離中趨勢的度量

當(dāng)?shù)玫郊辛繑?shù)之后，我們就可以知道整組數(shù)據(jù)的平均結(jié)果，可以知道每一個數(shù)據(jù)和其它數(shù)據(jù)的比較結(jié)果。但是我們還無法了解數(shù)據(jù)相互之間的差別到底是大還是小，也就是不知道這些數(shù)據(jù)的分布或離散的程度。因此我們還需要描述數(shù)據(jù)離中趨勢的統(tǒng)計量數(shù)。第一頁，共三十三頁。第二頁，共三十三頁。第九章離中趨勢的度量

第一節(jié)差異量數(shù)第二節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差第三頁，共三十三頁。第一節(jié)其它差異量數(shù)一、全距全距（range）：一組數(shù)列中最大和最小數(shù)值之間的差。R=XH-XL其中XH為最大數(shù)值，XL為最小數(shù)值。第四頁，共三十三頁。二、平均差平均差（meandeviation，MD）:各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差數(shù)的絕對值的平均數(shù)，稱為平均差。MD=|X-Xm|/n平均差使用絕對值，沒有正負(fù)，所以不便于在統(tǒng)計中運用。第五頁，共三十三頁。第二節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差1、方差方差（variance,2,

S2）:各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差數(shù)的平方和的平均值稱為方差，也稱為變異數(shù)。因此，方差的定義公式為：

