2023屆上海外國語大學(xué)附屬上外高中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若對任意實數(shù)，有，則（）A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為A． B． C． D．3．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，對應(yīng)向量的模為3，且實部為，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C． D．4．設(shè)，，∈R，且＞，則A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．6．已知集合，，則為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的結(jié)果為，則判斷框中的條件是（）A． B． C． D．8．是（）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)9．在圓中，弦的長為4，則（）A．8 B．-8 C．4 D．-410．已知，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知為正整數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明時，假設(shè)時命題為真，即成立，則當時，需要用到的與之間的關(guān)系式是()A． B．C． D．12．已知復(fù)數(shù)且，則的范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中的所有的整數(shù)次冪項的系數(shù)之和為__________．14．已知圓：的兩焦點為，，點滿足，則的取值范圍為______.15．正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的大小為________16．把4個相同的球放進3個不同的盒子，每個球進盒子都是等可能的，則沒有一個空盒子的概率為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）梯形中，，矩形所在平面與平面垂直，且，.（1）求證：平面平面；（2）若P為線段上一點，且異面直線與所成角為45°，求平面與平面所成銳角的余弦值.18．（12分）（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．20．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足：，求的值．21．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,,,,,分別是,的中點.（1）證明:;（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，（1）求數(shù)列{a（2）設(shè)bn=1Sn

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：根據(jù)，按二項式定理展開，和已知條件作對比，求出的值，即可求得答案.詳解：，且，.故選：B.點睛：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù).2、C【解析】分析：由四棱錐的體積是三棱柱體積的，知只要三棱柱體積最大，則四棱錐體積也最大，求出三棱柱的體積后用基本不等式求得最大值，及取得最大值時的條件，再求表面積．詳解：四棱錐的體積是三棱柱體積的，，當且僅當時，取等號．∴．故選C．點睛：本題考查棱柱與棱錐的體積，考查用基本不等式求最值．解題關(guān)鍵是表示出三棱柱的體積．3、C【解析】

設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)向量的模為3列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意，復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，對應(yīng)向量的模為3，且實部為.設(shè)復(fù)數(shù)，∵，∴，復(fù)數(shù).故.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及模的運算，是基礎(chǔ)題.4、D【解析】分析：帶特殊值驗證即可詳解：排除A,B．排除C．故選D點睛：帶特殊值是比較大小的常見方法之一．5、C【解析】函數(shù)f（x）=（）cosx，當x=時，是函數(shù)的一個零點，屬于排除A，B，當x∈（0，1）時，cosx＞0，＜0，函數(shù)f（x）=（）cosx＜0，函數(shù)的圖象在x軸下方．排除D．故答案為C。6、A【解析】

利用集合的交集運算進行求解即可【詳解】由題可知集合中，集合中求的是值域的取值范圍，所以的取值范圍為答案選A【點睛】求解集合基本運算時，需注意每個集合中求解的是x還是y,求的是定義域還是值域，是點集還是數(shù)集等7、C【解析】

根據(jù)已知的程序語句可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，即可得出答案.【詳解】解：當時，不滿足輸出結(jié)果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結(jié)果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結(jié)果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結(jié)果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結(jié)果為，進行循環(huán)后，，；當時，滿足輸出結(jié)果為，故進行循環(huán)的條件，應(yīng)為：.故選：C.【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

整理,即可判斷選項.【詳解】由題,因為,所以該函數(shù)是奇函數(shù),周期為,故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的應(yīng)用.9、A【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義，老鷹圓的垂徑定理，即可求得答案.詳解：如圖所示，在圓中，過點作于，則為的中點，在中，，可得，所以，故選A.點睛：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運算，其中解答中涉及到圓的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積的公式等知識點的綜合運用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、D【解析】

由三個正數(shù)的和為21，可知三個正數(shù)的平均數(shù)為7，因此可以用反證法來求出的取值范圍.【詳解】由三個正數(shù)的和為21，可知三個正數(shù)的平均數(shù)為7，假設(shè)，因為，則有，這與，相矛盾，故假設(shè)不成立，即，故本題選D.解法二:因為，所以【點睛】本題考查了反證法的應(yīng)用，正確運用反證法的過程是解題的關(guān)鍵.11、C【解析】分析：先根據(jù)條件確定式子，再與相減得結(jié)果.詳解：因為，所以，所以,選C.點睛：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推關(guān)系.12、C【解析】

轉(zhuǎn)化為，設(shè)，即直線和圓有公共點，聯(lián)立，即得解.【詳解】由于設(shè)聯(lián)立：由于直線和圓有公共點，故的范圍為故選：C【點睛】本題考查了直線和圓，復(fù)數(shù)綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、122【解析】分析：根據(jù)二項式定理的通項公式，寫出所有的整數(shù)次冪項的系數(shù)，再求和即可。詳解：所以整數(shù)次冪項為為整數(shù)是，所以系數(shù)之和為122點睛：項式定理中的具體某一項時，寫出通項的表達式，使其滿足題目設(shè)置的條件。14、【解析】

點滿足則點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【詳解】由題有點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故,又當在線段上（不包含原點）時取得最小值2.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的定義及其性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

