2023屆天津市新四區(qū)示范校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè).命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如下圖，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A．甲的極差是29 B．甲的中位數(shù)是24C．甲罰球命中率比乙高 D．乙的眾數(shù)是212．假設(shè)如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個(gè)數(shù)為，則（）A．2046 B．2416 C．2347 D．24863．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．4．定積分（）A． B． C． D．5．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時(shí)，均從一片荷葉跳到另一片荷葉），而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在荷葉上，則跳三次之后停在荷葉上的概率是（）A． B． C． D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，由到時(shí)，等式左邊需要添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．7．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg8．在圓中，弦的長(zhǎng)為4，則（）A．8 B．-8 C．4 D．-49．有五名同學(xué)站成一排拍畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法種數(shù)為（）A．4 B．8 C．16 D．3210．公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．劉徽應(yīng)用“割圓術(shù)”得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后四位的近似值，這就是著名的“徽率”．如圖是應(yīng)用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出的值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．24 C．36 D．4811．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于點(diǎn)，若與直線的斜率的乘積為，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．2012．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為13，則實(shí)數(shù)______.14．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，其漸近線夾角為__________.15．已知復(fù)數(shù)，那么復(fù)數(shù)的模為______.16．在一棟6層樓房里，每個(gè)房間的門牌號(hào)均為三位數(shù)，首位代表樓層號(hào)，后兩位代表房間號(hào)，如218表示的是第2層第18號(hào)房間，現(xiàn)已知有寶箱藏在如下圖18個(gè)房間里的某一間，其中甲同學(xué)只知道樓層號(hào)，乙同學(xué)只知道房間號(hào)，不知道樓層號(hào)，現(xiàn)有以下甲乙兩人的一段對(duì)話：甲同學(xué)說：我不知道，你肯定也不知道；乙同學(xué)說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了；甲同學(xué)說：我也知道了.根據(jù)上述對(duì)話，假設(shè)甲乙都能做出正確的推斷，則藏有寶箱的房間的門牌號(hào)是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．18．（12分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.19．（12分）已知函數(shù)，且在和處取得極值.（I）求函數(shù)的解析式.（II）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．（12分）某公司的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)回歸方程為＝x＋，其中，(1)畫出散點(diǎn)圖，并判斷廣告費(fèi)與銷售額是否具有相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的回歸方程＝x＋；(3)預(yù)測(cè)銷售額為115萬元時(shí)，大約需要多少萬元廣告費(fèi)．21．（12分）已知矩陣.（1）求直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線方程；（2）求矩陣的特征值與特征向量.22．（10分）如圖，直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

通過莖葉圖找出甲的最大值及最小值求出極差判斷出A對(duì)；找出甲中間的兩個(gè)數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即數(shù)據(jù)的中位數(shù)，判斷出D錯(cuò)；根據(jù)圖的數(shù)據(jù)分布，判斷出甲的平均值比乙的平均值大，判斷出C對(duì)．【詳解】由莖葉圖知甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故A對(duì)甲中間的兩個(gè)數(shù)為22，24，所以甲的中位數(shù)為故B不對(duì)甲的命中個(gè)數(shù)集中在20而乙的命中個(gè)數(shù)集中在10和20，所以甲的平均數(shù)大，故C對(duì)乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以D對(duì)故選B．【點(diǎn)睛】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．2、B【解析】

由三角形數(shù)表特點(diǎn)可得，利用累加法可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由三角形數(shù)表可知：，，，…，，，整理得：，則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的項(xiàng)的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用累加法準(zhǔn)確求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.3、C【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=1-2=-1<0，程序運(yùn)行結(jié)束，得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】

先根據(jù)定積分的幾何意義計(jì)算定積分，即求被積函數(shù)與，所圍成的圖形的面積，在求出，可得答案.【詳解】解：由定積分的幾何意義可知是由曲線與，所圍成的圖形的面積，也就是單位圓的，故，，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.5、C【解析】

根據(jù)條件先求出逆時(shí)針和順時(shí)針跳的概率，然后根據(jù)跳3次回到A，則應(yīng)滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)按照順時(shí)針跳的概率為p，則逆時(shí)針方向跳的概率為2p，則p+2p=3p=1，解得p=，即按照順時(shí)針跳的概率為，則逆時(shí)針方向跳的概率為，若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，則滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，①若先按逆時(shí)針開始從A→B，則對(duì)應(yīng)的概率為××=，②若先按順時(shí)針開始從A→C，則對(duì)應(yīng)的概率為××=，則概率為+==，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

寫出時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，由此即可得到結(jié)論【詳解】解：∵時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，∴從到，等式左邊需要添加的項(xiàng)為一項(xiàng)為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的概念，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤．故選D．8、A【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義，老鷹圓的垂徑定理，即可求得答案.詳解：如圖所示，在圓中，過點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，在中，，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中涉及到圓的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積的公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.9、D【解析】

