2007年考研數(shù)學三真題及完整解析

PAGE6-2007年研究生入學考試數(shù)學三試題一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）當時，與等價的無窮小量是（A）（B）（C）（D）[]（2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是：（A）若存在，則（B）若存在，則.（B）若存在，則（D）若存在，則.[]（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是：（A）(B)（C）（D）[]（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（A）（B）（C）（D）（5）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是(A)10.(B)20(C)30.(D)40.[]（6）曲線的漸近線的條數(shù)為（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（7）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是線性相關(guān)，則 (A) (B) (C). (D).[]（8）設(shè)矩陣，則與(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目標獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次擊中目標的概率為（A）.（B）.（C）.（D）[]（10）設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示的概率密度，則在的條件下，的條件概率密度為(A).(B).(C).(D).[]二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（11）__________.（12）設(shè)函數(shù)，則________.（13）設(shè)是二元可微函數(shù)，，則__________.（14）微分方程滿足的特解為________.所以，故選（C）.【評注】本題屬基本題型.本題利用定積分的幾何意義比較簡便.4…….【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，，則，故應(yīng)選（B）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.畫圖更易看出.5…….【分析】本題考查需求彈性的概念.【詳解】選（D）.商品需求彈性的絕對值等于，故選（D）.【評注】需掌握微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用中的邊際，彈性等概念.6…….【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】，所以是曲線的水平漸近線；，所以是曲線的垂直漸近線；，，所以是曲線的斜漸近線.故選（D）.【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在.本題要注意當時的極限不同.7……..【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性.一般令，若，則線性相關(guān)；若，則線性無關(guān).但考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項.【詳解】由可知應(yīng)選（A）.或者因為，而，所以線性相關(guān)，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.8……【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實對稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案.【詳解】由可得，所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0.所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通過計算與的特征值可立即排除（A）（C）.9……..【分析】本題計算貝努里概型，即二項分布的概率.關(guān)鍵要搞清所求事件中的成功次數(shù).【詳解】p＝｛前三次僅有一次擊中目標，第4次擊中目標｝，故選（C）.【評注】本題屬基本題型.10…….【分析】本題求隨機變量的條件概率密度，利用與的獨立性和公式可求解.【詳解】因為服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，所以與獨立，所以.故，應(yīng)選（A）.【評注】若服從二維正態(tài)分布，則與不相關(guān)與與獨立是等價的.11….【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小的結(jié)論.【詳解】因為，所以.【評注】無窮小的相關(guān)性質(zhì)：（1）有限個無窮小的代數(shù)和為無窮?。唬?）有限個無窮小的乘積為無窮??；（3）無窮小與有界變量的乘積為無窮小.12,……..【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.13…….【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用求導(dǎo)公式可得，，所以.【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時，最好設(shè)出中間變量，注意計算的正確性.14…..【分析】本題為齊次方程的求解，可令.【詳解】令，則原方程變?yōu)?兩邊積分得，即，將代入左式得，故滿足條件的方程的特解為，即，.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.15……….【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.16……….【分析】根據(jù)題意可得兩個隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，利用幾何概型計算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計算.圖如下：AA1/2111Oyx所求概率.【評注】本題也可先寫出兩個隨機變量的概率密度，然后利用它們的獨立性求得所求概率.17……..【分析】由凹凸性判別方法和隱函數(shù)的求導(dǎo)可得.【詳解】方程兩邊對求導(dǎo)得，即，則.上式兩邊再對求導(dǎo)得則，所以曲線在點附近是凸的.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.18…….【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分.【詳解】因為被積函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以，其中為在第一象限內(nèi)的部分.而.所以.【評注】被積函數(shù)包含時,可考慮用極坐標，解答如下：..19…….【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.（1）若在內(nèi)同一點取得最大值，則，于是由羅爾定理可得，存在，使得.再利用羅爾定理，可得存在，使得，即.（2）若在內(nèi)不同點取得最大值，則，于是，于是由零值定理可得，存在，使得于是由羅爾定理可得，存在，使得.再利用羅爾定理，可得，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證為的最值或極值點，利用極值存在的必要條件或費爾馬定理可得證；方法二：驗證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理條件..20….【分析】本題考查函數(shù)的冪級數(shù)展開，利用間接法.【詳解】，而，，所以，收斂區(qū)間為.【評注】請記住常見函數(shù)的冪級數(shù)展開.21…..【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數(shù)矩陣..顯然，當時無公共解.當時，可求得公共解為,為任意常數(shù)；當時，可求得公共解為.【評注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu).22……【分析】本題考查實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì).【詳解】（=1\*ROMANI），則是矩陣的屬于－2的特征向量.同理可得，.所以的全部特征值為2，1，1設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得.即，解方程組可得的屬于1的特征向量，其中為不全為零的任意常數(shù).由前可知的屬于－2的特征向量為，其中不為零.（=2\*ROMANII）令，由（Ⅰ）可得，則.【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式.請記住以下結(jié)論：（1）設(shè)是方陣的特征值，則分別有特征值可逆），且對應(yīng)的特征向量是相同的.（2）對實對稱矩陣來講，不同特征值所對應(yīng)的特征向量一定是正交的23…….【分析】（=1\*ROMANI）可化為二重積分計算；(=2\*ROMANII)利用卷積公式可得.【詳解】（=1\*ROMANI）.(=2\*ROMANII)利用卷積公式可得.【評注】(=2\*ROMANII)也可先求出分布函數(shù)，然后求導(dǎo)得概率密度..（24）(本題滿分11分)設(shè)總體的概率密度為…為來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.