2=(X-)2/n

S2=(X-Xm)2/n第六頁，共三十三頁。2、標(biāo)準(zhǔn)差計算方差時使用了平方，也就是夸大了數(shù)據(jù)和平均數(shù)的距離，因此需要將方差開方以還原其本來的差異，這就是標(biāo)準(zhǔn)差。即：標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation，，S）是方差的平方根。標(biāo)準(zhǔn)差的定義公式：=√2=√(X－)2/nS=√S2=√(X－Xm)2/n第七頁，共三十三頁。3、方差的估計值總體的參數(shù)可以用樣本的統(tǒng)計量來加以估計，但是用一個樣本的統(tǒng)計量來估計它所屬總體的參數(shù)，可能容易發(fā)生錯誤。但是，如果我們用一個包含有無限多個元素的樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)就不容易造成錯誤，這個統(tǒng)計量就被稱為是總體參數(shù)的無偏估計值（unbiasedestimate）。第八頁，共三十三頁。如果從總體中隨機(jī)抽取一個樣本，樣本包含有無限多個個體，則計算樣本平均數(shù)的公式為：Xm=X/n這就是總體平均數(shù)的無偏估計值。這樣我們就可以將下列公式中的用Xm替代，作為樣本估計總體方差的無偏估計值。2=(X-)2/n2=S2=(X-Xm)2/n第九頁，共三十三頁。但是，統(tǒng)計學(xué)家發(fā)現(xiàn)用這樣的公式求出來的方差低估了總體的變異，因此使用(X-Xm)2/n來估計總體的方差時，分母的n必須改為(n-1)才不會低估總體的方差，這里(n-1)就叫做樣本的自由度。第十頁，共三十三頁。（1）自由度自由度（degreeoffreedom,df）是指當(dāng)以樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)時，樣本中獨立或能自由變化的數(shù)據(jù)的個數(shù)稱為該統(tǒng)計量的自由度。例如，在估計總體的平均數(shù)時，樣本中的n個數(shù)全部加起來，其中任何一個數(shù)都和其他數(shù)據(jù)相獨立，從其中抽出任何一個數(shù)都不影響其他數(shù)據(jù)（這也是隨機(jī)抽樣所要求的）。因此一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)都是獨立的，所以自由度就是估計總體參數(shù)時獨立數(shù)據(jù)的數(shù)目，而平均數(shù)是根據(jù)n個獨立數(shù)據(jù)來估計的，因此自由度為n。第十一頁，共三十三頁。但是為什么用樣本估計總體的方差時，方差的自由度就是(n-1)?2=(X-)2/n從此公式我們可以看出總體的方差是由各數(shù)據(jù)與總體平均數(shù)的差值求出來的，因此必須將固定后才可以求總體的方差。因此，由于被固定，它就不能獨立自由變化，也就是方差受到總體平均數(shù)的限制，少了一個自由變化的機(jī)會，因此要從n里減掉一個。第十二頁，共三十三頁。那為什么平均數(shù)被固定后會限制數(shù)據(jù)的自由變化？假設(shè)一個樣本有兩個數(shù)值，X1=10,X2=20,我們現(xiàn)在要用這個樣本估計總體的方差，則樣本的平均數(shù)是：Xm=X/n=(10+20)/2=15現(xiàn)在假設(shè)我們已知Xm=15,X1=10,根據(jù)公式Xm=X/n，則有：X2=2Xm-X1=2×15-10=20由此我們可以知道在有兩個數(shù)據(jù)樣本中，當(dāng)平均數(shù)的值和其中一個數(shù)據(jù)的值已知時，另一個數(shù)據(jù)的值就不能自由變化了，因此這個樣本的自由度就減少一個，變成了（n-1）。依此類推：在一組數(shù)據(jù)中，當(dāng)其平均數(shù)和前面的數(shù)據(jù)都已知時，最后一個數(shù)據(jù)就被固定而不能獨立變化了，因此這個樣本能夠獨立自由變化的數(shù)目就是（n-1）個.第十三頁，共三十三頁。（2）方差的估計值根據(jù)以上的討論，總體方差的無偏估計值為：S2=(X-Xm)2/(n-1)第十四頁，共三十三頁。（3）標(biāo)準(zhǔn)差的估計值由上述公式可以進(jìn)一步推導(dǎo)出以樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計總體標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：S=√(X-Xm)2/(n-1)第十五頁，共三十三頁。二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式前面提供的方差和標(biāo)準(zhǔn)差公式都是根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)學(xué)定義列出的，因此稱為定義公式（definingformulas）。這類公式在計算時比較繁瑣，為計算的方便，由定義公式進(jìn)一步推導(dǎo)出總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式：2=(X2-(X)2/n)/n=√(X2-(X)2/n)/n以樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：S2=(X2-(X)2/n)/(n-1)S=√(X2-(X)2/n)/(n-1)第十六頁，共三十三頁。表：方差與標(biāo)準(zhǔn)差的公式摘要使用范圍統(tǒng)計量定義公式計算公式總體方差(2)(X-)2/n(X2-(X)2/n)/n標(biāo)準(zhǔn)差()√(X-)2/n√(X2-(X)2/n)/n樣本方差(S2)(X-Xm)2/(n-1)(X2-(X)2/n)/(n-1)標(biāo)準(zhǔn)差(S)√(X-Xm)2/(n-1)√(X2-(X)2/n)/(n-1)第十七頁，共三十三頁。由表可以看出計算方差和標(biāo)準(zhǔn)差的兩對公式所算出來的結(jié)果是不同的，在實際中應(yīng)如何運用要根據(jù)是要計算總體的參數(shù)還是樣本的統(tǒng)計量。如果要計算樣本的統(tǒng)計量則用S2和S的公式。如果樣本數(shù)據(jù)已經(jīng)涵蓋整個總體，也就是要計算總體的參數(shù)時，則用2和的計算公式。第十八頁，共三十三頁。三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算下面的計算中只討論對一組數(shù)據(jù)的描述，尚不涉及由樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的情況，因此在這里這一組數(shù)據(jù)就是涵蓋了整個總體，因此計算公式要采用總體的計算公式。在這里我們不討論總體和樣本的關(guān)系問題，因此方差和標(biāo)準(zhǔn)差的符號用S2和S。第十九頁，共三十三頁。1、未分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差S2=(X-Xm)2/nS=√S2=√(X－Xm)2/n或者S2=(X2-(X)2/n)/nS=√(X2-(X)2/n)/n第二十頁，共三十三頁。例：XiXi-Xm=xX2Xi2600365-1125711494-24166003682464N=6,X=36x=0x2=10Xi2=226第二十一頁，共三十三頁。2、已分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差S2=(fd2/N-(fd/N)2)·i2S=√(fd2/N-(fd/N)2)·i其中：d=(Xc-AM)/i,(Xc-為各分組區(qū)間的組中值，f為各分組區(qū)間的次數(shù)，AM為估計平均數(shù)，N=f，I為組距。第二十二頁，共三十三頁。表2：50名高中學(xué)生數(shù)學(xué)成績次數(shù)分布表第二十三頁，共三十三頁。四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差和標(biāo)準(zhǔn)差時表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，是最常用的差異量數(shù)。其特點有：1、反應(yīng)靈敏，每個數(shù)據(jù)變化都應(yīng)在方差上體現(xiàn)；2、計算嚴(yán)密；3、容易計算；4、適合代數(shù)運算；5、受抽樣變動影響小；6、簡單明了；7、容易受極端數(shù)據(jù)影響。第二十四頁，共三十三頁。四、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用1、差異系數(shù)同一特質(zhì)使用同一種測量工具得到的不同樣本之間的離散度的比較可以通過直接比較標(biāo)準(zhǔn)差實現(xiàn)。不同特質(zhì)樣本之間的離散度比較可以通過比較差異系數(shù)（coefficientofvariation,CV）來實現(xiàn),差異系數(shù)大的則離散程度大。差異系數(shù)的公式為：CV=S/M×100%其中：S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，M為樣本平均數(shù)。第二十五頁，共三十三頁。2、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（1）定義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standardscore）又稱為Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個數(shù)在團(tuán)體中所處位置的相對位置量數(shù)。計算公式為：Z=(X-Xm)/S其中：X代表原始數(shù)據(jù)，Xm平均數(shù)，S為標(biāo)準(zhǔn)差。Z分?jǐn)?shù)表示其原分?jǐn)?shù)在該組數(shù)據(jù)分布中，以平均數(shù)為中心時的相對位置。第二十六頁，共三十三頁。（2）Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)①一組數(shù)據(jù)中所有由原分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得出的Z分?jǐn)?shù)的和為零，平均數(shù)也為零。②一組數(shù)據(jù)中各Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1。第二十七頁，共三十三頁。（3）Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用①可用于比較分?jǐn)?shù)性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中的相對位置高低。例如：一個20歲的大學(xué)生智力測驗中作對了35個題目，一個6歲的兒童作對了9個題目，誰更聰明？②當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測值的次數(shù)分布為正態(tài)分布時，可用Z分?jǐn)?shù)求不同觀測值的總和或均值，以表示在團(tuán)體中的相對位置。第二十八頁，共三十三頁。表：利用Z分?jǐn)?shù)求總和第二十九頁，共三十三頁。3、異常值的取舍三個標(biāo)準(zhǔn)差的法則第三十頁，共三十三頁。作業(yè)一：計算全距、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差第三十一頁，共三十三頁。作業(yè)二：計算下列次數(shù)分布表的方差和標(biāo)準(zhǔn)差表1表2第三十二頁，共三十三頁。內(nèi)容總結(jié)當(dāng)?shù)玫郊辛繑?shù)之后，我們就可以知道整組數(shù)據(jù)的平均結(jié)果，可以知道每一個數(shù)據(jù)和其它數(shù)據(jù)的比較結(jié)果。其中XH為最大數(shù)值，XL為最小數(shù)值。2=(X-)2/n。S=√S2=√(X－Xm