根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個(gè)位置，分3步進(jìn)行分析：①將甲安排在3號(hào)位置；②在1、2、4、5中一個(gè)位置任選1個(gè)，安排乙，依據(jù)乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，再安排丙；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個(gè)位置，分3步進(jìn)行分析：①甲必須站在正中間，將甲安排在3號(hào)位置；②在1、2、4、5中一個(gè)位置任選1個(gè)，安排乙，有4種情況，由于乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，則丙有2種安排方法；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個(gè)位置，有種安排方法.故有1×4×2×2=16種安排方法.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意題目的限制條件，優(yōu)先滿足受到限制的元素.10、B【解析】試題分析：模擬執(zhí)行程序，可得，不滿足條件；不滿足條件；滿足條件，推出循環(huán)，輸出的值為，故選B.考點(diǎn)：程序框圖.11、B【解析】

設(shè)出直線的斜率，得到的斜率，寫出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得的值，進(jìn)而求得最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意可知斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，有，有，，故，同理可求得.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和拋物線相交所得弦長(zhǎng)公式，考查利用基本不等式求最小值，屬于中檔題.12、C【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，在第三象限．故選．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出不等式組所表示的平面區(qū)域.平移直線,找到使直線在縱軸上的截距最大時(shí),所經(jīng)過的點(diǎn)坐標(biāo),把這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式中，可以求出的值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：平移直線,∵，所以當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線在縱軸上的截距最大,解方程組：,把點(diǎn)的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)中，,解得.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)問題,正確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵.14、60°．【解析】

計(jì)算出的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.【詳解】由題意知，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，得，所以，雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的傾斜角分別為、，因此，兩漸近線的夾角為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關(guān)鍵就是求出漸近線方程，根據(jù)漸近線的傾斜角來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由模長(zhǎng)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查模長(zhǎng)的性質(zhì),若,則.若,則.屬于基礎(chǔ)題型.16、325【解析】

利用演繹推理分析可得．根據(jù)房間號(hào)只出現(xiàn)一次的三個(gè)房間排除一些樓層，再在剩下的房間排除篩選可得．【詳解】甲同學(xué)說：我不知道，你肯定也不知道；由此可以判斷甲同學(xué)的樓層號(hào)不是1，4，6，因?yàn)榉块g號(hào)01，15，29都只出現(xiàn)一次，假設(shè)甲知道樓層號(hào)是1樓，若乙拿到的是01，則乙同學(xué)肯定知道自己的房間，所以甲肯定不是1層，同理可得甲也不是4，6層.101107126208211219311318325408415425507518526611619629所以只有以下可能的房間：208211219311318325507518526乙同學(xué)說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了；由此可知，乙同學(xué)通過甲的信息，排除了1，4，6層，在2，3，5層中，由于211，311都是11號(hào)，所以乙同學(xué)的房間號(hào)肯定不是11號(hào)，同理排除了318和518.208211219311318325507518526所以只有以下可能的房間：208219325507526最后甲同學(xué)說：我也知道了，只有可能是325，因?yàn)橹挥?層的房間號(hào)是唯一的.由此判斷出藏有寶箱的門牌號(hào)是325.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理，掌握推理的概念是解題基礎(chǔ)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.試題解析：（1）因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因?yàn)閏>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點(diǎn)：平面向量的共線應(yīng)用；正弦定理與余弦定理.18、證明見解析；證明見解析.【解析】

(1)，于是證明即可，左邊可由所證得到；（2）即證，表示成含n的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法可證.【詳解】令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，即①當(dāng)時(shí)，由①可得，即，即由可知②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)，其中，則在上單調(diào)遞增又，數(shù)列單調(diào)遞增，故由歸納假設(shè)和中結(jié)論時(shí)結(jié)論成立，即結(jié)合②可得，即【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度較大.19、(1)（2）存在，且或時(shí)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn).【解析】試題分析：解：（1），因?yàn)樵诤吞幦〉脴O值，所以和是＝0的兩個(gè)根，則解得經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件故（2）由題意知，令得，或，隨著變化情況如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

遞減

極小值

遞增

極大值

遞減

由上表可知：極大值＝，又取足夠大的正數(shù)時(shí)，；取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，，因此，為使曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，得：，∴或，即存在，且或時(shí)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，同時(shí)能利用其極值于x軸的關(guān)系的求解交點(diǎn)問題，屬于中檔題．20、（1）具有相關(guān)關(guān)系（2）（3）【解析】試題分析：（1）散點(diǎn)圖如圖：由圖可判斷：廣告費(fèi)與銷售額具有相關(guān)關(guān)系．（2）將表格數(shù)據(jù)代入運(yùn)算公式，可得到其值，從而求得線性回歸方程．（3）在回歸方程中，令y=115，求得x的值，可得結(jié)論試題解析：（1）