2020年海南高考數(shù)學(xué)試卷新課標(biāo)Ⅱ

2020年海南省高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)II）一、選擇題L設(shè)集合4={2,357},8={12358},則4nB=(C.{2,3,5}D.{1,2,358}.(1+20(2+0=()A.一5iB.5iA.一5iB.5iC.-5D.5.如果。為A/BC的邊48的中點(diǎn)，則向量8=()K.2CD-CAB.2M-CDQ.2CD+CAD.2M+CD.口密是中國占代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到唇面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為。），地球上一點(diǎn)4的緯度是指0/與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)4處的水平面是指過點(diǎn)4且與0/垂直的平面.在點(diǎn)4處放置一個口替，若卷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)4處的緯度為北緯40。，則卷針與點(diǎn)力處的水平面所成角為（）A.20° B.40° C.50° D.9O0.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A.62% B.56% C.46% D.42%.3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個村，每個村至少1人，則不同的分配方案共有（）A.4種 B.5種 C.6種 D.8種.已知函數(shù)/（x）=log2（——4x—5）在（a,+8）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）試卷第1頁，總22頁

B.(一8,2]B.(一8,2]C.[2,+8)D.[5,+8).若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-8,0)單調(diào)遞減,且/(2)=0,則滿足— 0的x的取值范圍是()A.[—1/1]U[3,+8)C.[—1,0]U[1,4-oo)二、多選題.我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)更工匆:產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天更工更產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是()A.這11天更工指數(shù)和更產(chǎn)指數(shù)均逐口增加；B.這11天期間，包:產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù):工指數(shù)的增量；C.第3天至第11天亞工夏產(chǎn)指數(shù)均超過80%;D.第9天至第11天更產(chǎn)指數(shù)增量大于更工指數(shù)的增量;10.己知曲線Cm/+ny2=i()A.若?n>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓，其半徑為赤C.若＜0,C.若＜0,則C是雙曲線其漸近線方程為y=土D.若m=0,n>0,則C是兩條直線.如圖是函數(shù)y=sin(3X+肥)的部分圖像，則sin(cox+w)=()試卷第2頁，總22頁A.sin(x+y)B.sin(g—2%)C.cos(2x+-)6A.sin(x+y)B.sin(g—2%)C.cos(2x+-)6D?cos《—2%).已知a>0,b>0,且a+b=l,則（）A.a2+&2>| B.2a-b>C.log2a+log2b3—2 D.yfa+\[b<\/2三、填空題.棱長為2的正方體力BCD-4BgDi中,M,N分別為棱8%IB的中點(diǎn),則三棱錐4-D]MN的體積為..斜率為舊的直線過拋物線C：y2=我的焦點(diǎn)，且與C交于4B兩點(diǎn)，則網(wǎng)=,.將數(shù)列｛2"-1｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛5｝,則｛即｝的前幾項(xiàng)和為..某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧4B所在圓的圓心，4是圓弧4B與直線/G的切點(diǎn)，B是圓弧與直線的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BCJ.DG,垂足為C,tan4。=BH//DG,EF=12czn,DE=2cm,力到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為lczn,則圖中陰影部分的面積為cm2.試卷第3頁，總22頁四、解答題.在①ac=於，②csin/=3,③c=療》這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在AjBC,它的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且sin4=々sinB,C=g ?