2016年數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師教案第111-114課時函數(shù)問

第111-114課時：函數(shù)問題的題型與方法

課題：函數(shù)問題的題型與方法

一.復(fù)習(xí)目標(biāo)：

L了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。一

2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶

性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程。

3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的

反函數(shù)。

4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)累的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、

圖象和性質(zhì)。

5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性貳

6.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問缸

二.考試要求：一

L靈活運用函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式等知識以及分類討論等方法，解函數(shù)綜合

題。

2.應(yīng)用函數(shù)知識及思想方法，解決函數(shù)的最值問題、探索性問題與應(yīng)用性問題,

提高分析問題和解決問題的能力。

三.教學(xué)過程:

(I)2004年高考數(shù)學(xué)函數(shù)綜合題選

1

1.(2004高考廣東卷，19)設(shè)函數(shù)f(x)=x>0,

(1)證明：當(dāng)0<a<b，且f(a)=fS)時,ab>1;

(2)點P(xo,y0)(0<x0<1)在曲線y=f(x)上，求曲線在點P處的切線與x

軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達式(用X。表達).

證明：(I)

xe(0,1]

]V

v/(x)=|l—1=*X,

X1-1

xG(l,+oo)

故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1,+8)上是增函數(shù)，由o<a〈b且f(a)=f(b)

得0<a<l(b^\--i=l--,^-+-=2=>2ab=a+b>24ab,

abah

故>1,即>1

(II)O〈x〈l時，y=/(x)=|l--|=i-l,.-./'(x())=—^,O<xo<l

XXXQ

曲線y=f(x)在點P(x。，ya)處的切線方程為：

f=-±(x-x.),即y=V+2

玉)玉)玉)

...切線與x軸、y軸正向的交點為(々(2—/)，°)和(°，,(2-Xo)

Xo

故所求三角形面積聽表達式為：A(jr)=-x(2-x).-(2-x)=-(2-jt)2

0200尤0020

2.(2004高考廣東卷，21)設(shè)函數(shù)f(x)=x-7n(x+m),其中常數(shù)m為整數(shù).

(1)當(dāng)m為何值時，/Xx)20；

(2)定理：若函數(shù)g(x)在［a,b］上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號,則至少存在一

點X。e(a,b),使晨xo)=0.

試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>l時，方程f(x)=0,在［e'-m,e2m-rn］內(nèi)有兩個實

根.

(I)解：函數(shù)f(x)=xTn(x+m),x￡(-m,+8)連續(xù)，且

/(x)=1-----,4/'(x)=0,得x=1-團

x+m

當(dāng)xC(-m,1-m)時,f(x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)

當(dāng)xW(l-m,+8)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(bm)

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，為極小值，而且

對x?(-m,+8)都有f(x)2f

故當(dāng)整數(shù)mWl時，f(x)21-m20

(H)證明：由(I)知，當(dāng)整數(shù)m>l時,f(l-m)=l-m<0,

函數(shù)f(x)=xTn(x+m),在忸7"-上為連續(xù)減函數(shù).

f(e~m-〃。=e~m-m-ln(e-ffl-m+m)=>0

當(dāng)整數(shù)加>1時,/(6一"‘一〃。與"1一〃?)異號，

由所給定理知，存在唯一的的e(e-m^^)=0

而當(dāng)整數(shù)m>l時，

f(e2m-m)=e2m-3m>(1+l)2ff,-3m>\+2m+“"(2；T)_3〃？>。

(v機〉1n2m-1>1,上述不等式也可用數(shù)學(xué)歸納法證明)

類似地，當(dāng)整數(shù)m>l時，函數(shù)f(x)=xTn(x+m),在口-機,e-”'-m］上為連續(xù)

