二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱變換

二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱變換二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱變換1、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，2）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。（1）求拋物線的解析式；（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)（2）中平移后，所得拋物線與y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1，若點(diǎn)N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍，求點(diǎn)N的坐標(biāo)。解：（1）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，2），∴，解得，∴所求拋物線的解析式為y=x2-3x+2； （2）∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，2、在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示放置，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m＞0），將此矩形繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．

（1）寫(xiě)出點(diǎn)A、A′、C′的坐標(biāo)；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）

（3）試探究：當(dāng)m的值改變時(shí)，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時(shí)m的值．

解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m＞0），

∴A（m，0），C（0，1），

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋轉(zhuǎn)而成，

∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），

∴，解得，

∴此拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m；

（3）存在．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B（m，1），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-m，-1），

∵拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m；

假設(shè)點(diǎn)D（-m，-1）在（2）中的拋物線上，

則y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0，

∵△=22-4×（-2）×1=12＞0，

∴此點(diǎn)在拋物線上，解得m=或m=（舍去）．3、在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE’D’F’，記旋轉(zhuǎn)角為α.（Ⅰ）如圖①，當(dāng)α＝90°，求AE’，BF’的長(zhǎng)；（Ⅱ）如圖②，當(dāng)α＝135°，求證AE’＝BF’，且AE’⊥BF’；（Ⅲ）若直線AE’與直線BF’相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.4、如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=﹣x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：，解得，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x+5．（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0）．∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=、m=這兩個(gè)解均舍去．∴m=2或m=．（3）假設(shè)存在．作出示意圖如下：∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．由直線CD解析式y(tǒng)=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸，交y軸于點(diǎn)M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m