動(dòng)態(tài)規(guī)劃運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用胡運(yùn)權(quán)第五版2

第五章動(dòng)態(tài)規(guī)劃1動(dòng)態(tài)規(guī)劃Dynamicprogramming五十年代貝爾曼(B.E.Bellman)為代表的研究成果屬于現(xiàn)代控制理論的一部分以長(zhǎng)遠(yuǎn)利益為目標(biāo)的一系列決策最優(yōu)化原理，可歸結(jié)為一個(gè)遞推公式5.1

動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理及其算法5.1.1求解多階段決策過(guò)程的方法例5.1.1最短路問(wèn)題2決策樹(shù)法可以枚舉出20條路徑，其中最短的路徑長(zhǎng)度為163

例最短路問(wèn)題表現(xiàn)為明顯的階段性一條從A到B的最短路徑中的任何一段都是最短的

最優(yōu)性原理“最優(yōu)策略的一部分也是最優(yōu)的”每步的決策只與相鄰階段狀態(tài)有關(guān)，而與如何達(dá)到這一狀態(tài)無(wú)關(guān)因此我們可以從B向回搜索最短路標(biāo)記法如何找出最短路徑45.1.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本概念及遞推公式狀態(tài)(每階段初始的出發(fā)點(diǎn))最短路問(wèn)題中，各個(gè)節(jié)點(diǎn)就是狀態(tài)生產(chǎn)庫(kù)存問(wèn)題中，庫(kù)存量是狀態(tài)物資分配問(wèn)題中，剩余的物資量是狀態(tài)控制變量(決策變量)最短路問(wèn)題中，走哪條路生產(chǎn)庫(kù)存問(wèn)題中，各階段的產(chǎn)品生產(chǎn)量物資分配問(wèn)題中，分配給每個(gè)地區(qū)的物資量階段的編號(hào)與遞推的方向一般采用反向遞推，所以階段的編號(hào)也是逆向的當(dāng)然也可以正向遞推5動(dòng)態(tài)規(guī)劃的步驟1、確定問(wèn)題的階段和編號(hào)2、確定狀態(tài)變量用Sk

表示第k階段的狀態(tài)變量及其值3、確定決策變量用xk

表示第k階段的決策變量，并以xk*表示該階段的最優(yōu)決策4、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程sk-1=g(sk,xk)反向編號(hào)sk+1=g(sk,xk)正向編號(hào)5、直接效果直接一步轉(zhuǎn)移的效果dk(sk,xk)6、總效果函數(shù)指某階段某狀態(tài)下到終端狀態(tài)的總效果，它是一個(gè)遞推公式6動(dòng)態(tài)規(guī)劃的步驟hk是一般表達(dá)形式，求當(dāng)前階段當(dāng)前狀態(tài)下的階段最優(yōu)總效果(1)如最短路問(wèn)題，是累加形式，此時(shí)有終端的邊際效果一般為f0(s0,x0)=0(2)如串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題，是連乘形式，此時(shí)有終端的邊際效果一般為f0(s0,x0)=1從第1階段開(kāi)始，利用邊際效果和邊界條件，可以遞推到最后階段75.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型舉例

5.2.1產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃安排問(wèn)題

例1某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月生產(chǎn)能力為10件，已知今后四個(gè)月的產(chǎn)品成本及銷(xiāo)售量如表所示。如果本月產(chǎn)量超過(guò)銷(xiāo)售量時(shí)，可以存儲(chǔ)起來(lái)備以后各月銷(xiāo)售，一件產(chǎn)品的月存儲(chǔ)費(fèi)為2元，試安排月生產(chǎn)計(jì)劃并做到：1、保證滿足每月的銷(xiāo)售量，并規(guī)定計(jì)劃期初和期末庫(kù)存為零；2、在生產(chǎn)能力允許范圍內(nèi)，安排每月生產(chǎn)量計(jì)劃使產(chǎn)品總成本(即生產(chǎn)費(fèi)用加存儲(chǔ)費(fèi))最低。8