增函數(shù)且f(bm)與〃?)異號，由所給定理知，存在唯一的

x2€n_機,""‘_加,],使/(%2)=0

故當(dāng)m>l時，方程f（x）=O^［e-m-m,e2m-m］內(nèi)有兩個實根。

3.（2004年春季高考北京卷，19）某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40

元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100

個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠

單價不能低于51元。

（I）當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？

（H）設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P=/（x）的

表達式；

（III）當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購

1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價一成本）

分析：本小題主要考查函數(shù)的基本知識，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題

的能力。

解：（I）設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則

60-51

=100+=550

0.02

因此，當(dāng)一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元。

（H）當(dāng)0<x4100時，P=60

Y

當(dāng)100<x<550時，P=60—0.02(%-100)=62-—

當(dāng)XN550時,尸=51

600<x<100

Y

所以P=/(x)=j62—^100<x<550(xeN)

51x>550

（IH）設(shè)銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則

20x0<x<100

L=（P-40）x=J-

22x--100<x<500（xGN）

當(dāng)x=500時，L=6000；當(dāng)x=1000時，L=11000

因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；

如果訂購1000個，利潤是11000元。

4.已知F/=與W（xeR）在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù).

x2+2

（I）求實數(shù)a的值組成的集合A；

（II）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=-的兩個非零實根為父、檢試問：是否存在實數(shù)m,

X

使得不等式m'+tni+l'IM—后|對任意a^A及te［―1,1］恒成立？若存在，求m

的取值范圍；若不存在，請說明理由.

分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)

形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

解：(I)f/69=4+2"-=-2(x：-ax-2),

(x2+2)2(X2+2)2

???,69在［-1,1］上是增函數(shù)，

:.尹包川對xe［—1,1］恒成立，

即義—ax—2W0對［―1,1］恒成立.①

設(shè)夕[￡=e-ax-2,

方法一：

夕⑴=l-tz-2<0

①<=><—l<a<1

(p(-1)=l+a-2<0

???對1],『6)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)行1時，什?〃二0以及當(dāng)行一

1時，/⑴二0

.e.A={a|—IWaWl}.

方法二：

-^0,-<0,

①。1r2或；r2

〔(P(-1)=1+劉一2W0〔(p(1)=1—a—2W0

oOWaWl或一IWaWO

o-IWaWL

???對x￡[—1,1],是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)小1時，(—1)=0以及當(dāng)行T

時，f7(1)=0

???A={a|—lWaWl}.

(II)由^^=!，得f—ax-2=0,VA=a2+8>0

x+2x

「?為，也是方程/—^―2=0的兩非零實根，

r崗+毛=a,

??|從而|荀—Xz|=J(X]+々)2-4/1工2=，+8.

IX至二-2,

■iWaWl,二|乂-及|=，42+8^3.

要使不等式n?+tm+12|XL用|對任意a《A及te[―1,1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)mZ+tm+123對任意—1]恒成立，

即m'tm—220對任意te[-1,1]恒成立.②

設(shè)g(2=mt+(m~—2),

方法一：

rg(—l)=m2—m—2^0,

②《<=>g(l)=m2+m—2^0,

I=m22或mW—2.

所以，存在實數(shù)m,使不等式m'tm+l2|不一改|對任意a^A及te[―1,1]恒成

立，其取值范圍是{m|m22,或mW-2}.

方法二：

當(dāng)m=0時，②顯然不成立；

當(dāng)mWO時，

-m>0,rm<0,

②一或V

-g(—l)=m2—m—2^0Ig(l)=m2+m—2^0

om22或mW—2.

所以，存在實數(shù)m,使不等式mUtm+l2除一日對任意aCA及te[-1,1]恒成

立，其取值范圍是{m|m22,或mW-2}.

5.(2004年高考江蘇卷，22)已知函數(shù)〃x)(xwR)滿足下列條件：對任意的實數(shù)

x?X2都有

2

X(x,-x2)<U,-X2)[/(A()-/(X2)]

和\f(.x\)-f(x2)|-|XI-X2|,其中入是大于0的常數(shù).

設(shè)實數(shù)a,a,b滿足/(〃0)=0和/7=“-依4)

(1)證明九41,并且不存在劣羊〃0，使得/仇)=0；

(II)證明①-g)2V(1-爐)(。_為/；(III)證明[/(fe)]2<(l-X2)[/(a)]2.

分析：本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問

題的能力.

