2021年數(shù)學(xué)中考一輪單元總復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)精準(zhǔn)突破：專題27相似（教師版）

專題27相似

上一單元知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)

知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形定義

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形?；橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切?/p>

知識(shí)點(diǎn)2：相似三角形的判定：

定理L平行于三角形一邊的直線（或兩邊的延長線）和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

定理2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

定理3.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

定理4.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

定理5.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

定理6.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角

三角形也相似。

知識(shí)點(diǎn)3：相似三角形的性質(zhì)：

性質(zhì)1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑

等）的比等于相似比。

性質(zhì)2.相似三角形周長的比等于相似比。

性質(zhì)3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。

知識(shí)點(diǎn)4：位似

1.位似圖形、位似中心、位似的定義

每幅圖的兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似

圖形，這點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)我們說這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似。

2.位似比

兩個(gè)相似圖形的相似比，成為位似比。

3.位似圖形的性質(zhì).

4.要知道用位似將一個(gè)圖形放大或者縮小的辦法。能說出平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似之間的異同,

并舉出一些他們的實(shí)際應(yīng)用的例子。

-重難點(diǎn)及日解讀

一、用思維導(dǎo)圖記憶本單元知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系

二、以一道幾何題解法為例，說明添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧.

已知：如圖，AABC中，AB=AC,BD_LAC于D.

求證：BC2=2CD?AC.

整體分析：欲證BC2=2CD?AC,只需證匹=任.但因?yàn)榻Y(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似

2CDBC

三角形，因此需要結(jié)合圖形特點(diǎn)及結(jié)論形式，通過添加輔助線，對(duì)其中某一線段進(jìn)行倍、分變形，構(gòu)造出單

一線段后，再證明三角形相似.由“2”所放的位置不同，證法也不同.

證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，我們很容易想到，在AC截取DE=DC,（或者說在AC上取一點(diǎn)E,使得CD=DE,

這樣就有CE=2CD）

?；BD_LAC于D,

.?.BD是線段CE的垂直平分線,

；.BC=BE,/.ZC=ZBEC,

又?:AB=AC,

二ZC=ZABC.

ABCE^AACB.

.BCAC.BCAC

"CE-BC2CD~~BC

.\BC2=2CD?AC.

證法二（構(gòu)造2AC）：如圖，在CA的延長線上截取AE=AC,連結(jié)BE,得到AEBC.

E。

"c

?.?AB=AC,

???AB=AC=AE.

AZEBC=90",

又???BD_LAC.

/.ZEBC=ZBDC=ZEDB=90°,

AZE=ZDBC,

AAEBC^ABDC

CDBCCDBC

ABC2=2CD?AC.

證法三（構(gòu)造!8C）：如圖，取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則EC=-BC.

22

A

AAE1BC,ZACE=ZC

二ZAEC=ZBDC=90°

AAACE^ABCD.

1

...g=/即麥BC=".

CDBCCDBC

.\BC2=2CD?AC.

證法四（構(gòu)造，BC）：如圖，取BC中點(diǎn)E,連結(jié)DE,則CE=，BC

22

A

VBD±AC,；.BE=EC=ED,

.*.ZEDC=ZC

又；AB=AC,.".ZABC=ZC,

/.△ABC^AEDC.

.BCAC刖BCAC

CDECCD1D「

/.BC2=2CD?AC.

說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧.在解題中方法要靈活，思路要開闊.

對(duì)點(diǎn)例題解析

【例題1】(2020?重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(1,2),8(1,1),(7(3,

1),以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△比尸，使△麻與△46C成位似圖形，且相似比為2：1,則線段

8的長度為()

A.V5B.2C.4D.2V5

【答案】D

【解析】把4C的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到〃、廠的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段站的長.

?以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△龍尸，使△龐萬與△45C成位似圖形，且相似比為2：1,

而A(1,2),C(3,1),

：.D(2,4),F(6,2),

:.DF=J(2-6產(chǎn)+(4-2尸=2V5.

