2023屆云南省玉溪市江川一中數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在用反證法證明“已知，且，則中至少有一個大于1”時，假設(shè)應(yīng)為（）A．中至多有一個大于1 B．全都小于1C．中至少有兩個大于1 D．均不大于12．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．4．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．5．用反證法證明命題：“若實數(shù)，滿足，則，全為0”，其反設(shè)正確的是（）A．，至少有一個為0 B．，至少有一個不為0C．，全不為0 D．，全為06．某所學(xué)校在一個學(xué)期的開支分布的餅圖如圖1所示，在該學(xué)期的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該學(xué)期的電費(fèi)開支占總開支的百分比為（）．A． B． C． D．7．“，”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知集合，，，則（）A． B． C． D．9．如果f(n)∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于()A． B． C． D．10．設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．11．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（）A．至多兩件次品 B．至多一件次品C．至多兩件正品 D．至少兩件正品12．橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點(diǎn)，若直線恰好與圓相切于點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為____.14．正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為______.15．已知函數(shù)fx=axlnx,x∈0,+∞，其中a為實數(shù)，f'x為fx的導(dǎo)函數(shù)，16．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了調(diào)查中學(xué)生每天玩游戲的時間是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)其日均玩游戲的時間繪制了如下的頻率分布直方圖.（1）求所調(diào)查學(xué)生日均玩游戲時間在分鐘的人數(shù)；（2）將日均玩游戲時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“游戲迷”，已知“游戲迷”中女生有6人；①根據(jù)已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別關(guān)系；非游戲迷游戲迷合計男女合計②在所抽取的“游戲迷”中按照分層抽樣的方法抽取10人，再在這10人中任取9人進(jìn)行心理干預(yù)，求這9人中男生全被抽中的概率.附：（其中為樣本容量）.0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值.19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且，E為PD中點(diǎn).（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.20．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人，為調(diào)查他們的睡眠情況，通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機(jī)選取一人，甲部門選出的員工記為A，乙部門選出的員工記為B，假設(shè)所有員工睡眠的時間相互獨(dú)立，求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率；（3）若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)．（1）函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個表面上標(biāo)注點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6），得到點(diǎn)數(shù)分別為和，記事件在恒成立}，求事件發(fā)生的概率．22．（10分）已知橢圓的離心率為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實數(shù)，使線段AB的中點(diǎn)在圓上，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

直接利用反證法的定義得到答案.【詳解】中至少有一個大于1的反面為均不大于1，故假設(shè)應(yīng)為：均不大于1.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，意在考查學(xué)生對于反證法的理解.2、B【解析】由可得：，故選B.3、D【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用的符號進(jìn)行排除即可．【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除，排除，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)以及特殊值的計算，是中檔題；已知函數(shù)解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點(diǎn)，主要采用的是排除法，最常見的排出方式有根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，同時還有在特殊點(diǎn)處所對應(yīng)的函數(shù)值或其符號，其中包括等.4、C【解析】分析:先化簡復(fù)數(shù)z,再求z的虛部.詳解：由題得=，故復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和運(yùn)算能力.(2)復(fù)數(shù)的實部是a,虛部為b，不是bi.5、B【解析】

反證法證明命題時，首先需要反設(shè)，即是假設(shè)原命題的否定成立即可.【詳解】因為命題“若實數(shù)，滿足，則，全為0”的否定為“若實數(shù)，滿足，則，至少有一個不為0”；因此，用反證法證明命題：“若實數(shù)，滿足，則，全為0”，其反設(shè)為“，至少有一個不為0”.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查反證的思想，熟記反證法即可，屬于?？碱}型.6、B【解析】

結(jié)合圖表，通過計算可得：該學(xué)期的電費(fèi)開支占總開支的百分比為×20%=11.25%，得解．【詳解】由圖1，圖2可知：該學(xué)期的電費(fèi)開支占總開支的百分比為×20%=11.25%，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了識圖能力及進(jìn)行簡單的合情推理，屬簡單題．7、A【解析】

利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】若，則必有.若，則或.所以是的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的定義和判斷.8、D【解析】

按照補(bǔ)集、交集的定義，即可求解.【詳解】，，.