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分..已知公比大于1的等比數(shù)列｛%｝滿足+。4=20,a3=8.(1)求｛冊｝的通項(xiàng)公式；(2)求—a2a3H 卜(-l)n-lanan+l-.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門又寸某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：1^9/m3),得下表：\SO2[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過$150”$的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成卜.面的2x2列聯(lián)表：\SO2[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？試卷第4頁，總22頁

P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附：K2=n(ad-bc')2.如圖，四棱錐P—/BCD的底面為正方形，PD，底面/BCD.設(shè)平面P4D與平面附：K2=n(ad-bc')2(2)已知PD=/D=1,Q為，上的點(diǎn)，QB=VL求PB與平面QCD所成角的正弦值..已知橢圓C：W+、=l(a>b>>0)過點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)力為其左頂點(diǎn)，且的斜率為12⑴求C的方程；(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求^4MN的面積的最大值..己知函數(shù)f(x)=ae"T—Inx+Ina.(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸闈成的三角形的面積:(2)若求a的取值范圍.試卷第5頁，總22頁參考答案與試題解析2020年海南省高考數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo)II)一、選擇題【答案】c【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算法則求解.【解答】解：因?yàn)?={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8),所以4nB={2,3,5}.故選C.【答案】B【考點(diǎn)】更數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】根據(jù)更數(shù)的乘法運(yùn)算法則求解.【解答】解：(1+2i)(2+i)=2+5i+2i?i=2+5i—2=5i.故選從【答案】A【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用向量的三角形法則【解析】根據(jù)向量的平行四邊形法則求解.【解答】解：由三角形中線性質(zhì)，2CD=CB+CA,—> TT所以CB=2CD-CA.故選4【答案】B【考點(diǎn)】在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型解三角形的實(shí)際應(yīng)用試卷第6頁，總22頁【解析】先根據(jù)題目給定條件抽象出函數(shù)模型，然后利用空間線面位置關(guān)系求出線面角.【解答】解：畫出截面圖如圖所示，其中co是赤道所在平面的截線，1是點(diǎn)力處的水平面的截線，依題意可知0/_L，，是唇針?biāo)谥本€，m是懸面的截線.依題意依題意，暮面和赤道平面平行，卷針與卷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知m〃CD，根據(jù)線面垂直的定義可得/B1m.由于N/OC=4(T,m〃C0,目f以40/G=^AOC=40°.由于40/G+aGAE=匕BAE+Z.GAE=90°,所以4B/E=AOAG=40°,也即暮針與點(diǎn)力處的水平面所成角為上B/E=40°.故選8.【答案】C【考點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式【解析】根據(jù)互斥事件的概率列出方程組，解方程組即可得解.【解答】解：設(shè)只喜歡足球的百分比為x,只喜歡游泳的百分比為y,兩個項(xiàng)目都喜歡的百分比為z,(x+z=60/x+y+z=96,y+z=82,x=14,解得y=36,、z=46,所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是46%.故選C.【答案】C【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題【解析】先將3名學(xué)生分為2組，再將2組分配到2個山村.試卷第7頁，總22頁【解答】解：先將3人分成兩組，有點(diǎn)=3種分法，再將兩組分配到兩個山村，共用鹿=6種不同分配方案.故選C.