【例題2】(2020?鹽城)如圖，BC//DE,目.BC<DE,AgBC=4,4班龐=10.則一的值為

E.

B

【解析】2

【分析】由平行線得三角形相似，得出A?DE,進(jìn)而求得力8DE,再由相似三角形求得結(jié)果.

【解析】YBC//DE,

:.XADEsXABC,

#ADDEAE]4DEAE

??,I、J"——"=一""~",

ABBCACAB4AC

??"5?鹿=16,

??3班〃￡=10,

：.AB=2,龐=8,

?AEDE8

?■------—--------—----—-乙O

ACBC4

【例題3】（輔助線添法）已知在aABC中，AD是NBAC的平分線.

求證：AB/AC=BD/CD

【答案】見解析。

【解析】比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時(shí)，

可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生.此題中AD為AABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可

考慮過定點(diǎn)作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比

較所證的比例式與這個(gè)比例式的關(guān)系，去探求問題的解決.

證法1：如圖，過C點(diǎn)作CE〃AD,交BA的延長線于E.

在4BCE中，DA/7CE,

.\BD/DC=BA/AE

又：CE〃AD,

,N1=N3,N2=N4,且AD平分NBAC,

<,?Z1=Z2,于是N3=N4,

,AC=AE.

/.BD/DC=BA/AC

證法2：由于BD、CD是點(diǎn)D分BC而得，故可過分點(diǎn)D作平行線.

如圖，過D作DE〃AC交AB于E,則N2=/3.

■:Z1-Z2,二Z1=Z3.

于是EA=ED.

BEBD

又..?西一而，

ABBEBE

?~AC~~ED~~EA

??9

ABBD

...~AC~~CD

證法3：欲證式子左邊為AB：AC,而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行

的位置.如圖，過B作BE〃AC,交AD的延長線于E,則/2=NE.

*/Z1=Z2,

,Z1=ZE,AB=BE.

BDBE

又..?而一就,

ABBD

~AC~~CD

證法4：由于AD是/BAC的平分線，故可過D分別作AB、AC的平行線，構(gòu)造相似三角形求證.如圖，過D

點(diǎn)作DE〃AC交AB于E,DF〃AB交AC于F.

A

B

DC

易證四邊形AEDE是菱形.則DE=DF.

由△BDES^DFC,得

BDBEBE

~DC~~DF~~DE

BEAB

乂DE-AC,

ABBD

■7c-DC

單元核心檢測(cè)

《相似》單元精品檢測(cè)試卷

本套試卷滿分120分，答題時(shí)間90分鐘

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（2019湖南邵陽）如圖，以點(diǎn)0為位似中心，把AABC放大為原圖形的2倍得到4A'B'C',以下說法

中錯(cuò)誤的是（）

A.AABC^AA*B'C

B.點(diǎn)C、點(diǎn)0、點(diǎn)C'三點(diǎn)在同一直線上

C.AO：AA'=1：2

D.AB〃A'B'

【答案】C

【解析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而分別分析得出答案.

解：???以點(diǎn)0為位似中心，把△力比'放大為原圖形的2倍得到B'C,

：.XABCs[\N5'1,點(diǎn)，、點(diǎn)。、點(diǎn)C'三點(diǎn)在同一直線上，AB//A'夕，

A0-.0A'=1：2,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2020?牡丹江）如圖，在矩形48C力中，AB=3,仇=10,點(diǎn)后在8c邊上，DF1AE,垂足為五.若"'=

6,則線段旗的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

AFADDF

【分析】證明△酗，得到——=—=—,求出AF,即可求出AE,從而可得EF.

BEAEAB

【解析】???四邊形46（力為矩形，

:.AB=CD=3,BC=AD=10,AD//BC,

：.NAEB=NDAF,

：.L.AFD^l\EBA,

.AFADDF

"BE~AE~AB'

,:DF=6,

/.AF=V102—62=8,

.8106

BE~AE~31

：.AF=59

：.EF=AF-AE=8-5=3.