2

證法一:(I)任取的,々UR,X|H》2,則由2(X]-X2)<(X1-x2)[f(x})-f(x2J]

和|/區(qū))—/&)區(qū)以一/1②

2

可知2(X1-X,)<(%)-A：2)[/(%,)-/(x2)]<|x,-x2|-|/(x1)-/(x2)|<|xl-x2|S

從而2<1.假設(shè)有%W4,使得/(%)=0,則由①式知

0<4(劭一瓦)24(4-4)"(%)—/(d)]=0矛盾.

.??不存在%i使財％)=0.

(II)由6="—"(a)③

2222

可知(b-a0)=[a-a0-2f{a^=(?-a0)-2A(a-a0)f(a)+2[f(a)]④

2

由/(%)=0和①式，得(。一/)/(。)=伍一4)[/(?)-f(a0)]>A(a-a0)⑤

由/3。)=0和②式知，"(a)],="(a)-〃即)]243-旬)2⑥

由⑤、⑥代入④式，得(b—a。)-4(a—a?！?丸~(a—a。)~+矛(a—a。

=(1-丸"他一%y

(III)由③式可知"S)]2=[/s)一/⑷+/伍)]2

="⑸-/?+2f(a)[f(b)-f(a)]+[/(a)]2

b-Z7

<(b-a)2-2?一"(b)-/(?)]+"⑷了(用②式)

A

2

=?"(GF--(b-a)[f(b)-/(?)]+[/(a)]2

A

<22[/(a)2---A-(b-a)2+[f(a)]2(用①式)

A

=才"缶)]2—2下"⑷『+"(a)]2

=(l-22)[/(a)]2

證法二：題目中涉及了八個不同的字母參數(shù)”,仇a。,外,x,x“々〃以及它們的抽象

函數(shù)值/(*)。參數(shù)量太多，讓考生們在短時間內(nèi)難以理清頭緒。因而解決問題

的關(guān)鍵就在于“消元”——把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾個

特定變量來表示，然而再進行運算證明。“消元”的模式并不難唯一，這里提供

一個與標(biāo)準(zhǔn)解答不同的“消元”設(shè)想，供參考。

題設(shè)中兩個主要條件是關(guān)于再一％與八再)-八馬)的齊次式。而點a,/a))、

。2，/(》2))是函數(shù)圖象上的兩個點，/區(qū))-〃X2)//-》2是連接這兩點的弦的斜

率。若欲證的不等式關(guān)系也能轉(zhuǎn)化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進行“整

體消元”。

設(shè)和馬為不相等的兩實數(shù)，貝1」區(qū)-X2)2>0」王-苫2|>0由題設(shè)條件可得：

0<a<小)--(々)和|/(為)-/(々)區(qū)1。

xx-X2Xj-x2

令人=以立巫2,則對任意相異實數(shù)x”/,有0</l4k及|k區(qū)1,即

x{-x2

0<2<Zr<1o

由此即得/iwi；又對任意項有人>0,得函數(shù)/(X)在R上單調(diào)增，所以函數(shù)

/(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)。

如果％#a0,則f(b0)*/(a0),因為f(a0)=0,所以f(b0)*0。即不存在dHa0,

使得/(%)=0。于是，(I)的結(jié)論成立。

考慮結(jié)論(II)：

因為b="為⑷,故原不等式為(-4-歹(4等士(1-玲伍-4)2;

當(dāng)a=/時，左右兩邊相等；

當(dāng)aw/時，(。-%)2>0,且/(a())=0,則原不等式即為：

["即一皆(。)+歹(。0)了<]_不

(a-a0)~

令々=/(a)〃a。),則原不等式化為(1—〃>〈J》，即為“1+42)<23

a-a0

因為0<44k41,貝IJ刃-424人,所以4+刀;242A成立，即(II)中結(jié)論成

立。

再看結(jié)論(III):