【答案】D【考點(diǎn)】已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題【解析】先找出二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)最終判斷更合函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解答】解：令t="2_4%-5,由￡>0,得xv-l%>5,又/?(%)=log2t在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且亡=/—以—5在(5,+8)也單調(diào)遞增，由條件可知a25.故選D.【答案】D【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【解析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用分類討論思想討論不等式成立時工的取值范圍.【解答】解：因?yàn)槎x在R的奇函數(shù)f(x)在(—8,0)單調(diào)遞減，且/'(2)=(-2)=0.令g(x)=/(x-1),則9(3)=g(-l)=0,且g(x)在(-8,1),(1,+8)單調(diào)遞減,又當(dāng)％=0時，不等式xf(x—1)>0成立，當(dāng)％=1時，不等式xf(x-1)>0成立；當(dāng)％—1=2或%—1=一2時，即x=3或％=—1時，不等式xf(x—l)之。成立.當(dāng)”>0時，不等式x(x-1)之0等價為/(%-1)20,此時>°'此時1<x<3.10<x-1<2,當(dāng)x<。時，不等式x/(x-1)>0等價為f(x—1)<0,BP(X<0/ 得—1MxVO,1-2<x-1<0,綜上一1<x<0或1<x<3,即實(shí)數(shù)％的取值范圍是[—1,0]U[1,3].故選D.二、多選題【答案】試卷第8頁，總22頁C,D【考點(diǎn)】頻率分布折線圖、密度曲線【解析】根據(jù)折線圖給出信息判斷即可.【解答】解：從第1天到第7天更產(chǎn)指數(shù)逐口增加，從第7天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)也逐口減少，從第9天到第11天亞產(chǎn)指數(shù)也逐口增加，所以/選項(xiàng)錯：從圖中可以看出這11天期間，匆:工指數(shù)增量略大于復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量，所以B選項(xiàng)錯；從圖中可以看出第3天和第11天夏工更產(chǎn)指數(shù)均在80%線之上，所以C選項(xiàng)對；從圖中縱坐標(biāo)變化可以看出第9天至第11天更產(chǎn)指數(shù)增量大于愛工指數(shù)的增量，所以0選項(xiàng)對.故選CD.【答案】A,C,D【考點(diǎn)】雙曲線的漸近線橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】根據(jù)所給條件，逐一分析對應(yīng)的方程形式，結(jié)合橢圓、圓、雙曲線方程的定義進(jìn)行判斷即可.【解答】解：4,若則三則根據(jù)橢圓定義，知黑+卷=1表示焦點(diǎn)在州1上的Tnn — —mn橢圓，故4正確：B,若771="＞0,則方程為/+)/=，表示半徑為親的圓，故B錯誤；C,根據(jù)求雙曲線漸近線的方法，可以得雙曲線的漸近線方程+ny2=0,又因?yàn)椋?，所以漸近線方程為y=±燈故。正確：D,當(dāng)m=0,九＞0時，則方程為曠=土親表示兩條直線，故D正確.故選ACD.【答案】B,C【考點(diǎn)】由y=Asin(u)x+4))的部分圖象確定其解析式【解析】先用圖象上兩零點(diǎn)間的距離求出函數(shù)的周期，從而求得3,而后利用五點(diǎn)對應(yīng)法求得多,進(jìn)而求得圖象的解析式.【解答】試卷第9頁，總22頁解：由圖像知函數(shù)的周期T=2x（與一勺=71,所以=2.由五點(diǎn)對應(yīng)法得2xg+W=兀，得w=1.6 3則f(x)=sin(2%+y)( 27rit=cos^+T--—cos(2x+—/7T TC\=sin(__2x--)=sin(g-2x).故選BC.【答案】A,B,D【考點(diǎn)】基本不等式【解析】選項(xiàng)4左邊是代數(shù)式形式，右邊是數(shù)字形式，且己知a+b=l,故可考慮通過基本不等式和重要不等式建立M+X與〃+b的關(guān)系；選項(xiàng)B先利用指數(shù)函數(shù)的增減性將原不等式簡化為二元一次不等式，然后利用不等式的性質(zhì)及已知條件判斷：選項(xiàng)C需要利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的增減性將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b的關(guān)系式，然后利用基本不等式建立與己知條件a+b的關(guān)系；選項(xiàng)?；静坏仁降淖冃螒?yīng)用.【解答】解：A,已知a>0,b>0,且a+b=l,因?yàn)槭质?a+b)242a2+2^2,B'要證A"?只需證明a—>-l即可，即a>b—1,由于a>0?b>0且a+b=1,所以a>0,b—lvO,故B正確：2c,log2a+log2b=log2ab<log2(?)=-2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5寸，等號成立，故C錯誤;。