3.（2019?海南省）如圖，在心△/回中，NC=90°,35,BC=4.點(diǎn)尸是邊力。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作加

〃AB交BC于點(diǎn)、Q,〃為線段網(wǎng)的中點(diǎn)，當(dāng)初平分時(shí)，"的長度為（）

旦B.比C.空D.絲

A.13131313

【答案】B.

【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理求出/C,根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到/儂=/“，得到麴=初，根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

VZf=90°,力餐5,BC=4,

??"〃=、AB2_BC2=3,

■:PQ//AB,

：./ABA/BDQ,又/ABA/QBD,

：.ZQBD=4BDQ,

:.QB=QD,

:.Q—2QB,

'：PQ//AB,

:.△CPgXCAB,

.CP=CQ=PQpnCP_4-QB_2QB

"CACBAB"34"s"

解得，g竺,

13

：.AP^CA-g匹

13

4.（2020?嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△A48的頂點(diǎn)為。（0,0）,A（4,3）,B（3,0）.以點(diǎn)。為位似

1

中心，在第三象限內(nèi)作與△物6的位似比為I的位似圖形△M?,則點(diǎn)C坐標(biāo)（）

44

A.(-1,-1)B.(一-1)C.(-l,—可)D.(-2,-1)

【答案】B

【分析】根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以一爭(zhēng)即可.

1

【解析】:以點(diǎn)。為位似中心，位似比為9

而力（4,3）,

：./1點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)「的坐標(biāo)為（一*-1）.

5.（2020?安徽）如圖，RtZWC中，NC=90°，點(diǎn)〃在力。上，2DBC=NA.若47=4,cosA=則劭的

長度為（)

【答案】C

【分析】在△/8C中，由三角函數(shù)求得再由勾股定理求得比；最后在△伙》中由三角函數(shù)求得破.

4

【解析】'.'ZC=90°,力。=4,cos4=百，

Ar

：.AB=-^r=5

cosAf

22

：,BC=\/AB-AC=3f

?：4DBC=4A.

pr4

cosZDBC=cosZA==耳，

：.BD=3x]5=芋15

44

6.（2020?無錫）如圖，等邊的邊長為3,點(diǎn)〃在邊然上，AD=\,線段尸0在邊的上運(yùn)動(dòng)，PQ=\,

有下列結(jié)論：

①夕與磔可能相等；

②△/Q〃與△8（"可能相似；

_31V3

③四邊形也刈面積的最大值為-77-；

16

④四邊形尸30周長的最小值為3+緩.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（)

D

o

B

A.@@B.②④C.①③D.②③

【答案】D

【解析】①利用圖象法可知">0Q,故①錯(cuò)誤.

②?.,/{=/慶=60°,，當(dāng)NADgNCPB時(shí),/\ADQ^/XBPC,故②正確.

③設(shè)則四邊形尸50的面積=x3-—axxx堂x2一看x3X(3-x—■=')x*B'+5fx，

41ZLLLZZ0O

的最大值為3-1=|,

；.=細(xì)，四邊形尸龍。的面積最大，最大值=曙，故③正確，

Zio

如圖，作點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)〃，作〃'FUPQ,使得〃'F=PQ,連接〃交用于點(diǎn)〃，此時(shí)四邊形戶

CD'Q'的周長最小.

過點(diǎn)C作CHV1)'尸交D'廠的延長線于H,交4?于J.

由題意，DD'=24>sin60。=*，HJ=｝：DD'=苧，孥，qTT—T，

ZZ-LZZ4-4,

：.CH=CJ+HJ=^-,

...四邊形/的'的周長的最小值=3+零，故④錯(cuò)誤。

7.（2020?成都）如圖，直線/I〃12〃13,直線然和"'被k，心所截，力6=5,BC=6,EF=4,則如的

長為（）

10

A.2B.3C.4D.—

3

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【解析】???直線人〃/2〃人

.竺DE

??二,

BCEF

,?38=5,BC=6,EF=4,

.5DE

.?一=,

64

.310

??Dh=

8.（2020?哈爾濱）如圖，在中，點(diǎn)〃在比'邊上，連接力〃，點(diǎn)月在力。邊上，鈍點(diǎn)、E作.EF"BC,交力。

于點(diǎn)凡過點(diǎn)￡作用〃相，交回于點(diǎn)G,則下列式子一定正確的是（）

AEEFEFEGAFBGCGAF

EC~CDCD~ABFD~GCBC-AD

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)進(jìn)行解答便可.