22

原不等式即"[)]2一"⑷了+A[f(a)]<0,

即[/W-/(?)]-[f(b)-f(a)+2/(?)]+22[/(?)]2<0,注意到8=a-"(a),則

b-a=—Af(a),則原不等式即為

[/(&)-/(?)]-[f(h)~f(a)—2(b—a)/用+g—<0

即入b)一,(a).1/(b)一，⑷一2〕十】《。,令女J3)-)(％則原不等式即化為

b-ab—a2b-a

k(k-2/A)+l<0,§.]lAk2+A<2k,因為0<4?上<1,])^Ak2<A<k,

所以"2+丸42女成立，即(III)的結(jié)論成立。

在一般的“消元”方法中，本題三個小題中不等關(guān)系的證明過程差異較大。尤其

是(II)與(HI),許多尖子學(xué)生證明了(II)的結(jié)論而不能解決(HI)。

借助斜率k“整體消元”的想法把(II).(III)中的不等關(guān)系都轉(zhuǎn)化為相同的

不等關(guān)系〃2+4《2女,然后由條件推證，有獨到之處。

(II)函數(shù)的概念型問題

函數(shù)概念的復(fù)習(xí)當(dāng)然應(yīng)該從函數(shù)的定義開始.函數(shù)有二種定義，一是變量觀點下

的定義，一是映射觀點下的定義.復(fù)習(xí)中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應(yīng)

在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有

關(guān)反函數(shù)問題中正確運用.具體要求是：

1.深化對函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解

函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系.

2.系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法.在熟練有關(guān)技

能的同時，注意對換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運用.

3.通過對分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認識，進一步體會函數(shù)關(guān)系

的本質(zhì)，進一步樹立運動變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛

運用打好基礎(chǔ).

本部分內(nèi)容的重點是不僅從認識上，而且從處理函數(shù)問題的指導(dǎo)上達到從三要素

總體上把握函數(shù)概念的要求，對確定函數(shù)三要素的常用方法有個系統(tǒng)的認識，對

于給出解析式的函數(shù)，會求其反函數(shù).

本部分的難點首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認識，真正明確不僅函數(shù)

的對應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處

理問題的指導(dǎo).其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用

到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的

結(jié)合.

函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部內(nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會背誦定

義，會做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對確定

函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理,這樣才能進一步為綜合運用打好基礎(chǔ).復(fù)

習(xí)的重點是求得對這些問題的系統(tǒng)認識，而不是急于做過難的綜合題.

㈠深化對函數(shù)概念的認識

例1.下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是()

A.y=+C.y=

d’J"。)

*7V+4(K-1)

分析：處理本題有多種思路.分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的,

因為過程太繁瑣.

從概念看，這里應(yīng)判斷對于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對應(yīng)法則，是

否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用

數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法，請讀者自己一試.

此題作為選擇題還可采用估算的方法.對于D,y=3是其值域內(nèi)一個值，但若y=3,

則可能x=2(2>l),也可能x=T(TWT).依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在

反函數(shù).于是決定本題選D.

說明：不論采取什么思路，理解和運用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的

關(guān)鍵.

由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法

當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題.

㈡系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法

1.求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法

由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x

的取值范圍.它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練.這里的最高層次

要求是給出的解析式還含有其他字

例2.已知函數(shù)/(X)定義域為(0,2),求下列函數(shù)的定義域：

即)+23,加萼以十1.

分析：X的函數(shù)f(X?)是由U=X?與f(u)這兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中X

是自變量，U是中間變量.由于f(x),f(u)是同一個函數(shù)，故(1)為已知0<u<

2,即0<X2<2.求x的取值范圍.

解：⑴由0VX2<2,得-岳&</且。0.

所弧的定義城為(3，Q)U(P>J2}.

￡Lx聲。.特

(2)*(1),解1叫⑸>01<=<￡?

所以所求的定義域力(L歷.

說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)

的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域.關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元

法.(2)是二種類型的綜合.

求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其

定義域，后面還會涉及到.

2.求函數(shù)值域的基本類型和常用方法

函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的.其類型依解析式的特點分可分

三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由

常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域.

3.求函數(shù)解析式舉例

例3.已知xyVO,并且4x?-9y2=36.由此能否確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)?如

果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由.

分析：4x2-9y2=36在解析兒何中表示雙曲線的方程，僅此當(dāng)然不能確定一個函

數(shù)關(guān)系y=f(x),但加上條件xyV0呢？

-fr<Oi

y<0y>0.