故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合計算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】分析：直接計算f(n+1)-f(n).詳解：f(n+1)-f(n)故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.（2）不能等于，因為前面還有項沒有減掉.10、A【解析】

解析：當(dāng)時，；當(dāng)時，，故，應(yīng)選答案A．11、B【解析】試題分析：事件A不包含沒有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的對立事件為至多一件次品．故B正確．考點(diǎn)：對立事件．12、A【解析】

由題得，再利用橢圓定義得的長度，利用勾股定理求解即可【詳解】由題得，且又由勾股定理得，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及幾何意義，準(zhǔn)確求得是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，可知，由此可求出雙曲線的離心率?！驹斀狻坑深}可設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為，由于該雙曲線的漸近線方程為，則，在雙曲線中，所以雙曲線的離心率，故雙曲線的離心率為?！军c(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，雙曲線漸近方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。14、.【解析】

設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出平面的一個法向量，利用空間向量法計算出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)、、、、、，設(shè)平面的一個法向量為，則，.由，即，得，令，則，.可知平面的一個法向量為，又.，因此，直線與平面所成角的正弦值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的正弦的計算，解題的關(guān)鍵就是建立空間直角坐標(biāo)系，將問題利用空間向量法進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、3【解析】試題分析：f'(x)=alnx+a，所以考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【名師點(diǎn)睛】(1)在解答過程中常見的錯誤有：①商的求導(dǎo)中，符號判定錯誤．②不能正確運(yùn)用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則．(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)注意：①求導(dǎo)之前利用代數(shù)或三角變換先進(jìn)行化簡，減少運(yùn)算量．②根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元處理．16、【解析】

由可得，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，即為所求．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴．∴．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中基本量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為和進(jìn)行處理，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）人（2）①填表見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別有關(guān).②【解析】

（1）計算日均玩游戲時間在分鐘的頻率,再乘以總?cè)藬?shù)即可;（2）①計算“游戲迷”有人，由于“游戲迷”中女生有6人，得男生有14人,即可列表,計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；②利用古典概型求解即可【詳解】（1）日均玩游戲時間在分鐘的頻率為，所以，所調(diào)查學(xué)生日均玩游戲時間在分鐘的人數(shù)為.（2）“游戲迷”的頻率為，共有“游戲迷”人，由于“游戲迷”中女生有6人，故男生有14人.①根據(jù)男、女學(xué)生各有50人，得列聯(lián)表如下：非游戲迷游戲迷合計男361450女44650合計8020100.故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別有關(guān).②“游戲迷”中女生有6人，男生有14人，按照分層抽樣的方法抽取10人，則女生有3人，男生有7人.從中任取9人，只剩1人，則共有10種基本情況，記這9人中男生全被抽中為事件A，則有兩名女生被選中,共有種基本情況，因此所求事件A的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了頻率分布直方圖與古典概型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題．18、(1)；(2).【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)離心率求得，結(jié)合，求得，則問題得解；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可容易求得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，，又因為，故可得；由，可得.故橢圓方程為.（2）容易知直線的斜率不為零，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為，故可得則，故的面積令，，故，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值.故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，涉及橢圓中三角形面積的最值問題，屬綜合中檔題.19、（I）見解析（II）【解析】

（I）根據(jù)題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出平面PAB以及平面，進(jìn)而得到和，從而推得線面垂直．（II）根據(jù)已知條件，以A為原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，AP為軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值．【詳解】解：（I）證明：∵底面ABCD為正方形，∴，又，，∴平面PAB，∴．同理，∴平面ABCD（II）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，，，，易知設(shè)為平面ABE的一個法向量，又，，∴令，，得.設(shè)為平面AEC的一個法向量，又∴令，得.∴二面角B-AE-C的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過證明直線與平面垂直來推出直線與直線垂直，以及利用向量法求二面角的問題，解題時要注意根據(jù)圖形特征或者已知要求確定二面角是銳角或鈍角，從而得出問題的結(jié)果．20、(1)24人；(2)；(3)X的分布列見解析；數(shù)學(xué)期望為1【解析】

（1）分層抽樣共抽?。?+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù)．（2）基本事件總數(shù)n18，利用列舉法求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件個數(shù)，由此能求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率．（3）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．【詳解】（1）由題意，得到分層抽樣共抽?。?+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，∴該單位乙部門的員工人數(shù)為：624人．（2）由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工，從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機(jī)選取一人，基本事件總數(shù)n18，A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件（a，b）有12個：（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），∴A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率p．（3）由題意從丙部門抽出的員工有6人，其中睡眠充足的員工人數(shù)有2人，從丙部門抽出的員工中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列為：X012PE（X）1．【點(diǎn)睛】本題考查離散型