2023屆四川省眉山市仁壽縣鏵強(qiáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若|x﹣1|≤x|x+1|，則（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x2．設(shè)M=a+1a-2(2<a<3),A．M>N B．M=N C．M<N D．不確定3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．4．設(shè)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．5．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B．C． D．6．設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記此曲線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．7．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽車(chē)的準(zhǔn)時(shí)到站的概率為，則他在3天乘車(chē)中，此班車(chē)恰有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為（）A． B． C． D．8．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)9．若集合，，若，則的值為（）A． B． C．或 D．或10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時(shí)，則陽(yáng)馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．11．現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票（其中3張為中獎(jiǎng)票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為（）A． B． C． D．12．用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是A．方程沒(méi)有實(shí)根 B．方程至多有一個(gè)實(shí)根C．方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程恰好有兩個(gè)實(shí)根二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，給出以下結(jié)論：①曲線在點(diǎn)處的切線方程為；②在曲線上任一點(diǎn)處的切線中有且只有兩條與軸平行；③若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則；④若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則或.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________．14．（題文）x-1x615．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)___________．16．已知關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a取值范圍．18．（12分）已知x，y，z是正實(shí)數(shù)，且滿足.(1)求的最小值；(2)求證：19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).20．（12分）如圖，直三棱柱中，且，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角的大小為，求銳二面角的正切值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且直線與曲線交于兩點(diǎn)，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值22．（10分）已知i為虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù).（1）m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)？（2）若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

對(duì)按照，，進(jìn)行分類(lèi)討論，分別解不等式，然后取并集，得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，即，解得所以②當(dāng)時(shí)，，即解得或所以③當(dāng)時(shí)，，即解得所以綜上所述，故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)討論解不含參的絕對(duì)值不等式，屬于簡(jiǎn)單題.2、A【解析】∵x2+116≥1∴N=log12(x2+又∵M(jìn)=a+1a-2=a-2+1∴0<a-2<1.∴a-2+1a-2∴a+1a-2∴M>N.答案:A點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了比較函數(shù)值的大小關(guān)系；比較大小的常用方法有：做差，如果數(shù)值均為正，還可以考慮做商；還可以構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性比較大??；還可以放縮比較大小，常用的放縮方式有：不等式的應(yīng)用．3、B【解析】

先求出的定義域,再利用同增異減以及二次函數(shù)的圖像判斷單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】令,得f(x)的定義域?yàn)?根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律,即求函數(shù)在上的減區(qū)間,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知為函數(shù)的減區(qū)間.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等,屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】

設(shè)，計(jì)算，變換得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，解得答案.【詳解】由題意，得，進(jìn)而得到，令，則，，.由，得，即.當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).函數(shù)是偶函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，解得，又，即，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性和奇偶性是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

根據(jù)伸縮變換的關(guān)系表示已知函數(shù)的坐標(biāo)，代入已知函數(shù)的表示式得解.【詳解】由伸縮變換，得，代入，得，即．選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的伸縮變換，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，結(jié)合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式“=”成立．，即曲線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．7、B【解析】由題意，恰有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為，故選擇B。8、A【解析】

畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間?！驹斀狻亢瘮?shù)的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題，在含有絕對(duì)值的題目時(shí)通常要經(jīng)過(guò)分類(lèi)討論去絕對(duì)值。9、A【解析】

先解出集合，由，得出，于此可得知實(shí)數(shù)的值.【詳解】解方程，即，得，由于，，則，，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的包含關(guān)系，利用包含關(guān)系求參數(shù)的值，解本題的關(guān)鍵就是將集合表示出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽(yáng)馬體積的最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．11、C【解析】試題分析：將5張獎(jiǎng)票不放回地依次取出共有種不同的取法，若活動(dòng)恰好在第四次抽獎(jiǎng)結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎(jiǎng)票，第四次抽到最后一張中獎(jiǎng)票．共有種取法，∴考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式12、D【解析】

反證法證明命題時(shí)，首先需要反設(shè)，即是假設(shè)原命題的否定成立.【詳解】命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”的否定為“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程恰好有兩個(gè)實(shí)根”；因此，用反證法證明原命題時(shí)，只需假設(shè)方程恰好有兩個(gè)實(shí)根.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查反證法，熟記反設(shè)的思想，找原命題的否定即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】分析：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)從而得到答案．詳解：，①則曲線在點(diǎn)處的切線方程為即，故①不正確；②令或，即在曲線上任一點(diǎn)處的切線中有且只有兩條與軸平行；正確；③由②知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)函數(shù)的極小值極大值故若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則或，③不正確；④若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則或.正確點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．14、15【解析】試題分析：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=(-1)r考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理15、25【解析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立16、【解析】

因?yàn)椋傻?，根?jù)根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為，可得，分別討論和不等式解情況，即可求得答案.【詳解】根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為可得解得：①，故不合符題意，舍去.②綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根本絕對(duì)值不等式解情況求參數(shù)值，解題關(guān)鍵是掌握將絕對(duì)值不等式解法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】分析：（1）對(duì)x分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，最后取交集即可；（2）存在實(shí)數(shù)解等價(jià)于.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)綜上：不等式解集為（2）存在x使得成立，點(diǎn)睛：1．研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，這是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a.f(x)>a恒成立?f(x)min＞a.18、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】分析：(1)利用“乘1法”，根據(jù)基本不等式可求的最小值；(2)由柯西不等式即可得證.詳解：(1)∵x，y，z是正實(shí)數(shù)，且滿足x＋2y＋3z＝1，∴＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝且＝且＝時(shí)取等號(hào)．(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝，即x＝，y＝，z＝時(shí)取等號(hào)．故x2＋y2＋z2≥點(diǎn)睛：本題考查基本不等式及柯西不等式，屬基礎(chǔ)題.19、(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；（2）由，得．因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．試題解析：（1）∵，∴，因?yàn)?，所以，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：100遞增極大值遞減極小值遞增由表可得當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.（2）由（1）得．∵，∴.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減又因?yàn)樗栽冢?,1）和（1,2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以上有兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，又因?yàn)樗栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以在上有且只有只有一個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的方法研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．20、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由已知條件可得是平行四邊形，從而，由已知條件能證明平面，由此能證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，求出面的一個(gè)法向量為，根據(jù)線面角可求出，在中求出，在即可求出結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則，從而，連接，則為平行四邊形，從而.∵直三棱柱中，平面，面，∴,∵，是的中點(diǎn)，∴,∵，∴面故平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由條件：不妨設(shè)，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，可取為一個(gè)法向量，過(guò)作，連，則為二面角的平面角，在中，，在中，，，則【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用，屬于中檔題.21、(1).(2).【解析】分析：(1)曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線C的普通方程，整理得到，由此，根據(jù)極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以求得曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)將直線的參數(shù)方程與曲線C的普通方程聯(lián)立，利用直線方程中參數(shù)的幾何意義，結(jié)合韋達(dá)定理，求得結(jié)果.詳解：（1）的普通方程為，整理得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中得，整理得.所以，且易知，，由參數(shù)的幾何意義可知，，，所以.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有曲線的參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，曲線的平面直角坐標(biāo)方程向極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，在解