因刈>-9yi=36.故又

rr<0.

*>￡>3j或■??<-3.

-石I-4g>新

&--------

森―(r<-3).

因此能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x).其定義域為(-8,-3)u(3,+8).且不難得

到其值域為(-8I,0)U(0,+8).

說明：本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析兒何中方程的內(nèi)在聯(lián)系.任何一個函

數(shù)的解析式都可看作一個方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析

式.求函數(shù)解析式還有兩類問題：

⑴求常見函數(shù)的解析式.由于常見函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，募函數(shù)，指數(shù)函

數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用

待定系數(shù)法確定其解析式.這里不再舉例.

(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定.這要把有關(guān)學(xué)科知識，生活經(jīng)驗與

函數(shù)概念結(jié)合起來，舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分.

(III)函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思

想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方

程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)

來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目

的。

方程思想是：實際問題一數(shù)學(xué)問題一代數(shù)問題一方程問題。函數(shù)和多元方程沒有

什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y=f(x),就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)-y

=0o可以說，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都

是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立

函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用

函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f-'(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、

最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指

數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條

件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問

題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造

出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相

關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

(一)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內(nèi)容.在復(fù)習(xí)中要肯于

在對定義的深入理解上下功夫.

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)"和''形"兩個方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶

性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化.具體要求是：

1.正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)

在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

2.從數(shù)形結(jié)合的角度認識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對函數(shù)性質(zhì)兒何特征的

理解和運用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法.

3.培養(yǎng)學(xué)生用運動變化的觀點分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等

數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.

這部分內(nèi)容的重點是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解.

函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)

性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不

一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要

受到區(qū)間的限制.

對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式

上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(定,f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是:

函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得

函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x,都有

f(x+a)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映.

這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用.根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知

識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求.

1.對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解

例4.下面四個結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通

過原點；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是

f(x)=O(xGR),其中正確命題的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤.

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此②不正確.

若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=O,但不一定xeR,如例

1中的(3),故④錯誤，選A.

說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零.

2.復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u

與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集.

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：

(1)單調(diào)性規(guī)律

如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m,n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間［g(m),g(n)］

(或［g(n),g(m)］)上也是單調(diào)函數(shù)，那么

若u=g(x),y=f(u)增減性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］為增函數(shù)；若u=g(x),

y=f(u)增減性不同，則y=f［g(x)］為減函數(shù).

(2)奇偶性規(guī)律

若函數(shù)g(x),f(x),f［g(x)］的定義域都是關(guān)于原點對稱的，則u=g(x),y=f(u)

都是奇函數(shù)時，y=f［g(x)］是奇函數(shù)；u=g(x),y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一

偶時，y=f［g(x)］是偶函數(shù).

例5.若y=log“(2-ax)在［0,1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.［2,+~)

分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log〃(2-ax)有

意義，即a>0且a7l,2-ax>0.②使log“(2-ax)在［0,1］上是x的減函數(shù).由

于所給函數(shù)可分解為y=log“u,u=2-ax,其中u=2-ax在a>0時為減函數(shù)，所以

必須a>l；③［0,1］必須是y=log“(2-ax)定義域的子集.

解法一：因為f(x)在［0,1］上是x的減函數(shù)，所以f(0)>f(l),

即loga2>logfl(2-a).

所以.故選

2-a>0

解法二：由對數(shù)概念顯然有a>0且aWl,因此u=2-ax在［0,1］上是減函數(shù),

y=log“u應(yīng)為增函數(shù)，得a>l,排除A,C,再令

a=,?=1一&*的定理取4自0,1對第嶇間的子集.

故排除D,選B.

說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個知識點，無論是用直接法，還

是用排除法都需要概念清楚，推理正確.

3.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運用

例6.甲、乙兩地相距Skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/

h,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變

部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義

域；

(2；為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛.

分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本X全程運輸

時間，而全程運輸時間=(全程距離)土(平均速度)就可以解決.