，因?yàn)?V^+yfb)2=1+2\fab<l+a+b=2,試卷第10頁，總22頁所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=:時，等號成立，故D正確.故選/B0.三、填空題【答案】1【考點(diǎn)】柱體、錐體、臺體的體積計(jì)算【解析】利用等體枳轉(zhuǎn)化法結(jié)合三楂錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算.【解答】解：因?yàn)?0］網(wǎng)川=2x2--x2xl--x2xl--xlxl=->所以5-DiMN=Vd「A、MN=JxS&A\MNX4也=JXX2=1.故答案為：1.【答案】16T【考點(diǎn)】與拋物線有關(guān)的中點(diǎn)弦及弦長問題【解析】先根據(jù)題目給定信息求出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，再利用韋達(dá)定理和拋物線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求出弦長MB|.【解答】解：由題意可得拋物線焦點(diǎn)F(l,o)，直線1的方程為y=V3(X-1),將方程代入y2=4x并化簡得3y-10%+3=0.設(shè)/小,%),8(%”2)，則%1+0=爭所以由拋物線的定義可得|4引=占+0+P=,+2=,故答案為：V-【答案】3M-2n【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等差關(guān)系的確定【解析】先判斷出｛2九一1｝與｛3九一2｝公共項(xiàng)所組成的新數(shù)列w"的公差、首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式得出結(jié)論.【解答】解：將數(shù)列｛2n-1｝與｛3九-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛%｝為1,7,13,19,試卷第11頁，總22頁則Sn｝是以1為首項(xiàng)、以6為公差的等差數(shù)列，故它的前幾項(xiàng)和為nx1+吟丑X6=3標(biāo)_2兒故答案為：3n2-2n.【答案】【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型扇形面枳公式【解析】先利用解三角形和直線的位置關(guān)系求出圓的半徑，然后求出陰影部分的面枳，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法.【解答】設(shè)08=04=r,由題意4M=/N=7,EF=12,所以NF=5.因?yàn)?P=5,所以乙4Gp=45°,因BH〃DG,所以乙4H。=45°.因?yàn)?G與圓弧/IB相切于4點(diǎn)，所以。/_L/G,即△0/H為等腰直角三角形:在直角△OQD中，0Q=5-4，DQ=7-噂r.因?yàn)閠an/：。。。=—=DQ5所以21-這r=25-遞r,2 2解得r=2V2；等腰直角40AH面積為Si="2點(diǎn)X26=4,扇形/0B的面積52=：X？x（2VX）2=3兀，所以陰影部分的面積為S1+§2—；7T=4+[.故答案為:4+今四、解答題【答案】試卷第12頁，總22頁

解：①ac=，3.△4BC中,sinA=V3sinB,即b=4a,ac=V3,所以c=包.aa2+b2-c2Zab所以a=V3,b=19c=1；csirvl=3.△ABC中,csin/=asinC=asin看=3,所以a=6.因?yàn)閟inA=V3sinB,即a=取b,所以b=28.TOC\o"1-5"\h\z八a2+b2—c2 36+12—c2 >/3cosC= = -=一,lab 2X6X2\G 2所以C=25/3;c=y/3b.因?yàn)閟inA=V3sinB,即a=取b,又因?yàn)閏=或b,a~+b--c~ V3 nrcosC=————=—=#cos-,Zab 6 6與已知條件c=?相矛盾，6所以問題中的三角形不存在.【考點(diǎn)】余弦定理正弦定理【解析】條件①先根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理用一邊去表示另外兩條邊，然后用余弦定理求出三角形的三邊的長：②先用正弦定理結(jié)合已知求出a，b的長，然后用余弦定理求出c的長；③先利用正弦定理結(jié)合已知用b表示a，c,然后利用余弦定理求得4C與給定值不同，從而判定三角形不存在.【解答】解：①ac=y/3.△4BC中，s\nA=V3sinB,即》=正呢3ac=V3,所以c=ca2ca2+b2-c2

cosC=———

2ab=上殳*="2v*7a2 -2，-3-所以a=V3,b=19c=1；②csirvl=3.試卷第13頁，總22頁

