創(chuàng)新方案高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精編（人教新課標(biāo)）51數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法doc高中數(shù)學(xué)

6/6第五章第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法題組一由數(shù)列的前n項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式1.數(shù)列eq\r(2)、eq\r(5)、2eq\r(2)、…，那么2eq\r(5)是該數(shù)列的()A．第6項(xiàng)B．第7項(xiàng)C．第10項(xiàng)D．第11項(xiàng)解析：原數(shù)列可寫(xiě)成eq\r(2)、eq\r(5)、eq\r(8)，….∵2eq\r(5)＝eq\r(20)，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.答案：B2．以下關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A．a(chǎn)n＝n2－n＋1B．a(chǎn)n＝eq\f(n(n－1),2)C．a(chǎn)n＝eq\f(n(n＋1),2)D．a(chǎn)n＝eq\f(n(n＋2),2)解析：從圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，n＝1時(shí)，有1個(gè)；n＝2時(shí)，有3個(gè)；n＝3時(shí)，有6個(gè)；n＝4時(shí)，有10個(gè)；…∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n(n＋1),2).答案：C3．n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表：03→47→811…↓↑↓↑↓↑1→25→69→10根據(jù)規(guī)律，從2009到2011的箭頭方向依次為()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：觀察4的倍數(shù)0,4,8，…的位置．由于2009＝4×502＋1，故2009在箭頭↓的下方，從而2009與2010之間是箭頭→，2010與2011之間是箭頭↑.答案：B題組二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式4.(2023·福州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，那么k＝()A．9B．8C．7D．6解析：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1(n＝1)，,Sn－Sn－1(n≥2)，))＝∵n＝1時(shí)適合an＝2n－10，∴an＝2n－10.∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8，∴eq\f(15,2)＜k＜9.又∵k∈N*，∴k＝8.答案：B5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋24n(n∈N)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn到達(dá)最大？最大值是多少？解：(1)n＝1時(shí)，a1＝S1＝23；n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋25.經(jīng)歷證，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N)．(2)法一：∵Sn＝－n2＋24n＝－(n－12)2＋144，∴n＝12時(shí)，Sn最大且Sn＝144.法二：∵an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25＞0，有n＜eq\f(25,2)，∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值為144.題組三由an與an＋1(或an－1)的關(guān)系求通項(xiàng)公式6.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋eq\f(1,n))，那么an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：法一：由已知，an＋1－an＝lneq\f(n＋1,n)，a1＝2，∴an－an－1＝lneq\f(n,n－1)，an－1－an－2＝lneq\f(n－1,n－2)，……a2－a1＝lneq\f(2,1)，將以上n－1個(gè)式子累加得：an－a1＝lneq\f(n,n－1)＋lneq\f(n－1,n－2)＋…＋lneq\f(2,1)＝ln(eq\f(n,n－1)·eq\f(n－1,n－2)·…·eq\f(2,1))＝lnn，∴an＝2＋lnn.法二：由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋eq\f(1,2))＝2＋ln3，排除B.答案：A7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，那么a1000＝()A．5B．－5C．1D．－1解析：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得該數(shù)列為1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此數(shù)列為周期數(shù)列，由此可得a1000＝－1.答案：D8．根據(jù)以下各個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)和根本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)．解：(1)∵an＝an－1＋3n－1，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31.以上(n－1)個(gè)式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝eq\f(3n－1,2).(2)∵an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，…a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)個(gè)式子相乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)……eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).題組四數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)及綜合應(yīng)用9.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(na,(n＋1)b)，其中a、b均為正常數(shù)，那么an與an＋1的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)n＞an＋1B．a(chǎn)n＜an＋1C．a(chǎn)n＝an＋1D．與n的取值有關(guān)解析：eq\f(an,an＋1)＝eq\f(na,(n＋1)b)÷eq\f((n＋1)a,(n＋2)b)＝eq\f(n(n＋2),(n＋1)2)＝eq\f(n2＋2n,n2＋2n＋1)＜1，∵an＋1＞0，∴an＜an＋1.答案：B10．(2023·溫州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，令Tn＝eq\f(S1＋S2＋…＋Sn,n)，稱(chēng)Tn為數(shù)列a1，a2，…，an的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，…，a501的“理想數(shù)”為2023，那么數(shù)列2，a1，a2…，a501的“理想數(shù)”為()A．2023B．2023C．2023D．2023解析：∵a1，a2，…，a501的“理想數(shù)”為2023，∴eq\f(S1＋S2＋…＋S501,501)＝2023，∴2，a1，a2…，a501的理想數(shù)為eq\f(2＋(S1＋2)＋(S2＋2)＋…＋(S501＋2),502)＝eq\f((S1＋S2＋…＋S501)＋2×502,502)＝2＋eq\f(501×2023,502)＝2＋4×501＝2023.答案：B11．(文)數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S21＝________.解析：a1＝eq\f(1,2)－a2＝eq\f(1,2)－2，a2＝2，a3＝eq\f(1,2)－2，a4＝2，…，知數(shù)列為周期數(shù)列，周期T＝2，a1＋a2＝eq\f(1,2)，∴S21＝10×eq\f(1,2)＋a1＝5＋eq\f(1,2)－2＝eq\f(7,2).答案：eq\f(7,2)(理)已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，那么a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，∴an＝(－1)n(2n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a100＝－3＋5－7＋…－199＋201＝2×50＝100.答案：10012．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)(理)假設(shè)bn＝n(eq\f(1,2))an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，試比較Tn與eq\f(21,16)的大?。猓?1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(an,2)＋eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)，①Sn－1＝eq\f(an－1,2)＋eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)，②①－②即得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.(3)(理)由(2)知an＝n，那么bn＝n(eq\f(1,2))an＝eq\f(n,2n)，故Tn＝eq\f(1,2)＋2×(eq\f(1,2))2＋…＋n(eq\f(1,2))n，①eq\f(1,2)Tn＝(eq\f(1,2))2＋2×(eq\f(1,2))3＋…＋(n－1)(eq\f(1,2))n＋n(eq\f(1,2))n＋1，②①－②得：eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＋…＋(eq\f(1,2))n－n(eq\f(1,