慣性矩的計(jì)算

慣性矩的計(jì)算第1頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§1靜矩和形心§2慣性矩、慣性積和慣性半徑§3平行移軸公式附錄截面幾何性質(zhì)§4主慣性軸、形心主慣性軸第2頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§1靜矩和形心

Sy和Sz分別稱為整個(gè)截面積對(duì)于y軸和z軸的靜矩。1、靜矩和形心的定義形心坐標(biāo)應(yīng)用式第3頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一結(jié)論：若圖形對(duì)某一軸的靜距等于零，則該軸必然通過圖形的形心；若某一軸通過圖形的形心，則圖形對(duì)該軸的靜距必然等于零；形心軸：通過圖形的形心的坐標(biāo)軸。第4頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、組合截面的靜矩和形心截面對(duì)某一軸的靜距等于其組成部分對(duì)同一軸的靜距之和。

其中，yi與zi分別為第i個(gè)簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)。第5頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題1、截面圖形如圖所示，試計(jì)算截面的形心位置。解：將該截面看成由矩形①和矩形②組成，每個(gè)矩形的面積和形心坐標(biāo)分別為：矩形①：A1=1250mm2，y1=5mm，z1=62.5mm矩形②：A2=700mm2，y2=45mm，z2=5mm第6頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§2慣性矩、慣性積和慣性半徑iy

、

iz分別稱為截面對(duì)y軸和z軸的慣性半徑。1、定義Iy

、

Iz分別稱為截面面積對(duì)y軸和z軸的慣性矩，Iyz

稱為截面面積對(duì)y軸和z軸的慣性積。第7頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一常見截面的慣性矩和慣性半徑：y第8頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一常見截面的慣性矩和慣性半徑：y第9頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一常見截面的慣性矩和慣性半徑：y圓環(huán)第10頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Ip=A2dAIp—截面的極慣性矩截面的極慣性矩：2=z2+y2

第11頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Ip＝d432Wp=d316Ip＝D

432(1-4)Wp=D

316(1-4)

=d/D對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于圓環(huán)截面：Wp=maxIpWp扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)y圓形y圓環(huán)第12頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

=d/D對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于圓環(huán)截面：y圓形y圓環(huán)第13頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

若y軸或z軸為截面的一個(gè)對(duì)稱軸，則慣性積Iyz=0Iyz

稱為截面面積對(duì)y軸和z軸的慣性積。慣性積的性質(zhì)：

若Iyz=0，且y與z軸同時(shí)通過截面形心，則稱其為截面的一對(duì)形心主慣性軸，對(duì)應(yīng)的Iy與Iz稱為截面的形心主慣性矩。

若Iyz=0，則坐標(biāo)軸y與z軸稱為截面的一對(duì)主慣性軸；Iy與Iz稱為主慣性矩。第14頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一組合截面的慣性矩和慣性積：

當(dāng)截面由ｎ個(gè)簡(jiǎn)單圖形組合而成時(shí)，截面對(duì)于某根軸的慣性矩等于這些簡(jiǎn)單圖形對(duì)于該軸的慣性矩之和。即:第15頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3平行移軸公式IaC22=證明：y=yc+bCzCyIIIabAAbIAIyyzzy+=++=zC基準(zhǔn)軸:過形心的兩正交坐標(biāo)軸第16頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2、

(同例1)

試計(jì)算截面對(duì)水平形心軸yc的慣性矩。

解：例1中已算出該截面形心C的坐標(biāo)為：yc=19.36mm，zc=41.9mm矩形①對(duì)yc軸的矩為：

截面對(duì)軸yc的慣性矩應(yīng)等于矩形①對(duì)軸yc的慣性矩加上矩形②對(duì)yc軸的慣性矩。即：第17頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矩形①對(duì)yc軸的慣性矩為：矩形②對(duì)yc軸的慣性矩為：第18頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一類似地可求出:

例3、

(同例1)

試計(jì)算截面對(duì)水平形心軸yc和鉛直形心軸zc的慣性積。

解：例1中已算出該截面形心C的坐標(biāo)為：yc=19.36mm，zc=41.9mm第19頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矩形①對(duì)yc和zc軸的慣性積為：矩形②對(duì)yc和zc軸的慣性積為：第20頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§4主慣性軸、形心主慣性軸

微面積dA在新舊兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(y1,z1)和(y,z)之間的關(guān)系為：第21頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同樣可得：

若Iy1z1=0，則坐標(biāo)軸y1與z1軸稱為截面的一對(duì)主慣性軸；Iy1與Iz1稱為主慣性矩。

主慣性軸位置的確定：轉(zhuǎn)軸公式第22頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一主慣性矩Iyp與Izp的確定：第23頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一形心主慣性軸和形心主慣性矩的計(jì)算步驟：(1)計(jì)算截面形心；(2)計(jì)算通過截面形心的一對(duì)坐標(biāo)軸yc與zc的慣性矩Iyc、

Izc和慣性積Iyczc

；(3)通過轉(zhuǎn)軸公式確定形心主慣性軸的方位角 ，并計(jì)算形心主慣性矩Iyp和Izp

。

若Iy1z1=0，且y1與z1軸同時(shí)通過截面形心，則稱其為截面的一對(duì)形心主慣性軸，對(duì)應(yīng)的Iy1與Iz1稱為截面的形心主慣性矩。注意：對(duì)稱軸必為形心主慣性軸。第24頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例4、

(同例1)

試確定截面的形心主慣性軸的位置，并計(jì)算截面的形心主慣性矩。

解：例1中已算出該截面形心C的坐標(biāo)為：yc=19.36mm，zc=41.9mm

例3中已算出截面對(duì)于水平形心軸yc和鉛直形心軸zc的慣性矩和慣性積：或第25頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第26頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若圖形具有三根（或三根以上）對(duì)稱軸，則通過圖形形心的所有軸都是形心主慣性軸，且圖形對(duì)任一形心軸的慣性矩（即形心主慣性矩）都相同。

2)所有的正多邊形截面圖形的形心軸均為形心主慣性軸。關(guān)于形心主慣性軸的兩個(gè)推論：第27頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小結(jié)

基本要求：掌握靜