2023河南省中考二次函數(shù)考點(diǎn)

第2023河南省中考二次函數(shù)考點(diǎn)

河南省中考二次函數(shù)考點(diǎn)

二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式

y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

頂點(diǎn)式

y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m，k)對(duì)稱軸為x=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax∧2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式;

交點(diǎn)式

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線];

重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時(shí)，開口方向向上，a0時(shí)，開口方向向下。a的絕對(duì)值還可以決定開口大小,a的絕對(duì)值越大開口就越小,a的絕對(duì)值越小開口就越大。

牛頓插值公式(已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(x1_x2)(y1為截距)

求根公式

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

求根公式

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)(如右圖)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數(shù)圖像

如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。

2畫出對(duì)稱軸，并注明X=什么

3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)

軸對(duì)稱

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

頂點(diǎn)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2;-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

開口

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

決定對(duì)稱軸位置的因素

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸左;因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)

可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸右。

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?？赏ㄟ^對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

_______

Δ=b^2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在{x|x-b/2a}上是減函數(shù)，在

{x|x-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c

②當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c

③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c

④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c

二次函數(shù)的性質(zhì)

8.定義域：R

值域：(對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，

正無窮);②[t，正無窮)

奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)。

周期性：無

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a0，則拋物線開口朝上;a0，則拋物線開口朝下;

⑶極值點(diǎn)：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b+√Δ]/2a，0);

Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：

(-b/2a，0);

Δ0，圖象與x軸無交點(diǎn);

②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式]

此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式(雙根式)](a≠0)

對(duì)稱軸X=(X1+X2)/2當(dāng)a0且X≧(X1+X2)/2時(shí)，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a0且X≦(X1+X2)/2時(shí)Y隨X

的增大而減小

此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連

用)。

交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個(gè)x軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1X2值。

中考二次函數(shù)考點(diǎn)分析

1.常數(shù)問題：

(1)點(diǎn)到直線的距離中的常數(shù)問題：

“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離等于一個(gè)固定常數(shù)”的問題：

先借助于拋物線的解析式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立一個(gè)方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線解析式，求出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。

(2)三角形面積中的常數(shù)問題：

“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與定線段構(gòu)成的動(dòng)三角形的面積等于一個(gè)定常數(shù)”的問題：

先求出定線段的長度，再表示出動(dòng)點(diǎn)(其坐標(biāo)需用一個(gè)字母表示)到定直線的距離，再運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的解析式，可求出動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。

2.“在定直線(常為拋物線的對(duì)稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：

先求出兩個(gè)定點(diǎn)中的任一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，該線段的長度〈應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出(利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法)。

3.三角形周長的“最值(值或最小值)”問題：

“在定直線上是否存在一點(diǎn)，使之和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長最小”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問題)：

由于有兩個(gè)定點(diǎn)，所以該三角形有一定邊(其長度可利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算)，只需另兩邊的和最小即可。

4.三角形面積的值問題：

①“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問題”)：

(方法1)先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長度;然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到該定直線的距離。最后利用三角形的面積公式底·高1/2。即可求出該三角形面積的值，同時(shí)在求解過程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。

(方法2)過動(dòng)點(diǎn)向y軸作平行線找到與定線段(或所在直線)的交點(diǎn)，從而把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，進(jìn)一步可得到公式，轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)問題來求出值。

②“三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形面積”的問題(簡稱“三邊均動(dòng)”的問題)：

先把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形(有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形)面積之差，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)在x軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個(gè)三角形與圖中另一個(gè)三角形相似(常為圖中的那一個(gè)三角形)。利用相似三角形的性質(zhì)(對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比)可表示出分割后的一個(gè)三角形的高。從而可以表示出動(dòng)三角形的面積的一個(gè)開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。

中考二次函數(shù)考點(diǎn)

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：

(2)頂點(diǎn)式：

(3)當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

注意：拋物線位置由決定.

(1)決定拋物線的開口方向

①開口向上.

②開口向下.

(2)決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

①圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方.

②圖象過原點(diǎn).

③圖象與y軸交點(diǎn)在x軸下方.

(3)決定拋物線對(duì)稱軸的位置(對(duì)稱軸：)

①同號(hào)對(duì)稱軸在y軸左側(cè).

②對(duì)稱軸是y軸.

③異號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

(4)頂點(diǎn)坐標(biāo).

(5)決定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況.、

①△0拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).

②△=0拋物線與x軸有的公共點(diǎn)(相切).

③△0拋物線與x軸無公共點(diǎn).

(6)二次函數(shù)是否具有、最小值由a判斷.

①當(dāng)a0時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值.

②當(dāng)a0時(shí)，拋物線有點(diǎn)，函數(shù)有值.

(7)的符號(hào)的判定：

表達(dá)式，請(qǐng)代值，對(duì)應(yīng)y值定正負(fù);

對(duì)稱軸，用處多，三種式子相約;

軸兩側(cè)判，左同右異中為0;

1的兩側(cè)判，左同右異中為0;

-1兩側(cè)判，左異右同中為0.

(8)函數(shù)圖象的平移：左右平移變x，左+右-;上下平移變常數(shù)項(xiàng)，上+下-;平移結(jié)果先知道，反向平移是訣竅;平移方式不知道，通過頂點(diǎn)來尋找。

(9)對(duì)稱：關(guān)于x軸對(duì)稱的解析式為，關(guān)于y軸對(duì)稱的解析式為，關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱的解析式為，在頂點(diǎn)處