例1產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃安排設(shè)xk為第k階段生產(chǎn)量，則有直接成本

dk(sk,xk)=ckxk+2sk狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式為

sk-1=sk+xk-yk總成本遞推公式第一階段：(即第4月份)由邊界條件和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程s0=s1+x1y1=s1+x16=0得

s1+x1=6或x1=6s10估計(jì)第一階段，即第4月份初庫(kù)存的可能狀態(tài)：0s1

306712=5，所以，s1[0,5]9第一階段最優(yōu)決策表第二階段：最大可能庫(kù)存量7件由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：s1=s2+x2120及x210，可知s2[2,7]，minx2=5由階段效果遞推公式有：f2(2,10)=d2(2,10)+f1*(0,6) =22+8010+456=1260得第二階段最優(yōu)決策表，如下10第二階段最優(yōu)決策表第三階段：最大可能庫(kù)存量4件由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：s2=s3+x372及x310，可知s3[0,4]，minx3=5由階段效果遞推公式有：f3(1,10)=d3(1,10)+f2*(4,8) =21+7210+1104=1826得第三階段最優(yōu)決策表，如下11第三階段最優(yōu)決策表第四階段：初始庫(kù)存量s4=0由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：s3=s4+x460可知x46，由階段效果遞推公式有：f4(0,6)=d4(0,6)+f3*(0,10) =706+1902=2322得第四階段最優(yōu)決策表，如下回溯得此表12例2

生產(chǎn)–庫(kù)存管理問(wèn)題(連續(xù)變量)設(shè)某廠計(jì)劃全年生產(chǎn)某種產(chǎn)品A。其四個(gè)季度的訂貨量分別為600公斤，700公斤，500公斤和1200公斤。已知生產(chǎn)產(chǎn)品A的生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)品的平方成正比，系數(shù)為0.005。廠內(nèi)有倉(cāng)庫(kù)可存放產(chǎn)品，存儲(chǔ)費(fèi)為每公斤每季度1元。求最佳的生產(chǎn)安排使年總成本最小。解：四個(gè)季度為四個(gè)階段，采用階段編號(hào)與季度順序一致。設(shè)sk

為第k季初的庫(kù)存量，則邊界條件為s1=s5=0設(shè)xk

為第k季的生產(chǎn)量，設(shè)yk

為第k季的訂貨量；sk，xk，yk都取實(shí)數(shù)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為sk+1=sk+xk-yk仍采用反向遞推，但注意階段編號(hào)是正向的

目標(biāo)函數(shù)為13例2

生產(chǎn)–庫(kù)存管理問(wèn)題(連續(xù)變量)第一步：(第四季度)總效果f4(s4,x4)=0.005x42+s4

由邊界條件有：s5=s4+x4–y4=0，解得：x4*=1200–s4

將x4*代入f4(s4,x4)得：

f4*(s4)=0.005(1200–s4)2+s4=7200–11s4+0.005s42第二步：(第三、四季度)總效果f3(s3,x3)=0.005x32+s3+f4*(s4)將s4=s3+x3–500代入f3(s3,x3)得：14

例2

生產(chǎn)–庫(kù)存管理問(wèn)題(連續(xù)變量)第三步：(第二、三、四季度)總效果

f2(s2,x2)=0.005x22+s2+f3*(s3)將s3=s2+x2700代入f2(s2,x2)得：注意：階段最優(yōu)總效果僅是當(dāng)前狀態(tài)的函數(shù)，與其后的決策無(wú)關(guān)15

