C..如果奇函數,5)在區(qū)間［3?上是增函數且最大值為5,那么/⑴在區(qū)間卜工-3］上是()A.增函數且最小值是一5 B.增函數且最大值是一5C.減函數且最大值是一5 D.減函數且最小值是一5.設/熾)是定義在應上的一個函數，則函數'(—"),在立上一定是()A.奇函數 B.偶函數C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數.----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享.下列函數中，在區(qū)間（口'1）上是增函數的是（）1，二一C. 工.函數f(x)是定義在［-6,6］上的偶函數，且在［-6,0］上是減函數，則()A.f(3)+f(4)>0 B.f(-3)-f(2)<0 C.f(-2)+f(-5)<0 D.f(4)-f(-1)>0二、填空題1.2.3.如右圖，則不等式/6）＜C）的解是函數卜=1.2.3.如右圖，則不等式/6）＜C）的解是函數卜=2工+”+1的值域是51已知天*［?？冢瑒t函數叱-J0的值域是4.若函數了⑴=J2）-+a+34.5.函數了（可在R上為奇函數，且產（冷=質+1小＞口,則當4c0,5.三、解答題_1t.判斷一次函數》"五+'反比例函數 工，二次函數尸=歌+攝+二的單調性..已知函數了"）的定義域為（T'l）,且同時滿足下列條件：（1）,（R是奇函數；（2）/（為在定義域上單調遞減；（3）"一切十」（i）父a求厘的取值范圍.3.利用函數的單調性求函數+”的值域;43.利用函數的單調性求函數+”的值域;4.已知函數加W+2.+2'T—5,$當厘=—1時，求函數的最大值和最小值;----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享②求實數厘的取值范圍，使/= 在區(qū)間卜5,可上是單調函數.能力提升一、選擇題1.下列判斷正確的是（）A.函數x2-2x元-2A.函數x2-2x元-2是奇函數B./⑺二口-工）函數是偶函數C.函數/㈤二工+我C.函數/㈤二工+我T是非奇非偶函數D.函數,（"二1既是奇函數又是偶函數A.北十物，（工）二4/一收一回五［5刀］右函數『i』 在」（-00,判上是單調函數r[40,64]BA.北十物，（工）二4/一收一回五［5刀］右函數『i』 在」（-00,判上是單調函數r[40,64]B.C.(-oo,4U]LJ[54,+oo)D.64,+oo)A.C.展4OD）的值域為()B/D.L則亡的取值范圍是（）.已知函數了（'）="+2（"-1）1+2在區(qū)間（-8'1上是減函數，則實數厘的取值范圍是（）C.A.白工一C..下列四個命題：（1）函數,8）在忑二°時是增函數，也是增函數，所以,（用是增函數；（2）若函數，⑴.奴+人+2與；Y軸沒有交點，則扭且以＞口；⑶、_工_2國—3的遞增區(qū)間為『W；（4）V=1+工和v二和十好1表示相等函數.其中正確命題的個數是（）A.0 B.1 C.2D.36.定義在R上的偶函數,（工），滿足y6+1）"—/（工），且在區(qū)間LI口上為遞增，則（）----完整版學習資料分享----WORD完整版----可編輯----教育資料分享A不@<*曷A不@<*曷70.C1/⑶Q⑵*①*2）7輅）＜/函）BD八戊）工/⑵二/⑶二、填空題.函數/（*='一慟的單調遞減區(qū)間是 .口.已知定義在立上的奇函數/S）,當士:0時，*功+EI-1,那么無＜0時，,⑴二/⑴二—； ；[-1l] "Q.若函數工十以十1在L'」上是奇函數，則JIR的解析式為..奇函數/缶）在區(qū)間苴力上是增函數，在區(qū)間L上的最大值為8,最小值為1,貝9㈠）+…..若函數/⑴=可—殳+2””在立上是減函數，則｛的取值范圍為.三、解答題.判斷下列函數的奇偶性'一|工+2卜2 /熾）=口心卜6「2]*2,6]（2）.已知函數[二/（制的定義域為衣，且對任意“①匕尺，都有盼=jg）+j@）,且當士;0時，，（行《口恒成立，證明：（1）函數,二，（不是立上的減函數；（2）函數》=/□）是奇函數..設函數，（制與“工）的定義域是五七氏且尤=±i,/（於是偶函數，式外是奇函數，且丁⑺十日⑺二-7制縣X—1,求J5J和g1叩的解析式..設厘為實數，函數/⑴=/+仁一閨+1,先亡R.----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享⑴討論了5）的奇偶性；（2）求,（X）的最小值.綜合探究.已知函數了⑴*十“卜，-HSE）, 〔1不叫，則〃外包明勺奇偶性依次為（）A.偶函數，奇函數 B.奇函數，偶函數C.偶函數，偶函數 D.奇函數，奇函數.若?、墒桥己瘮?，其定義域為（―8'+8）,且在83?）