【解析】?.?以〃6G

,AFAE

?.=>

FDEC

?:EG"AB,

AEBG

??,—,

ECGC

.AFBG

"FD一GC

9.(2020?遵義)如圖，的頂點(diǎn)4在函數(shù)》［(x>0)的圖象上，NA&)=90°,過力。邊的三等分點(diǎn)

M、N分別作x軸的平行線交46于點(diǎn)只Q.若四邊形網(wǎng)祀的面積為3,則A的值為()

【答案】D

【分析】易證△4嶺^44吐△月陽由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可求出惚的面積,

進(jìn)而可求出△力刃的面積，則力的值也可求出.

【解析】

?：NQ//MP〃OB,

：.XANQs叢國叱4A0B,

:從/V是曲的三等分點(diǎn),

.AN1AN1

"AM~2AO~3’

.S&ANQ_1

S"MP4

:四邊形物8的面積為3,

.SRANQ1

3+S—NQ4

???也兒ip=1，

—^—=(―)2=~

S&AOB40

*,*S&\OB=9，

??k=2Sg()B=18

10.（2020?銅仁市）如圖，正方形/小力的邊長為4,點(diǎn)后在邊上，龍=1,/如洶=45°,點(diǎn)尸在射線4獷

上，且"三VL過點(diǎn)川乍力〃的平行線交胡的延長線于點(diǎn)〃，〃與力〃相交于點(diǎn)￡連接少。、EG、EF.下列

17

結(jié)論：①△￡?,的面積為了；②的周長為8；③Ed=D4+B3其中正確的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【答案】C

【解析】如圖，在正方形/比力中，AD//BC,AB=BC=AD=\,/B=NBAD=90°,

:./HAQ90",

'：HF//AD,-90°,

,?NHAF=90°-NZHk45°,

:.NAFH=NHAF.

'：AF=V2,:"HF=\=BE.:.EIHAE+AUB-Bm=BC,

二△仍儂△物1（弘S）,:.EF=EC,2HEF=2BCE*

■:NBCE+ZBEC=9Q°,:.HEF+NBEC=9Q°,:.NFEC=9Q°,

...△0%是等腰直角三角形，

在Rt△鹿中，BE=\,80=4,

6d=17,

SAHC尸EC=,故①正確；

過點(diǎn)尸作FQLBC于Q,交AD于P,

勿=90°=AH=ZHAD,

???四邊形4況/是矩形，

'：AH=HF,；.矩形是正方形，：.AP=PF=AIf=\,

同理：四邊形力6少是矩形，

:.PgAB=4,BQ=AP=\,FQ=FKPg3,CQ=BC-BQ=3,

AD//BC,：.IXFPGS[\FQC,

FPPG1PG?8

—=—,=—，:.PG=^p,\AG—AP^PG=-E，

FQCQ5355

,_________17

在RtZ\￡4G中，根據(jù)勾股定理得，EG=7AG2+枳=寺,

p17

???△/%的周長為力價(jià)小加三1+管+3=8,故②正確;

??"D=4,:.DG=AD-AG=^,

144,.169

:?D$+BU=芯+1=君

,:Ed=l)2斗嘿,

52525

:.超大W+BF,故③錯(cuò)誤,

.?.正確的有①②,

二、填空題(每空3分，共30分)

11.(2019廣西百色)如圖，△45C與△/夕C是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若點(diǎn)4(2,2),B

(3,4),C(6,1),B(6,8),則△480的面積為?

y.

【答案】18.

【解析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案.