由正六棱柱的幾何特征可得為正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角計算即可.【詳解】解：如圖，由正六棱柱的幾何特征可知，則為正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，.故答案為：.【點睛】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，是基礎(chǔ)題.16、.【解析】

方法一：4個相同球放進3個不同的盒子,先加進3個球，變成7個相同球，用隔板法解決，有個結(jié)果，再將多加進的球取出，4個相同球放進3個不同的盒子，每個盒子至少一個球，4個相同的球之間有3個間隔，再用隔板法解決，可得解；方法二：4個相同球放進3個不同的盒子,有以下4種情形：1、4個相同的小球一起，放入3個不同的盒子中；2、4個相同的小球有3個小球放在一起，放入3個不同的盒子中；3、4個相同的小球有2個小球在一起，另2個也在一起，放入3個不同的盒子中；4、4個相同的小球有2個小球在一起在一個盒子中，另2個小球分別在兩個盒子中，所以4個相同的小球放入3個不同的盒子中共有15種不同的結(jié)果，而“沒有一個空盒子”的情況就是上述的第4種情況，可得解.【詳解】方法一：4個相同球放進3個不同的盒子,先加進3個球，變成7個相同球，放進3個不同盒子，保證每個盒子至少一個球，7個相同的球之間有6個間隔，用隔板法解決，有個結(jié)果，再將多加進的球取出，“沒有一個空盒子”記為隨機事件A,4個相同球放進3個不同的盒子，每個盒子至少一個球，4個相同的球之間有3個間隔，用隔板法解決，有個結(jié)果，故，所以“沒有一個空盒子”的概率為；方法二：4個相同球放進3個不同的盒子,有以下4種情形：1、4個相同的小球一起，放入3個不同的盒子中有3個不同的結(jié)果；2、4個相同的小球有3個小球放在一起，放入3個不同的盒子中有6種不同的結(jié)果；3、4個相同的小球有2個小球在一起，另2個也在一起，放入3個不同的盒子中有3種不同的結(jié)果；4、4個相同的小球有2個小球在一起在一個盒子中，另2個小球分別在兩個盒子中，共有3種不同的結(jié)果，所以4個相同的小球放入3個不同的盒子中共有15種不同的結(jié)果，而“沒有一個空盒子”的情況就是上述的第4種情況，共有3個不同的結(jié)果，所以“沒有一個空盒子”的概率為，故填：.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型的基礎(chǔ)知識，利用隔板法和枚舉法是解決此類問題的常用方法.屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由題意證出，先利用面面垂直的性質(zhì)定理，證出平面，再利用面面垂直的判定定理即可證出.（2）以為坐標原點，以為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積求出點坐標，再求出平面的法向量，平面的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）證明：作中點M，由題則有：，且，又∴四邊形為菱形，，又且，，又平面平面，且交于，平面，平面，∴平面平面（2）如圖建系，則有，，設(shè)，，，，，，即設(shè)平面的法向量為，，，令，則，，設(shè)平面的法向量為，，，令，則，，，【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理、空間向量法求異面直線所成角以及面面角，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設(shè)存在，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進行討論；（3）利用類比推理和分類計數(shù)原理可得的值.【詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有個，個，從而可得到解的情況共有個，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）當取偶數(shù)時，中所有項都是中的項.由題意：均在數(shù)列中，當時，，說明數(shù)列的第項是數(shù)列中的第項.當取奇數(shù)時，因為不是整數(shù)，所以數(shù)列的所有項都不在數(shù)列中.綜上所述：為正偶數(shù).（3）當時，有①當時，②又對任意，都有③所以即為的系數(shù)，可?、僦小ⅱ谥械?；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【點睛】本題第（1）問考查對集合新定義的理解；第（2）問考查等比數(shù)列的控究性問題；第（3）問考查類比推理與計數(shù)原理相結(jié)合；對邏輯推理能力和運算求解能力要求較高，屬于難題.19、（1）（2）4【解析】

換元法，先換元再解不等式。令換元后參變分離，求最值。【詳解】解：（1）設(shè)，則，∴，即，解得或，即或，∴或.∴的解集為.（2），令，則（當且僅當時，等號成立）．又，故可化為，即，又，（當且僅當，即時等號成立）．∴，即的最大值為4.【點睛】本題考查換元法、不等式、函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題。20、【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)相等解得，再根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求解【詳解】設(shè)，而即則所以【點睛】本題考查復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)運算法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.21、(1)見解析;(2)【解析】

(1)建立空間直角坐標系,設(shè),從而確定與的坐標,通過求二者的數(shù)量積證明.(2)結(jié)合第一問,計算出直線的方向向量和平面的法向量,結(jié)合線面角余弦值和誘導(dǎo)公式即可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:在底面內(nèi)作,以點為坐標原點,、、的方向分別為、、軸建立空間直角坐標系,不妨設(shè)則,,,由可求得的坐標為利用中點坐標公式可求出,即(2)解:由第一問可知:.設(shè)平面的法向量為則,不妨設(shè)則,此時設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了空間幾何中的線線垂直的判定,考查了線面角的求解問題.解答此類