甘肅省武威八中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達標檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若命題“存在，使”是假命題，則非零實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．3．已知的分布列為-101設(shè)，則的值為（）A．4 B． C． D．14．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．5．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．46．若a∈R，則“a=2”是“|a|=2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．已知有窮數(shù)列2，3，，滿足2，3，，，且當2，3，，時，若，則符合條件的數(shù)列的個數(shù)是

A． B． C． D．8．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．9．已知函數(shù)，若在上有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．設(shè)集合，，則()A． B． C． D．11．函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)是（）A． B． C． D．12．已知均為實數(shù)，若（為虛數(shù)單位），則（）A．0 B．1 C．2 D．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量X，則P(X≤6)＝________.14．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)__________．15．lg5+1g20+e0的值為_____16．底面是直角三角形的直棱柱的三視圖如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，則該棱柱的表面積是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率，該橢圓中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點的直線，使直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過定點？若存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，請說明理由.18．（12分）“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗．2018年春節(jié)前夕，市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質(zhì)量指標，檢測結(jié)果如頻率分布直方圖所示．（1）求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）①由直方圖可以認為，速凍水餃的該項質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在內(nèi)的概率；②將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標值位于內(nèi)的包數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：①計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標的標準差為；②若，則，．19．（12分）一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個矩形的三邊圍成，尺寸如圖所示單位：，一輛卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高，此車是否能通過隧道？并說明理由．20．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當時，（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．22．（10分）已知數(shù)列滿足，.（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)命題真假列出不等式,解得結(jié)果.【詳解】因為命題“存在，使”是假命題,所以,解得:,因為.故選:.【點睛】本題考查命題真假求參數(shù),注意已知條件非零實數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生分析求解能力,難度較易.2、B【解析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．從而求解得到a的取值范圍．詳解：∵的幾何意義為：表示點（p+1，f（p+1））與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，∵實數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．不等式＞1恒成立，∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．由函數(shù)的定義域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．由于二次函數(shù)y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，故x=2時，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故選A．點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.3、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【詳解】，因為，所以.【點睛】本題考查隨機變量的期望計算，對于兩個隨機變量，具有線性關(guān)系，直接利用公式能使運算更簡潔.4、C【解析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據(jù)正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,的中點是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【點睛】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.5、D【解析】可以是共4個，選D.6、A【解析】

通過充分必要條件的定義判定即可.【詳解】若a=2，顯然|a|=2；若|a|=2，則a=±2，所以“a=2”是“|a|=2”的充分而不必要條件，故選A.【點睛】本題主要考查充分必要條件的相關(guān)判定，難度很小.7、A【解析】

先選出三個數(shù)確定為，其余三個數(shù)從剩下的7個里面選出來，排列順序沒有特殊要求.【詳解】先確定，相當于從10個數(shù)值中選取3個，共有種選法，再從剩余的7個數(shù)值中選出3個作為，共有種選法，所以符合條件的數(shù)列的個數(shù)是，故選A.【點睛】本題主要考查利用排列組合的知識確定數(shù)列的個數(shù)，有無順序要求，是選擇排列還是組合的依據(jù).8、B【解析】如圖所示軸與函數(shù)圍成的面積為,因此故選B.9、D【解析】

首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的大小關(guān)系,利用圖像得到答案.【詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當時，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像關(guān)系等知識,其中當函數(shù)單調(diào)遞增時,是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】函數(shù)有意義，則，函數(shù)的值域是，即.本題選擇D選項.11、A【解析】

通過對式子的分析，把求零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成求方程的根，結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合得到根的個數(shù)，即可得到零點個數(shù)．【詳解】函數(shù)的零點即方程和的根，函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可得方程和共有個根，即函數(shù)有個零點,故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程的根的個數(shù)的關(guān)系，注意結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合求得結(jié)果時作圖很關(guān)鍵，要標準．12、C【解析】

將已知等式整理為，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即：則：本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，涉及簡單的復(fù)數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可知取出的4只球中紅球個數(shù)可能為4，3，2，1個，黑球相應(yīng)個數(shù)為0，1，2，3個，其分值X相應(yīng)為4，6，8，1．∴.14、【解析】分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則直接計算.詳解：點睛：本題考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)，考查基本求解能力.15、【解析】