解由己知汽車從甲地到乙地所用時用為m,全程運一沐為

S-Sa

y=a*—?一=S(一+付?

*vv

故所求函數(shù)及其定義域為y=S(±+W),*(0,c］.

V

a>b,故有歹=%?+忱

但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm/h,所以⑵的解決需要

分情況討論.當(dāng)衣時，到*機=電.當(dāng)唇甌可以通過討

論函數(shù)的增減性來解決.

解團依題意S,.b,鄙是正數(shù)，故有39+b0＞2S行.

V

當(dāng)且僅當(dāng)±=E,RJv=電時，上式中等號成立.

vVb

若衣時，.當(dāng)昨房，全程運物林兩小.

若信*時,任取0＜力＜嗎〈0＜白

和'喘

?陽四-vj+如七-專

-S—~—(bvjVj-a).

?1%

由于V]V2>0，v2-Vj>0,并且

[o〈6、VA=bV<a

也士卜卜1**

又S>0,所以S0~~—(l>F|Va-aJ<CO.即

所以當(dāng)A〉。時，畫型&=S(±+hO在區(qū)間c］上是g效.

Vbr

則當(dāng)v=c時，y取最小值.

綜上的o,為使全程運輸環(huán)最小，當(dāng)華＜時，行融廢廢

b

為，當(dāng)^^＞曲.行漿速度應(yīng)為，=Sm/IQ

bb

說明：此題是1997年全國高考試題.由于限制汽車行駛速度不得超過c,因而

求最值的方法也就不完全是常用的方法,再加上字母的抽象性，使難度有所增大.

(二)函數(shù)的圖象

1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法.

2.會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題.

3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.

4.掌握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這

兩種方法是本節(jié)的重點.

運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲IH地連點成線.要把表列

在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處.這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、

變化趨勢等作一個大概的研究.而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等

理論和手段，是一個難點.用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象

為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變換.這也是個難點.

1.作函數(shù)圖象的一個基本方法

例7.作出下列函數(shù)的圖象(l)y象x-2|(x+l)；(2)y=10|lgx|.

分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析

外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進行等價變形.

解：(1)當(dāng)x22時，即x-220時，

y=(B-2)(K+1)=?a

當(dāng)x<2時，即x-2V0時,

7=-(?-2)(K4-l)=<a+x+2=。-乎+*.

所以

—?Y2.

4

這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6)

(2)當(dāng)x21時,lgx20,y=10|lgx|=101Sx=x；

，

當(dāng)OVxVl時，IgxVO,7=10**=10*=10^=-.

這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖7)

說明：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是

否等價，要特別注意X,y的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖象.例如：

一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角

函數(shù)的圖象.

在變換函數(shù)解析式中運用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想.

2.作函數(shù)圖象的另一個基本方法一圖象變換法.

一個函數(shù)圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對稱、旋轉(zhuǎn)等)，得到另一個與之

相關(guān)的圖象，這就是函數(shù)的圖象變換.

在高中，主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換.

(1)平移變換

函數(shù)y=f(x+a)(a#0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a

VO)平移⑸個單位而得到；

函數(shù)y=f(x)+b(bXO)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b

V0)平移⑹個單位而得到.

(2)伸縮變換

函數(shù)y=Af(x)(A>0,AW1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)

伸長(A>1)或縮短(O<A<1)成原來的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到.

函數(shù)y=f(3X)(3>0,3W1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上

各點的犢坐標(biāo)伸長@V8<1)或第矩(8成原木的5,斜坐標(biāo)不變

而得到.

(3)對稱變換

函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖形而得

到.

函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖形而得

到.

函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱的圖形而

得到.

函數(shù)y=f-l(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖

形而得到。

函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸

對稱的圖形而得到.

函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象，然后把在x軸下方的

圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分保持不變而得到.

例8.已知f(x+199)=4x2+4x+3(xCR),那么函數(shù)f(x)的最小值為.

分析：由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式運算量較大，但這里我們注意到，

y=f(x+100)與y=f(x),其圖象僅是左右平移關(guān)系，它們?nèi)〉?/p>

的最大值和最小值是相舁的.由了=41+—+3=4(*+$'+2,立BP

求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.”