與C是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，點(diǎn)/(2,2),B(3,4),(7(6,1),B(6,

8),

：.A'(4,4),C(12,2),

BC的面積為：6X8--1-X2X4-yX6X6-*X2X8=18.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換以及三角形面積求法，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

12.(2020?湖州)在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)

的三角形稱為格點(diǎn)三角形.如圖，已知Rt△/歐是6X6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與Rt4

力比'相似的格點(diǎn)三角形中.面積最大的三角形的斜邊長是.

【解析】5&

【解析】?..在中，AC=1,BC=2,

：.AB=V5,AC：BC=\-.2,

.?.與RtZ\49C相似的格點(diǎn)三角形的兩直角邊的比值為1：2,

若該三角形最短邊長為4,則另一直角邊長為8,但在6X6網(wǎng)格圖形中，最長線段為6或，但此時(shí)畫出的直

角三角形為等腰宜角三角形，從而畫不出端點(diǎn)都在格點(diǎn)且長為8的線段，故最短直角邊長應(yīng)小于4,在圖中

嘗試，可畫出比三4U,EF=2反,〃尸=5魚的三角形，

..叵2>/105\/2標(biāo),

?1

：.4ABCsXDEF,

:.NDEF=NC=9Q0,

此時(shí)的面積為：V10X2VT0^2=10,△〃跖為面積最大的三角形，其斜邊長為：5位.

13.（2020?無錫）如圖，在RtA48C中，ZACB=90°,AB=\,點(diǎn)、D,6分別在邊版ACk,且DB=2AD,

AE=3EC,連接陽CD,相交于點(diǎn)0,則△46。面積最大值為.

【解析】*

【解析】如圖，過點(diǎn)、D作DF"AE,

DFBD2

則ml——=——=-

AEBA3

?E>_C_1

?—，

AE3

:?DF=2EC,

：.D0=20C,

：.DO=^2DQ

.22r

?*S&A后qS'AOC，S△瞅產(chǎn)含力殷、，

.2r

S&AB^^S^ABCy

VZJG?=90°,

???。在以4?為直徑的圓上，設(shè)圓心為G,

當(dāng)偌U6時(shí)，△板的面積最大為：）4X2=4,

2Q

此時(shí)△力〃。的面積最大為：-X4=

14.（2019?浙江寧波）如圖所示，RtAABC中,ZC=90°,力。=12,點(diǎn)〃在邊加上，0）=5,劭=13.點(diǎn)

P是線段力〃上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的。尸與△/歐的一邊相切時(shí)，力尸的長為.

、B

cD

【答案】6.5或3后.

【解析】：在應(yīng)△46。中，/C=90°,/C=12,B史CA\8,

.?"6=4]22+182=6任,

在位△4%中，ZC=90°,AC=12,3=5,

/,J/^VAC2+CD2=13,

當(dāng)。尸于比'相切時(shí)，點(diǎn)一到a'的距離=6,

過一作PH工BC于H,

則陽=6,

?.?/C=90°,

C.ACVBC,

：.PH//AC,

，△）羽s△加心

.PD_PH

"DA^AC'

?.?一PD-_--6-,

1312

:,PD=6.5,

???力Q6.5；

當(dāng)。戶于相相切時(shí)，點(diǎn)一到49的距離=6,

過戶作PGLAB^G,

則PG=6,

?：AD=BD=13,

:?/PAG=/B,

,:NAG—NC=90°,

：./\AGP^/\BCA,

.APPG

"AB=AC'

.AP,6

..訪IF

."々3后，

?.?徵=5<6,

.?.半徑為6的。。不與△45C的/1C邊相切,

綜上所述，/JP的長為6.5或3萬，

故答案為：6.5或3任.

15.2019黑龍江省龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片/8GZACB=W°,腦=10,力。=6,點(diǎn)〃為a1邊上

的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)。的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊相上的點(diǎn)￡處，當(dāng)△瓦坦是直角三角形時(shí)，則切

的長為.

【答案】3或上24.

7

【解析】在4BDE中，NB是銳角，，有兩種可能，NDEB或NEDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.