例2

生產(chǎn)–庫(kù)存管理問(wèn)題(連續(xù)變量)第四步：(第一、二、三、四季度)總效果

f1(s1,x1)=0.005x12+s1+f2*(s2)將s2=s1+x1–600=x1–600代入f1(s1,x1)得：由此回溯：得最優(yōu)生產(chǎn)–庫(kù)存方案

x1*=600，s2*=0；x2*=700，s3*=0；x3*=800，s4*=300；x4*=900。16

5.2.2資源分配問(wèn)題例3某公司有9個(gè)推銷(xiāo)員在全國(guó)三個(gè)不同市場(chǎng)推銷(xiāo)貨物，這三個(gè)市場(chǎng)里推銷(xiāo)人員數(shù)與收益的關(guān)系如下表，試作出使總收益最大的分配方案。解：設(shè)分配人員的順序?yàn)槭袌?chǎng)1,2,3，采用反向階段編號(hào)。設(shè)sk

為第k階段尚未分配的人員數(shù)，邊界條件為s3=9設(shè)xk

為第k階段分配的推銷(xiāo)人員數(shù)；仍采用反向遞推，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為sk–1=sk–xk

目標(biāo)函數(shù)為17

例3第一階段：給第三市場(chǎng)分配s1有0~9種可能，第一階段最優(yōu)決策表如下：為什么與例1的第一階段的表有差別？因?yàn)椴淮嬖谶吔鐥l件s0=018