△中,△中,csinA=asinC=asin=3,所以a=6.因?yàn)閟in/4=>/3sinB,即a=s/3b,所以b=2^3.TOC\o"1-5"\h\zca2+b2-c2 36+12-c2 遍COSL= = -=—，Zab 2X6X2雷 2所以C=2^3;③c=Mb.因?yàn)閟in/4=V3sinB,即a=V3b,又因?yàn)閏=73b,八a2-￥b2-c2 \f3tn2abcosC= =—=#cos-,與已知條件C=*相矛盾，2ab所以問題中的三角形不存在.18.【答案】解：(1)因?yàn)?20,=8’所以，+8q=20,2q2—5q+2=0.解得q=2或q=<(舍去)，所以的=2,所以an=2九.(2)令bn=(-l)n-1anan+i，則匕=x2nx2n+1=(一1尸x22f因?yàn)?-=(r)：：x2；+=—45之2,九CN"),bn-i(-l)?*-2x22nT 、 )又=8,所以｛5｝是以8為首項(xiàng)，-4為公比的等比數(shù)列，所以的02-a2a3+…+(-l)n-1anan+1=瓦+%+壇+…+bn__8-(-1)耿2什"4_8-(-1)耿22n+31-(-2)2 5 ,【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】(1)先根據(jù)已知條件列出關(guān)于q的一元二次方程，解出q的取值，從而求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)題中所給條件將數(shù)列出｝用也即+1｝表示，然后證明數(shù)列?。堑缺葦?shù)列，最后用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得最終結(jié)果.【解答】解：(1)因?yàn)椤?+。4=20,。3=8,所以，+8q=20,2q2—5q+2=0.試卷第14頁，總22頁

解得q=2或q=：(舍去),所以%=2,所以=2n.(2)令％=(-1尸/%1，則b=(―1)〃Tx2nx2n+1=(―1)〃Tx22n+1.因?yàn)槎?(-l)n"因?yàn)槎?(-l)n"xX22n+=-4(n>2,neNx)，又瓦=8,所以他工是以8為首項(xiàng)，-4為公比的等比數(shù)列，所以—a2a3+…+(—l)n-1^nan+l=瓦+與+與H 卜bn_8-(-l)nx2n+1x4_8-(-l)nx22n+3= 1-(-2)2 = 5 ?19.【答案】解：(1)用頻率估計(jì)概率，從而得到“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過$150”$的概率c32+18+6+8P= ———=0.64.100(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2x2列聯(lián)表:\SO2PM2^\[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，由腔_Mad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=粵鬻關(guān)誓”484>6.635,P{K2>0.635)=0.01.故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S0濃度有關(guān).【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)古典概型及其概率計(jì)算公式【解析】(1)根據(jù)題目已知信息利用頻率估計(jì)概率；(2)根據(jù)題目給定信息畫出2x2列聯(lián)表；(3)根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算K的觀測值K2,得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.【解答】解：(1)用頻率估計(jì)概率，從而得到“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過$150”$的概率試卷第15頁，總22頁

c32+18+6+8P= =0.64.100(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2x2列聯(lián)表:100X(64X10-1.6X10)280X20X74X26100X(64X10-1.6X10)280X20X74X26=7.484>6.635,XSO：[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P{K2>0.635)=0.01.故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S0濃度右.關(guān).20.【答案】(1)證明：過P在平面P4D內(nèi)作直線由4D〃BC,可得，〃BC,即，為平面P4D和平面PBC的交線，因?yàn)镻D_L平面/BCD,BCu平面/BCD,所以PD1BC.又BC1CD,CDCPD=D,所以平面PCD.因?yàn)?/BC,所以，，平面PCD：(2)如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線D4,DC,OP所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則D(0,0,0),C(l,0,0),4(04,0),P(0Ol),設(shè)Q(0,m,l)(m>0),BQ= 1,1),試卷第16頁，總22頁