如圖1,NDEB是直角時(shí)，VZ^6B=90°,力8=10,AC=6,；.BC=J10?-6?=8,設(shè)CD=x,則BD=8-x,由折疊

ACDF6r

知CD=ED=x,???/4SZ=NDEB=90°,AABED^ABCA,BP—=—,解得x=3;

ABDB108-x

ACFD6r?4

如圖2,NEDB是直角時(shí)，EDZ/AC,.,.ABED^ABAC,A—=—，即？=——，解得x二一，綜上，CD的

CBDB88—x7

長

為3或上24.

7

圖1圖2

16.（2019?山東泰安）如圖，矩形力靦中，AB=3巫,a'=12,E為4。中點(diǎn),尸為4?上一點(diǎn)，將原沿

切折疊后，點(diǎn)4恰好落到〃1上的點(diǎn)G處，則折痕"的長是.

【答案】2丁元.

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線，連接紙構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果.

連接利用矩形的性質(zhì)，求〃￡的長度，證明發(fā)7平分/以方再證/從。=90°,最后證

EDC,利用相似的性質(zhì)即可求出"的長度.

如圖，連接

???四邊形4比。為矩形，

.?.N4=Ng90°,BC=AD=12,DC=AB=3瓜,

?:E為仞中點(diǎn),

：.AE=DE=^AD=&

2

由翻折知，△力￡7%△優(yōu)尸，

:?AE=GE=6,』AEF=/GEF,ZEGP=ZEAF=90°=/〃,

:?GE=DE,

:?EC平?分乙DCG,

：.ZDCE=ZGCEf

■:/GEC=9T-NGCE,N〃￡C=90°-4DCE,

GEC=/DEC,

：.ZFEC=ZFE（^ZGEC=^X180°=90°,

2

14FEC=/D=9G°

又Y4DCE=2GCE,

：?l\FECs/\EDC,

?FEEC

"DE"DC'

V￡-6，=VDE2+DC2==a2+（研）2=3匹,

.FEsVIU

6376

:.FE=2/

AED

K

B

17.（2019江蘇常州）如圖，在矩形被力中，3/8=3而.點(diǎn)尸是段的中點(diǎn)，點(diǎn)￡?在比'上，CE=2BE,

點(diǎn)M、4在線段以上.若△月網(wǎng)是等腰三角形且底角與/〃或相等，則."脈=.

【答案】6.

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)

等幾何知識(shí)點(diǎn).首先由勾股定理，求得劭=10,然后由廂.點(diǎn)P是4?的中點(diǎn)，點(diǎn)E在加

上，CE=2BEn,求得如==叵,龍=2而，這樣由tanN&%=2C=L；第四步過點(diǎn)一作也功于點(diǎn)

2EC2

H,在版上依次取點(diǎn)〃、N,度MH=22PH,于是因此△咫那是所求符合條件的圖形：第五步由△》叫△

PH（加

DBA,得二PH三=p衛(wèi)n，11/|]/I-7==7^—得止三a，干是MN=4PH=6,本題答案為6.

BABDV10102

18.（2019?山東省濱州市）如圖，口/及力的對(duì)角線4C,初交于點(diǎn)“CE平分NBCD交AB千點(diǎn)、E,交劭于點(diǎn)

F,且/48C=60°,AB=2BC,連接您下列結(jié)論：?EOLAC-,②題械=4題謝③〃■:浙折：7；④而

=OF-DF.其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③④.

【解析】丁四邊形力頗是平行四邊形,

:?CD〃AB,OD=OB,OA=OC

：.ZDC^ZABC=180°,

VZABC=&0°,

：.ZDCB=120°,

'：EC平分/DCB,

ECB=L/DCB=6G。,

2

:?/EBC=ZBCE=4CEB=60Q,

??.△R%是等邊三角形，

:.EB=BC,

■:AB=2BC,

:?EA=EB=EC,

：.ZACB=90°,

?：OA=OC,EA=EB,

：.OE//BC,

：.ZAOE=ZACS=90°,

：.EOLAa故①正確，

?：0E〃BC,

：,XOEFS/\BCF,

.OE=OF=1

"BCFBT

/.OF=^-OB,

3

**?S^AOD=SMO(=35AOCF，故②錯(cuò)誤，

設(shè)BC=BE=EC=a,則4Q2a,力C=?a,OD^

:.BA?,

/.AC：BD=yJ~^d：a=721：7,故③正確，

?.?OF=L()B=?a,

36

：.BF=Jl.a,

3

.272nrnrW/V?.W、72

..BDrF=—a,02DF=^-a?^-a)=—a,

96269

:.Bp=O戶DF,故④正確，

故答案為①③④.

