華師大版七年級(jí)下多邊形三角形2三角形的內(nèi)角和與外角和一等獎(jiǎng)

《三角形的內(nèi)角和與外角和》第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能：1、理解三角形的內(nèi)角和定理及推理、外角的性質(zhì)、外角和定理；2、學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單的說(shuō)理來(lái)計(jì)算三角形相關(guān)的角。過(guò)程與方法：經(jīng)歷三角形的內(nèi)角和定理及推理、外角的性質(zhì)、外角和定理的探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，觀察能力，總結(jié)能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅。【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和定理及推理、外角的性質(zhì)、外角和定理。難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和與外角和定理的說(shuō)理過(guò)程?！窘虒W(xué)方法設(shè)計(jì)】一、教法本節(jié)課主要通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，探索得出三角形的內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)及三角形外角和。對(duì)于三角形的內(nèi)角和，采用了拼接和說(shuō)理兩種方法，讓學(xué)生初步體會(huì)得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論可以用觀察實(shí)驗(yàn)的方法，也可以用數(shù)學(xué)推導(dǎo)說(shuō)理的方法。要啟發(fā)學(xué)生用三角形內(nèi)角和來(lái)說(shuō)明外角的兩條性質(zhì)與外角和定理。使學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程后，領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用，以及在探索過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是，敢于提問(wèn)的科學(xué)態(tài)度；同時(shí)在對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的不同解決方法探索中，開拓思維，提升學(xué)生的能力。二、學(xué)法在學(xué)習(xí)過(guò)程中，注意從實(shí)際出發(fā)，學(xué)會(huì)用拼圖和說(shuō)理兩種方法探索得到三角形內(nèi)角和定理，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)推理予以證明；在此基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)推理證明三角形外角的性質(zhì)和外角和定理?！窘虒W(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】一、情境引入請(qǐng)同學(xué)們回憶小學(xué)學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的探索過(guò)程；我們今天來(lái)驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理。

實(shí)驗(yàn)：如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角為∠BAC,∠1,∠2.剪下∠1,∠2，將他們與第三內(nèi)角拼在一起。

可以發(fā)現(xiàn)：三個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)平角。思考：還有其他的拼法嗎？二、探究新知：1、三角形內(nèi)角和定理：由上可得出結(jié)論1：三角形內(nèi)角和等于180°.現(xiàn)在我們能用說(shuō)理的方法來(lái)說(shuō)明這個(gè)結(jié)論正確嗎？

已知：如圖，△ABC證明：∠BAC+∠1+∠2=180°。

證明：延長(zhǎng)CA到D，以A為頂點(diǎn)在CD左側(cè)作∠DAE=∠1,則AE∥BC

∵

AE∥BC

∴∠2=∠EAB

又∵∠BAC+∠DAE+∠EAB=180°

∴∠BAC+∠1+∠2=180°2、直角三角形兩銳角的關(guān)系：思考：直角三角形的兩個(gè)銳角有什么關(guān)系呢？你能說(shuō)明理由嗎？

∵∠A+∠B+∠C=180°,

∠C=90°

∴∠A+∠B=90°結(jié)論2：直角三角形兩銳角互余。例題1

如圖,AC、BD相交于點(diǎn)O,

∠A+∠B=∠C+∠D嗎？為什么？解：∠A+∠B=∠C+∠D理由：∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°

∴∠A+∠B=180°-∠AOB,∠C+∠D=180°-∠COD

又∵∠AOB=∠COD

∴∠A+∠B=∠C+∠D

練一練：（1）根據(jù)下圖填空：

（1）

（2）

（3）A、n=27°,

B、x=29°,

C、y=59°（2）在直角△ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=

90°3、三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系：

如圖，畫△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線,得到∠1.

∠1是△ABC的一個(gè)外角,∠ABC是與∠1相鄰的內(nèi)角,∠A和∠C是與∠1不相鄰的內(nèi)角思考：∠A、∠C與∠1有什么數(shù)量關(guān)系呢?