因?yàn)镼B=&,所以(—l)2+(m—l)2+12=2,化簡得(m—1)2=0,所以m=l,所以Q(0,l,l),因此，DQ=(0,1,1),DC=(1,0,0),PB=(14,-1).設(shè)平面QCD的法向量為l=(a,b,c),取蔡=(04,-1),取蔡=(04,-1),所以cos〈PB向=PBn所以cos〈PB向=\PB\\n\ 遍X、反 3所以PB與平面QCD所成角的正弦值為厚.【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角直線與平面垂直的判定【解析】(1)先求1的平行線BC與面PCD垂直，再利用線面垂直的判定即可得證；(2)選取合適的點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后運(yùn)用向量法求得線面夾角的三角函數(shù)值.【解答】(1)證明：過P在平面P4。內(nèi)作直線由4)〃BC,可得，〃BC,即，為平而入。和平面PBC的交線，因?yàn)镻D_L平面/BCD,BCu平面/BCD,所以PD1BC.又BC1CD,CDCPD=D,所以平面PCD.因?yàn)椤?BC,所以I_L平面PCD：(2)如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線D4,DC,OP所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.試卷第17頁，總22頁則D(0,0,0),C(1,O,O),爾0,1,0),P(OOl),5(14,0).設(shè)Q(0,?n,l)0n>0),BQ=(-1,171-1,1),因?yàn)镼B=所以(—1)2+(771—1)2+12=2,化簡得(m—1)2=0,所以m=l,所以Q(0,l,l),因此，DQ=(0,14)>DC=(1,0,0),PB=(14,-1).設(shè)平面QCD的法向量為胃=(a,b,c),取國(0,1,-L),所以cos(法用=磊=『解衛(wèi)所以PB與平面QCD所成角的正弦值為某3【答案】解：(1)由題意可知直線4M的方程為：y—3=*X—2),即x—2y=—4當(dāng)y=0時，解得％=-4,所以a=4.橢圓C:《+《=13＞匕＞0)過點(diǎn)M(2,3),可喋+總=1，解得匕2=12.所以C的方程：，十日=1.16 12(2)設(shè)與直線4M平行的直線方程為：x-2y=m,如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N,此時△4MN的面枳取得最大值.試卷第18頁，總22頁聯(lián)立直線方程％-2y=in與橢圓方程1+左=1，XOXLa可得：3(m+2y)2+4y2=48,化簡可得：16y2+i2my+3m2-48=0,所以21=144m2-4x16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=+8.與/M距離比較遠(yuǎn)的直線方程：%-2y=8,直線4M方程為：x-2y=-4.點(diǎn)N到直線的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：d=需=平，由兩點(diǎn)之間距離公式可得|/M|='(2+4)2+32=3府所以△/MN的面枳的最大值：|x3V5x^=18.4 D【考點(diǎn)】直線與橢圓結(jié)合的最值問題橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】(1)利用左頂點(diǎn)在已知直線上，可求得a,然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程求出b,從而得到橢圓方程；(2)設(shè)出與直線4M平行的直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用判別式為0,求出橢圓的切線方程，然后求解三角形的最大值.【解答】解：(1)由題意可知直線4M的方程為：y—3=：(x—2),即x—2y=—4當(dāng)y=。時,解得x=-4,所以a=4.橢圓C:盤+真=1伍＞＞匕＞0)過點(diǎn)M(2,3),可得解得匕2=12.所以C的方程：[+[=1.16 12試卷第19頁，總22頁(2)設(shè)與直線4M平行的直線方程為：x-2y=m,如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N,此時△4MN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程％-2y=rn與橢圓方程三+1=1，16 12可得：3(m+2y7+4y2=48,化簡可得：16y2+i2my+3m2-48=0,所以J=144m2-4x16(3m2-48)=0,即m?=64,解得?n=±8.與4M距離比較遠(yuǎn)的直線方程：%-2y=8,直線4M方程為：%-2y=-4.點(diǎn)N到直線4M的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：d=描=萼，由兩點(diǎn)之間距離公式可得=’(2+4尸+32=3后所以△4MN的面積的最大值：lx375 18.2 5【答案】解：(1)當(dāng)a=e時，f(%)=ex-ln%+l,所以尸(%)=城一2，1XT所以尸(1)=。一1.因?yàn)閒(l)=。+1，所以曲線y=/(外在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為y-(。+1)=(e-1)(%-1).當(dāng)x=0時，y