19.（2019四川瀘州）如圖，在等腰口△/%中，/C=90°,47=15,點(diǎn)6在邊紡上，CE=2EB,點(diǎn)。在

邊四上，CDLAE,垂足為尸，則A9的長為.

【答案】9V2

【解析】過〃作DHLAC于H,

???在等腰。中，Zr=90°,力。=15,

：.AC=BC=15,

：.ZCAD=45°,

:,AH=DH,

：.C//=15-D/L

,/CFLAE,

：.NDHA=4DFA=9G0,

，乙HAF=4HDF,

:、MACEs△DHC,

.DHCH

?.二,

ACCE

?：CE=2EB,

：.CE=\Q,

DH15-DH

??—―,

1510

:,DH=9,

:,AD=90,

故答案為：9V2.

20.（2019?四川省涼山州）在口力靦中，￡是力。上一點(diǎn)，且點(diǎn)￡將助分為2：3的兩部分，連接BE、然相

交于F，則S^AEFZSMBF是?

【答案】4：25或9：25.

【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比

的平方是解題的關(guān)鍵.

分4AED=2：3、AE-.ED=3：2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

①當(dāng)4公做=2：3時(shí)，

???四邊形力時(shí)是平行四邊形，

C.AD//BC,AE：BC=2：5,

:.XAEFsMCBF,

StxAupi￡\「的=(—?)2=4：25：

5

②當(dāng)/EED=3：2時(shí)，

同理可得，礪物S/\a/=(―)"=9：25。

5

三、解答題(6個(gè)小題，每題10分，共60分)

21.(2020?荷澤)如圖1,四邊形/時(shí)的對(duì)角線/G加相交于點(diǎn)。，OA=OC,OB=OACD.

(1)過前A作AE〃DC交BD于苴E,求證：AE=BE；

(2)如圖2,將△/勿沿翻折得到△仍九

①求證：BD//CD-,

②箱AD〃BC,求證：CF=2O?BD.

ADr

圖1圖2

【解析】見解析。

【解析】（1）證明：:力加

，/CDO=4AE0,4EA0=4DC0,

又?:OA=OC,

:.MAO恒XCOD(44S),

：.CD=AEfOD=OE,

?：OB=OE+BE,OB=ONCD,

:?BE=CD,

：.AE=BEx

(2)①證明：如圖1,過點(diǎn)力作力后〃〃。交班于點(diǎn)反

由（1）可知AE=BE,

：.NABE=/AEB,

??,將沿翻折得到△力加，

"ABD=/ABD,

:"ABD=/BAE,

：,B￡f//AE,

丈：AEHCD

：.BD//CD.

②證明：如圖2,過息/I作械〃DC交助于點(diǎn)E,延長四交8C于點(diǎn)色

■:AD//BC,BD//AE,

四邊形A0跖為平行四邊形.

ZZ/=NAFB,

:將△/即沿歷翻折得到.

:.ND=NADB,

二NAFB=AADB,

又.：/AEg/BEF,

:.△AED^XBEF,

.AEBE

??—,

DEEF

、：AE=CD,

.CDBE

??~~~~—?

DEEF

,:EF〃CD,

:.△BEFSXBDC,

?BEBD

?.—?

EFDC

?_CDBD

??,

DECD

：.Ca=DE?BD,

Y/\A0曜ACOD,

：.OD=OE,

:.DE=20D,

：.Cd=20I>BD.