∵∠A+∠C+∠ABC=180°，

∴∠A+∠C=180°-∠ABC；

又∵∠1+∠ABC=180°，

∴∠1=180°-∠ABC；

∴∠1=∠A+∠C不難看出：∠1﹥∠A，∠1﹥∠C想一想：怎樣用文字來(lái)表達(dá)這兩個(gè)結(jié)論呢？三角形外角的性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形外角的性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。練一練：（1）求圖中x和y的值：4、三角形的外角和：（1）三角形外角和的定義：與三角形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的外角分別有兩個(gè)，這兩個(gè)外角是對(duì)頂角。從與每個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加，得到的和稱為三角形的外角和。如圖，∠1+∠2+∠3就是△ABC的外角和。（2）推理：∵∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°,∠3+∠ACB=180°

三式相加：∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=180°×3=540°

又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠1+∠2+∠3=360°結(jié)論3：三角形的外角和等于360°.思考：還有其他方法說(shuō)明這一結(jié)論嗎？你能利用下圖說(shuō)明這個(gè)結(jié)論嗎？如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC∴∠3=∠EAD,∠2=∠BAD∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠EAD+∠BAD=360°.例題2：如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度數(shù)；

（2）∠C的度數(shù)。

解：⑴∵∠ADC是△ABD的外角（已知）

∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)

又∵∠B=∠BAD（已知）

∴∠B=

×80°=40°（等量代換）

⑵∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)

∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性質(zhì)）

=180°-40°-70°=70°三、鞏固新知：1、一個(gè)三角形可以有兩個(gè)內(nèi)角都是直角嗎？可以有兩個(gè)內(nèi)角都是鈍角或都是銳角嗎？為什么？2、說(shuō)出下列各圖中∠1的度數(shù)：

3、如圖，在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠BCD=35°，求：（1）∠EBC的度數(shù)；

（2）∠A的度數(shù)對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）.解：⑴∵

CD⊥AB（已知）

∴

∠CDB=

。

∵∠EBC=∠CDB+∠BCD(

）

∴∠EBC=

+35°=

(等量代換)

⑵

∵∠EBC=∠A+∠ACB(

)

∴

∠A=∠EBC-∠ACB

(等式的性質(zhì))

∵∠ACB=90°（已知）

∴∠A=

-90°=

（等量代換）

你還能用其他方法解決這一問(wèn)題嗎？

四、課堂小結(jié)：本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？（1）三角形內(nèi)角和等于180°；（2）直角三角形兩銳角互余；（3）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（4）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；（5）三角形的外角和等于360°.【作業(yè)設(shè)計(jì)】一、選擇題：1、三角形的一個(gè)外角小于它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)三角形是（）Ａ、直角三角形

B、銳角三角形

C、鈍角三角形

D、不能確定2、如果α、β、γ分別是與△ABC的內(nèi)角∠A，∠B、∠C相鄰的外角，α：β：γ=4：2：3，則∠BAC=（

）。

Ａ、20°

B、40°

C、60°

D、80°3、一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，至少有（

）。Ａ、一個(gè)鈍角

B、兩個(gè)銳角

C、兩個(gè)直角

D、兩個(gè)鈍角二、填空題：1、按下圖中所給的條件，可得∠1=

，∠2=

，∠3=

。2、如圖，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB,求∠BPC的度數(shù)。在以下解答過(guò)程中的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）。解：

∵BP平分∠ABC（已知）∴

∠PBC=12×∠ABC=1同理可得：∠PCB=

,∵

∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°(

)∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB(等式的性質(zhì))

=180°-40°-

，

=

。三、解答題：1、如圖，飛機(jī)要從A地飛往B地，因受大風(fēng)影響，一開始就偏離航線（AB）18°（即∠A=18°），飛到了C地，經(jīng)B地的導(dǎo)航站測(cè)得∠ABC=10°.此時(shí)飛機(jī)必須沿某一方向飛行才能到達(dá)B地，求這一方向與AC方向的夾角∠BCD的度數(shù)。