二次函數(shù)中的旋轉、平移、對稱變換

二次函數(shù)中的旋轉、平移、對稱變換二次函數(shù)中的旋轉、平移、對稱變換1、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（0，2）兩點，頂點為D。（1）求拋物線的解析式；（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點C，求平移后所得圖象的函數(shù)關系式；（3）設（2）中平移后，所得拋物線與y軸的交點為B1，頂點為D1，若點N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍，求點N的坐標。解：（1）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（0，2），∴，解得，∴所求拋物線的解析式為y=x2-3x+2； （2）∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，2、在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示放置，點A在x軸上，點B的坐標為（m，1）（m＞0），將此矩形繞O點逆時針旋轉90°，得到矩形OA′B′C′．

（1）寫出點A、A′、C′的坐標；

（2）設過點A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）

（3）試探究：當m的值改變時，點B關于點O的對稱點D是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時m的值．

解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點B的坐標為（m，1）（m＞0），

∴A（m，0），C（0，1），

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋轉而成，

∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）設過點A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），

∴，解得，

∴此拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m；

（3）存在．

∵點B與點D關于原點對稱，B（m，1），

∴點D的坐標為：（-m，-1），

∵拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m；

假設點D（-m，-1）在（2）中的拋物線上，

則y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0，

∵△=22-4×（-2）×1=12＞0，

∴此點在拋物線上，解得m=或m=（舍去）．3、在平面直角坐標系中，O為原點，點A（-2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OE’D’F’，記旋轉角為α.（Ⅰ）如圖①，當α＝90°，求AE’，BF’的長；（Ⅱ）如圖②，當α＝135°，求證AE’＝BF’，且AE’⊥BF’；（Ⅲ）若直線AE’與直線BF’相交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結果即可）.4、如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y=﹣x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若點E′是點E關于直線PC的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）將點A、B坐標代入拋物線解析式，得：，解得，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x+5．（2）∵點P的橫坐標為m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0）．∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=、m=這兩個解均舍去．∴m=2或m=．（3）假設存在．作出示意圖如下：∵點E、E′關于直線PC對稱，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．由直線CD解析式y(tǒng)=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．過點E作EM∥x軸，交y軸于點M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m