22.(2020?武漢)問題背景如圖(1),已知△/LBCs^ADE,求證：△/及5△/2；

嘗試應(yīng)用如圖(2),在△』必和中，/%。=N的夕=90°,4ABC=ZADE=3Q：〃'與龍相交于點(diǎn)

ADr-DF

E點(diǎn)〃在優(yōu)邊上‘訪=6求方的值；

拓展創(chuàng)新如圖(3),〃是△4?。內(nèi)一點(diǎn)，NBAD=NCBD=30°,NBDC=90°,43=4,AC=2>/3,直接寫出

/〃的長.

I

上」工

(1)(2)(3)

【解析】見解析。

【解析】問題背景

證明：?:XABCS/XADE、

ABAC

：.一=一，4BAC=4DAE,

ADAE

ABAD

：.ZBAD=ACAE,一=一，

ACAE

:.XABD^XACE、

嘗試應(yīng)用

解：如圖1,連接￡乙

圖1

*：/BAC=NDAE=90°，/ABC=/ADE=3G°,

:.XABCSMADE、

由（1）知△力劭s△力陽

AEAD

V3,4ACE=NABD=/ADE,

EC-BD

在RtZX/l龐中，N4^=30。,

ADADAE

.—x-=V3xy/3=3.

*ECAECE

?:/ADF=/ECF,ZAFD=/EFC,

:?△ADFSXECF,

DFAD

=一=3.

CFCE

拓展創(chuàng)新

解：如圖2,過點(diǎn)4作4?的垂線，過點(diǎn)〃作力〃的垂線，兩垂線交于點(diǎn)機(jī)連接以人

圖2

VZ^Z?=30o,

???NZMQ600,

?,.N4M=30°,

???/AMD=/DBC,

又Y/ADM=/BDC=9V,

???ZWC's△極鞏

.BDDC

?'MD-DA

又/BDC=/ADM,

???/BDO/CDM=/AD出4ADC,

貨/BDM=4CDA,

，△做吐△血

BMDM

：.—=—=<3r,

CAAD

VJC=2V3,

W2gxb=6,

：.AJf=7BM2—AB2=V62-42=2V5,

：.AD=^AM=VS.

ADAzD

23.（2。2。?南京）如圖‘在△腦和SU中，A〃分別是腿/,月上一點(diǎn)，

,CDACAB,…

(1)當(dāng)「~~r=—―7=一，~7時(shí)，求證△4比。/\4BC.

C，D'A"CfA'B'

證明的途徑可以用下面的框圖表示，請(qǐng)?zhí)顚懫渲械目崭?

CDACBC

(2)當(dāng)丁-7=十下=十丁時(shí)，判斷△力■與△/月是否相似，并說明理由.

CDAC'B'C‘

【解析】見解析。

ADA/D/

【解答】(1)證明：???)=丁丁，

ABA'B'

.ADAB

'D'_A，B，，

CDACAB

?「0，一A，U~A'B'9

.CD4cAD

?飛/D，-4/C，-4'O'，

:.XADCsX/ffC,

?,.N4=N4,

AC______ZB

'A"C7-A'B'，

:./\ABCs/\A'B'C.

ACAD

故答案為：77^,NN=N4.

A/CA'D

(2)如圖，過點(diǎn)如D,分別作小〃比；ffe〃9C,DE交AC于E,aE'交A'。于E'.

,:DE〃BC,

:.XADEsXABC,

ADDEAE

AB~BC~AC

4'DD/E/4'E

同理,

A'BB'C'~AfC

ADA/O

AB~A7B

DEO/E

BC-B'C

DEBC

—f

?R'E'B'C'

同理，黑_A'E，

<r*C一A，U

.AC-AEA/C7EfECEfCf

即—

ACA'c，ACAfCf

ECAC

??E，C，~A'C

CDACBC

C'D'-A，L-B，C

CDDEEC

C'D'_D，E'-E，C

：./\DCE^/\D'CE',

：.4CED=乙CE'D',

'：DE//BC,

:"CE屏NACB=9Q°,

同理，AC