說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關(guān)系,

函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途.

(IV)函數(shù)綜合應(yīng)用

函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上進行函數(shù)的綜合應(yīng)用：

1.在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識.在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個由分散到系統(tǒng)，由單一

到綜合的發(fā)展過程.這個過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在應(yīng)

用深化基礎(chǔ)知識的同時，使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展.

2.以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解

決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識.函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思

想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想.此外還應(yīng)注意在解題中運用的分類討論、換元

等思想方法.解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進行--系列等價轉(zhuǎn)化或非等價轉(zhuǎn)化.因此本

課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

3.重視綜合運用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng).函數(shù)是

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運用知識.但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹

立綜合運用知識解決問題的意識是十分重要的.推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)

節(jié)，近幾年高考命題中加強對這方面的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查

是十分必要的.本課題在例題安排上作了這方面的考慮.

具體要求是：

1.在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全而

把握各類函數(shù)的特征，提高運用基礎(chǔ)知識解決問題的能力.

2.掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思

想方法的運用和推理論證能力的培養(yǎng).

3.初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析兒何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運

用知識解決問題的能力.

4.樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運動變化的觀點分析問題.

本部分內(nèi)容的重點是：通過對問題的講解與分析，使學(xué)生能較好的調(diào)動函數(shù)的基

礎(chǔ)知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎(chǔ)知識的理解，深化對函數(shù)思想、數(shù)

形結(jié)合思想的理解與運用.

難點是：函數(shù)思想的理解與運用，推理論證能力、綜合運用知識解決問題能力的

培養(yǎng)與提高.

函數(shù)的綜合運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題.函數(shù)

描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種

刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系.因

此，運動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識是運

用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運用函數(shù)思

想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運用函數(shù)思想的關(guān)鍵.

1.準(zhǔn)確理解、熟練運用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識

在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩

部分.第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部分的重點是能從變量的觀點和集合映

射的觀點理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、

三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì).第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一

部分的運用與發(fā)展.

例9.已知函數(shù)f(x),xGF,那么集合{(x,y)|y=f(x),xGF}C{(x,y)|x=l}

中所含元素的個數(shù)是.()

A.0B.1C.0或1D.1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言.從函

數(shù)觀點看，問題是求函數(shù)y=f(x),xGF的圖象與直線x=l的交點個數(shù)(這是一次

數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認為交點是1個，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟

一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因為函數(shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則

三要素組成的.這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F,但未明確給出1與F的關(guān)

系，當(dāng)IGF時有1個交點，當(dāng)1史F時沒有交點，所以選C.

2.掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力

高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強了，對一.些

典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確

定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證斗、明

函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些2L\問

題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理J\論

證能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是|:十

分重要的.；

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的.對于函『數(shù)

￡&)與8G),令f(x)=g(x),f(x)>g(x)或f(x)圖2V

g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對于某些方程、

不等式的問題用函數(shù)觀點認識是十分有益的；方程、不等式從另一個側(cè)面為研究

函數(shù)提供了工具.

例10.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,+8)

分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2).它

們的交點橫坐標(biāo)飛,顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi)，由此可排除A,D.至于選B還是選C,

由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了.實際上這是要比較「與2的大

小.當(dāng)x=2時，lgx=lg2,3-x=l.由于lg2V1,因此%>2,從而判定與6(2,

3),故本題應(yīng)選C.

說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.數(shù)形結(jié)

合，要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算毛的鄰近兩

個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷.

例11.(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(kWO),若mVn有f(m)>0,f(n)>0,則對于

任意xW(m,n)都有f(x)>0,試證明之；

(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：

若a,b,c￡R且b|<1,則ab+bc+ca>T.

分析：問題(1)實質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(kW0),xe(m,n).若

區(qū)間兩個端點的函數(shù)值均為正，則對于任意xW(m,n)都有f(x)>0.之所以具

有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的.因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手.

(1)證明：

當(dāng)k>0時，函數(shù)f(x)=kx+h在xdR上是增函數(shù)，m<x<n,f(x)>f(m)>0；

當(dāng)k<0時，函數(shù)f(x)=kx+h在xCR上是減函數(shù)，m<x<n,f(x)>f(n)>0.