上是減函數，則TOC\o"1-5"\h\zN 叫"與，/+力+-的 2的大小關系是（）3 3 5 3 □ 5A. 上> 上 B. 2< 上3 2 5D. 2工 上/w=三/（1）+/（?+/d）+/w+.已知 1+工，那么4.若'二十24.若'二十2在區(qū)間（-2，加°）上是增函數，則厘的取值范圍是5.已知函數/（克）的定義域是（口中期，且滿足八叩）二?、?/S）,"萬）一1，如果對于°工工。，都有/°）“3,（1）求川）；（2）解不等式/（—>）+'（3—X）之-2..當再已［口』時，求函數了（克）反”+電口的最小值..已知/（,）=_4_+4事工—4"—/在區(qū)間內有一最大值_5,求厘的值.----完整版學習資料分享----WORD完整版----可編輯----教育資料分享/⑴二以-3 7 xw匚」]時J⑶之，.已知函數 的最大值不大于6,又當 ，求白的值.答案與解析麻；基礎達標二一、選擇題一I.C.2.B.3.B.奇次項系數為"一2二°，加二23.D, 2.A.奇函數關于原點對稱，左右兩邊有相同的單調性6A ⑺一⑴U.^A..a.y=*-方在式上遞減，,支在（°'田）上遞減，^.了+^^在也中^上遞減.D.二、填空題L（-2E）U（2,5].奇函數關于原點對稱，補足左邊的圖象.[-2,+m）.a>Tf是x的增函數，當五=T時，%n=-2.該函數為增函數，自變量最小時，函數值最小；自變量最大時，函數值最大51一戶一1.三、解答題.解：當上‘口，、=取”在立是增函數，當立二°,丁=以+$在五是減函數；_k當心口，,工在（一叫⑴'口+④）是減函數，_k當心口,，■在（一吃°）工"+8）是增函數;zh_ 「b.、：■（ （一co,——] [—―,-Ko）當口>0, +自工+丁在加是減函數，在2口 是增函數，----完整版學習資料分享----WORD完整版----可編輯----教育資料分享當會口，…+歐+已在“ 覆當會口，…+歐+已在“ 覆「方、［一『?。┦窃龊瘮担谌?是減函數.—1<1—口<1

,-141-1<1.解：J' '八'八'，則L ,=0<a<12x+l>0,J>-— x=-TAmin=一5，.解： 2,顯然）是工的增函數， 2, 2「1、.解：僅…小片中一32,對稱軸⑴=1JW-=/?）=37?/⑺皿二見人京二1??（2）對稱軸克二一久當P三一5或-廿35時，/⑺在［巧切上單調能力提升一、選擇題.C.選項A中的月芒2,而五二-2有意義，非關于原點對稱，選項B中的XM1，而無:—1有意義，非關于原點對稱，選項D中的函數僅為偶函數；x=- -<5 ->S.C,對稱軸*，則區(qū)，或片，得h4°,或上之融2y= ,x>1 廠 廠.B,在口+斤，二是工的減函數，當K=Ly=J2,0<了￡424.A.對稱軸*=14.A.對稱軸*=1一白」一心4口三一3/w=-5.A.(1)反例式；(2)不定厘>°，開口向下也可；（3）畫出圖象可知，遞增區(qū)間有1L°］和［LTS）；（4）對應法則不同6.A.----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享二、填空題（一現(xiàn)-；]，口；]. .畫出圖象.-/-慟+L設。。，則-工:。，“少短+|小1,..八一月=-/⑴.T⑶=/+卜卜1? ?? ,3.—J⑺.—⑼二。十?！浮?W=即X/W=即X2十反十1-12-b4.T5./㈤在區(qū)間[3§上也為遞增函數，即"）=&'⑶=74.2/(-0+/(-3)=-2/(6)-/(3)=-155OZ^-^42<0J<^<2. .三、解答題￥rJ]一/. 、…J-LO）U91] ,^+2-2=z,⑺=--，.解：（1）定義域為 ''」，則 ， 工￥「、—J]-￡? 二 為奇函數.（2）??璉=78/；Jg既是奇函數又是偶函數..證明：（1）設餐,七，則演-々"，而+》）=〃*）+/㈤.〃乃）二『國-勺+心二4Af、+以X、＜—??...函數了=/5）是應上的減函數；（2）由/…二得⑷+/物得/a-同=/㈤+八-力----完整版學習資料分享----

WORD完整版----可編輯----教育資料分享即上）+ 7⑼，而,⑼=口.../（一式）=一丁5）,即函數,=’（式）是奇函數.3.解：?./（用是偶函數，且⑸是奇函數，,,JG）="x）,且式f）=-Z熾）f+式琦=工 /D+目（一元）二而 工一1，得 一工一1，TOC\o"1-5"\h\z/W-gW= 7=—即/⑴二/^W⑴二一? 土一1 土?? ，,1 .■ .. 二|4.解：⑴當"口時，/⑴~+日+1為偶函數，當2H0時，/W=『+1元一金什1為非奇非偶函數;\o"CurrentDocument". 1. 3了⑴=/一元+三+1=（r一一只+口+—,（2）當彳丈白時，’當萬時，丁（幻血不存在;當萬時，丁（幻血不存在;當汗之口時，[1jI：X）當汗之口時，[1jI：X