利用對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可得，故答案為3.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，以及指數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)三視圖,畫出空間幾何體,即可求得表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱柱,畫出空間結(jié)構(gòu)體如下:該三棱柱的高為2,上下底面為等腰直角三角形,腰長為所以上下底面的面積為側(cè)面積為所以該三棱柱的表面積為故答案為:【點睛】本題考查由三視圖還原空間結(jié)構(gòu)體,棱柱表面積的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過點.【解析】分析：由，該橢圓中心到直線的距離為，求出橢圓方程；（2）先假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出直線方程（注意考慮斜率），與橢圓聯(lián)立，考慮然后設(shè)，，利用韋達定理，利用為直徑的圓過定點，轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化坐標構(gòu)造方程進行求解．詳解：（1）直線的一般方程為，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線即為軸，此時，為橢圓的短軸端點，以為直徑的圓經(jīng)過點.當直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，由，得.所以，得.設(shè)，，則，①而.因為以為直徑的圓過定點，所以，則，即.所以.②將①式代入②式整理解得.綜上可知，存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過點.點晴：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，這類題目一般涉及設(shè)直線方程，然后和橢圓聯(lián)立，設(shè)點，考慮，然后利用韋達定理，接下來就是對題干的轉(zhuǎn)化啦，本題中典型的垂直問題，主要轉(zhuǎn)化方向就是向量點乘，因為斜率的話還需要考慮斜率是否存在．18、（1）26.5（2）①0.6826②見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，直方圖各矩形中點值的橫坐標與縱坐標的積的和就是所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)；（2）①根據(jù)服從正態(tài)分布，從而求出；②根據(jù)題意得，的可能取值為，根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率公式求出各隨機變量對應(yīng)的概率，從而可得分布列，進而利用二項分布的期望公式可得的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為：．（2）①∵服從正態(tài)分布，且，，∴，∴落在內(nèi)的概率是．②根據(jù)題意得，；；；；.∴的分布列為01234∴．19、見解析【解析】

建立直角坐標系，得到A、B的坐標，設(shè)拋物線方程為，并求得其方程，依題意，集裝箱上表面距拋物線型隧道拱頂，從而設(shè)拋物線上點D的坐標為，計算即可判斷．【詳解】以拋物線的上頂點為原點，建立坐標系，則，．設(shè)拋物線方程為，將B點坐標代入，得，．拋物線方程為．車與箱共高集裝箱上表面距拋物線型隧道拱頂．設(shè)拋物線上點D的坐標為，則，，，故此車不能通過隧道．【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，求得拋物線方程是關(guān)鍵，考查分析推理與運算能力，屬于中檔題．20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

過D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺溯S建立空間直角坐標，求出長，寫出的坐標．求出相應(yīng)向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對值．由向量的數(shù)量積運算易求．【詳解】（1）過D作平行線DH，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標系，如圖，在中，，，，，交于點，，；,，，；（2）由（1）可知，，，設(shè)平面BEF的法向量為，所以，，取，，設(shè)直線與平面所成角為，所以=.【點睛】本題考查證明空間兩直線垂直，考查求直線與平面所成的角，解題方法是建立空間直角坐標系，由向量法證明線線垂直，求線面角，這種方法主要考查學(xué)生的運算求解能力，思維量很少，解法固定．21、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義即可求函數(shù)f（x）的解析式．（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式，先畫出圖象，然后對a（要考慮函數(shù)的解析式及單調(diào)性）進行分類討論即可求出函數(shù)的值域．【詳解】（Ⅰ）當x＞0時，,又f（x）為奇函數(shù)，則當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（-x

2-4x）=x

2+4x，又f（0）=0

故

f(x)解析式為（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)f(x)的圖像，可得f（-2）=-4，當x>0時，由

f(x)=-4,解得x=2+2①當-2＜a≤2+2時，觀察圖像可得函數(shù)最小值為f(-2)=-4②當a

＞2