所以對于任意xe(m,n)都有f(x)>0成立.

(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+l,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+寫x+bc+L則

f(a)=(b+c)a+bc+1.

當(dāng)b+c=0時，即b=-c,f(a)=bc+l=-c2+l.

因為|c|VL所以f(a)=-c2+l>0.

當(dāng)b+cWO時,f(x)=(b+c)x+bc+l為x的一次函數(shù).

因為|c|<l,

f(l)=b+c+bc+l=(l+b)(1+c)>0,f(-l)=-b-c+bc+l=(l-b)(l-c)>0.

由問題⑴對于Ia|VI的一切值f(a)>0,即(b+c)a+bc+l=ab+ac+bc+l>0.

說明：問題⑵的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”.把證明ab+bc+ca>-l轉(zhuǎn)化為證明

ab+bc+ca+1>0,由于式子ab+bc+ca+1中，a,b,c是對稱的，構(gòu)造函數(shù)

f(x)=(b+c)x+bc+l,則f(a)=(b+c)a+bc+l,問題轉(zhuǎn)化為在|a|VI,b|<1,|c|

VI的條件下證明f(a)>0.(也可構(gòu)造下x)=(a+c)x+ac+l,證明f(b)>0)。

例12.定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對任意x,yeR都有

f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證f(x)為奇函數(shù);

⑵若f(k?3，)+f(3，-9，-2)<0對任意x￡R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立.在式子

f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求

f(0)的值.令x=y=O可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0,f(x)是奇函數(shù)得到證明.

⑴證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x,yGR),①

令x=y=O,代入①式，得f(O+O)=f(O)+f(O),即f(0)=0.

☆y=-x,代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有

0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)對任意xWR成立,所以f(x)是奇函數(shù).

(2)解：f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)

在R上是增函數(shù)，又由U)f(x)是奇函數(shù).

f(k?3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3"+9J+2),k?3*V-3*+<+2,

32jc-(l+k)?3，+2>0對任意xWR成立.

令t=3*30,問題等價于t2-(l+k)t+2>0對任意t>0恒成立.

的0=P-(l+k)t+2,其潮播”手.

當(dāng)替<oapk<-i時，燦=2〉o,符合題說

p+k

當(dāng)苧整.對任意t〉QG?〉Om成立。，亍‘°,

1A=(l+k)'TX2C0.

￥S-l<K-1+2^5

綜上所述當(dāng)k<-1+2湎/，眥?3M)+底-9?-2)<0對任意底R恒成立.

說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì).f(x)是奇函數(shù)且在xWR上是增函

數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t2-(l+k)t+2對于任意t>0恒成立.對二次

函數(shù)f(t)進行研究求解.本題還有更簡捷的解法：

分離系數(shù)由k-3、V-3*+91+2得k<3K

武匕？+福-旭成立，只要使k<2^-l.

上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎.

四、強化訓(xùn)練

1.對函數(shù)/(X)=3/+QX+/?作代換個g(t),則總不改變/'(X)值域的代換是

A.^(0=log,tB.g(f)=(；)'C.g(t)=(t—1)"D.g(t)=cost

2

3.已知命題p：函數(shù)y=log05(x+2x+a)的值域為R,命題q：函數(shù)y=-(5-2a)*

是減函數(shù)。若P或q為真命題，P且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

A.aWlB.a<2C.l<a<2D.aWl或a22

4.方程lgx+x=3的解所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+8)

5.如果函數(shù)f(x)=x?+bx+c對于任意實數(shù)t,都有f(2+t)=f(2-t),那么

()

A.f(2)<f(l)<f(4)B.f(l)<f(2)<f(4)

C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)

6.已知函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則方程f(x)=a(a是常數(shù))()

A.有且僅有一個實根B.至多一個實根C.至少一"^實根D.不同于以上

結(jié)論

IJI

7.已知sin。+cos。,0G（一，n）,貝Utan0的值是（）

52

4343

A.B.