例3第二階段：給第二市場(chǎng)分配s2有0~9種可能，第二階段最優(yōu)決策表如下：19

例3第三階段：給第一市場(chǎng)分配

由邊界條件s3=9，第三階段最優(yōu)決策表如下：得決策過(guò)程：x3*=2,x2*=0,x1*=7,f3*=218即市場(chǎng)1分配2人，市場(chǎng)2不分配，市場(chǎng)3分配7人最優(yōu)解與分配的順序有關(guān)嗎？205.2盜.2資源分善配問(wèn)題例4項(xiàng)目選伏擇問(wèn)題某工廠預(yù)恩計(jì)明年有素A,B,筋C,D四后個(gè)新建項(xiàng)舒目，每個(gè)刃項(xiàng)目的投劑資額wk及其投章資后的夸收益vk如右表所避示。投資恢總額為3塔0萬(wàn)元，核問(wèn)如何選傍擇項(xiàng)目才怠能使總收鐵益最大。上述問(wèn)撐題的靜卻態(tài)規(guī)劃揭模型如捷下：這是一類(lèi)0-1動(dòng)規(guī)劃問(wèn)嬌題該問(wèn)題舉是經(jīng)典批的旅行背佛包問(wèn)題(Kn劫aps股ack巷)該問(wèn)題較是NP-c詢ompl改ete21例4項(xiàng)目選擇留問(wèn)題解：設(shè)項(xiàng)仿目選擇職的順序滔為A,鞠B,陳C,盆D;1、階店段k=1,詞2,肥3,脆4錘分別對(duì)昌應(yīng)D汗,C投,B奏,A膀項(xiàng)目的葡選擇過(guò)共程2、第k階段的稠狀態(tài)sk，代表第k階段初尚既未分配的飛投資額3、第k階段的荒決策變追量xk,，代表它第k階段分配賞的投資額4、狀態(tài)曬轉(zhuǎn)移方程瓣為sk–1=sk–wkxk5、直接秘效益dk(sk,xk)=vk或06、總效濟(jì)益遞推公敵式該問(wèn)題止的難點(diǎn)鵝在于各嗎階段的叮狀態(tài)的扯確定，鬼當(dāng)階段宰增加時(shí)振，狀態(tài)游數(shù)成指牢數(shù)增長(zhǎng)倡。下面孟利用決糞策樹(shù)來(lái)將確定各疑階段的寄可能狀樹(shù)態(tài)。2223例4第一階拴段(項(xiàng)獅目D)的選焰擇過(guò)程s1<8時(shí)，x1只能取0哀；w1=8,v1=524例4第二階幕段(項(xiàng)誰(shuí)目C)的選擇般過(guò)程25例4第三階殖段(項(xiàng)漢目B)的選擇言過(guò)程第四階前段(項(xiàng)途目A)的選擇補(bǔ)過(guò)程265.2.剛3串聯(lián)系統(tǒng)疫可靠性問(wèn)露題例5有A,踢B,煙C三部機(jī)器旗串聯(lián)生產(chǎn)傲某種產(chǎn)品德，由于工欣藝技術(shù)問(wèn)榨題，產(chǎn)品逝常出現(xiàn)次竿品。統(tǒng)計(jì)筍結(jié)果表明飲，機(jī)器故A,B煉,C丟產(chǎn)生次品正的概率分轎別為pA=30僅%,PB=40濁%,PC=20%漂,而產(chǎn)品陰必須經(jīng)呆過(guò)三部來(lái)機(jī)器順億序加工依才能完承成。為苦了降低王產(chǎn)品的選次品率耕，決定興撥款故5萬(wàn)齊元進(jìn)行簽技術(shù)改呈造，以如便最大顆限度地昨提高產(chǎn)朗品的成虛品率指奮標(biāo)?，F(xiàn)遷提出如旦下四種歐改進(jìn)方剪案：方案1:斤不撥款似，機(jī)器保觸持原狀；方案2盒:加臘裝監(jiān)視貞設(shè)備，堆每部機(jī)如器需款注1春萬(wàn)元；方案3殊:加殼裝設(shè)備把，每部鹿機(jī)器需虛款2飽萬(wàn)元讓；方案4主:同周時(shí)加裝飾監(jiān)視及般控制設(shè)掃備，每呀部機(jī)器貨需款魂3萬(wàn)巧元；采用各目方案后輛，各部秒機(jī)器的腥次品率妄如下表基。27例5串聯(lián)機(jī)奶器可靠柜性問(wèn)題解：為三臺(tái)礙機(jī)器分配母改造撥款誰(shuí)，設(shè)撥款憤順序?yàn)锳,帥B,催C，階段序庫(kù)號(hào)反向編植號(hào)為k，即第利一階段輝計(jì)算給球機(jī)器C撥款的效辨果。設(shè)sk為第k階段剩結(jié)余款，四則邊界羅條件為s3=5；設(shè)xk為第k階段的撥親款額；狀態(tài)轉(zhuǎn)移佩方程為sk-1=sk-xk；目標(biāo)函橫數(shù)為maxR=(1-PA)(1-PB)(1風(fēng)-PC)仍采用塔反向遞即推第一階段：對(duì)機(jī)器C撥款的如效果R1(s1,x1)=d1(s1,x1)R0(s0,x0)=d1(s1,x1)28第二階段鋤最優(yōu)決策免表第二階陵段：對(duì)機(jī)器B,C撥款的亦效果由于機(jī)器A最多只需3萬(wàn)元，歸故s22遞推公式堵：R2(s2,x2)=d2(s2,x2)R1(s1,x1*)例：R2(3,但2)=d2(3,慎2)R1(1,俯1)=賄(1-擋0.2霸)0.治9=0稍.72得第二階段攻最優(yōu)決策飄表29第二階蔥段最優(yōu)撇決策表第三階振段：對(duì)機(jī)百器A,B,C撥款的效弓果邊界條件某：s3=5遞推公神式：R3(s3,x3)=d3(s3,x3)R2(s2,x2*)例：R3(5,出3)=d3(5,3敬)R2(2,2煩)=(1鳴-0.0領(lǐng)5)0.寇64=旁0.6親08得第三階段銅最優(yōu)決策栽表回溯：有多組最者優(yōu)解。I：x3=1,x2=3,x1=1,R3=0.學(xué)80.姻9禍0.9浪=0.開(kāi)648II：x3=2,x2=2,x1=1,R3=0.9級(jí)0.80.9濫=0.6顛48III核:x3=2,x2=3,x1=0,R3=0.9朝0.階90.8=0.6丹4830例