彈性力學(xué)-08課件

第八章空間問(wèn)題的基本理論要點(diǎn)：（1）空間問(wèn)題的基本方程——平衡微分方程、幾何方程、物理方程、邊界條件等。（2）空間應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析（3）軸對(duì)稱與球?qū)ΨQ問(wèn)題的基本方程（4）Descartes張量簡(jiǎn)介及基本方程和基本量的張量表示§8-1平衡微分方程主要內(nèi)容

§8-2物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§8-3主應(yīng)力與應(yīng)力主向§8-4最大與最小的應(yīng)力§8-5幾何方程剛體位移體積應(yīng)變§8-6物體內(nèi)一點(diǎn)的形變狀態(tài)§8-7物理方程方程總結(jié)§8-8軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程§8-9球?qū)ΨQ問(wèn)題的基本方程§8-0Descartes張量簡(jiǎn)介§8-0Descartes張量簡(jiǎn)介1.張量的定義及變換規(guī)律(1)一群量的下標(biāo)記法三維Descartes坐標(biāo)系——三維直角坐標(biāo)系Descartes參考系下的張量——Descartes張量位移：可用下標(biāo)表示為縮寫為(i=1，2，3)坐標(biāo)：可用下標(biāo)表示為縮寫為(i=1，2，3)應(yīng)力分量：可表示為縮寫為(i=1，2，3)(j=1，2，3)改寫為縮寫為(i=1，2，3)(j=1，2，3)用下標(biāo)表示為注意：——工程剪應(yīng)變；——剪應(yīng)變分量。應(yīng)變分量：(2)Kronecker

記號(hào)——稱為Kronecker（克魯奈克）記號(hào)對(duì)三維情形(i，j=1，2，3)排列成矩陣：(3)張量的定義和變換規(guī)律SPx1Ox2x3矢量S在坐標(biāo)系Ox1x2x3的分量（投影）：矢量S在坐標(biāo)系的分量（投影）：對(duì)二維情形(i，j=1，2)排列成矩陣：新舊坐標(biāo)軸間的方向余弦：SPx1Ox2x3x3x2x1變換關(guān)系簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為（a）（b）SPx1Ox2x3A兩個(gè)矢量：A=S=兩個(gè)矢量標(biāo)量積：顯然，應(yīng)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，即有（c）矢量的定義：如果已知是矢量，而是與坐標(biāo)有關(guān)的三個(gè)標(biāo)量，它們使得一次形式：在坐標(biāo)變換時(shí)不變，則為矢量。矢量的定義：如果已知是矢量，而是與坐標(biāo)有關(guān)的三個(gè)標(biāo)量，它們使得一次形式：在坐標(biāo)變換時(shí)不變，則為矢量?！袆e任意三個(gè)標(biāo)量是否構(gòu)成矢量的準(zhǔn)則。矢量的變換規(guī)律：設(shè)、和、分別為兩種坐標(biāo)系中的分量，根據(jù)題設(shè)，它們之間應(yīng)有（d）將式（b）：（b）代入式（d）等號(hào)的左邊，有x1Ox2x3PAS設(shè)、和、分別為兩種坐標(biāo)系中的分量，根據(jù)題設(shè)，它們之間應(yīng)有（d）將式（b）：（b）代入式（d）等號(hào)的左邊，有比較式（d）等號(hào)的右邊，有（e）x1Ox2x3PASx1Ox2x3PAS（a）同理，將式（a）：代入式（d）右端，有比較式（d）左端：（d）得到：（f）式（e）與式（f）為矢量的變換規(guī)律。（e）可見：于坐標(biāo)系的選擇，且遵循矢量的變換規(guī)律，所以組成一矢量。不僅依賴二階張量的定義：設(shè)與為二矢量，（i、j=1,2,3）是與坐標(biāo)選擇有關(guān)的9個(gè)量，若當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，雙一次形式：保持不變，則稱取決于兩個(gè)下標(biāo)i、j

的9個(gè)量aij

的集合為二階張量。aij

中的每一個(gè)量被稱為此張量（對(duì)指定坐標(biāo)系）的分量。如：二階張量的變換規(guī)律：由題設(shè)條件，當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，有：（g）將變換關(guān)系式：代入上式左邊，得：——應(yīng)力張量，——應(yīng)變張量二階張量的變換規(guī)律：由題設(shè)條件，當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，有：（g）將變換關(guān)系式：代入上式左邊，得：將上式中和號(hào)交換，有：比較式（g）的右邊，有：（h）（g）同理將變換關(guān)系式：代入上式右邊，得：將上式中和號(hào)交換，有：比較式（g）的左邊，有：（i）二階張量的變換規(guī)律為：（h）（i）——構(gòu)成二階張量的變換對(duì)。為判別具有下標(biāo)的9個(gè)量是否張量的依據(jù)。三階張量或定義為：是與坐標(biāo)選擇有關(guān)的27個(gè)量，若當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，三一次形式：（i、j、k=1,2,3）設(shè)、為三矢量，、保持不變，則稱取決于兩個(gè)下標(biāo)i、j

、k的27個(gè)量aijk

的集合為三階張量。aijk

中的每一個(gè)量被稱為此張量（對(duì)指定坐標(biāo)系）的分量。（i、j、k=1,2,3）三階張量的定義為：是與坐標(biāo)選擇有關(guān)的27個(gè)量，若當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，三一次形式：設(shè)、為三矢量，、保持不變，則稱取決于兩個(gè)下標(biāo)i、j

、k的27個(gè)量aijk

的集合為三階張量。aijk

中的每一個(gè)量被稱為此張量（對(duì)指定坐標(biāo)系）的分量。三階張量的變換規(guī)律為：類似地，可定義三階以上的任意階張量。張量概念小結(jié)：（1）張量概念的兩個(gè)要點(diǎn)：（a）存在一個(gè)與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)的不變量F，如：二階張量（b）不同坐標(biāo)系間變換時(shí)，服從同樣的變換規(guī)律，如：二階張量（2）張量的階數(shù)與分量數(shù)：張量的階數(shù)=表示張量所用的下標(biāo)數(shù)張量是一群具有下標(biāo)量的集合。（2）張量的階數(shù)與分量數(shù)：張量的階數(shù)=表示張量所用的下標(biāo)數(shù)二階張量：在三維空間中，其分量數(shù)：9在二維空間中，其分量數(shù)：4三階張量：在三維空間中，其分量數(shù)：27在二維空間中，其分量數(shù)：8一階張量：（即：矢量）在三維空間中，其分量數(shù)：3在二維空間中，其分量數(shù)：20階張量：（即：標(biāo)量）如：溫度T、能量U等n階張量:在三維空間中，其分量數(shù)：在二維空間中，其分量數(shù)：分量數(shù)：1（3）單位張量：——三維空間中的單位張量——二維空間中的單位張量（4）對(duì)稱張量與反對(duì)稱張量：若一二階張量：具有則稱該二階張量為對(duì)稱張量。若一二階張量：具有則稱該二階張量為反對(duì)稱張量。若將其排列成矩陣，必有：如：應(yīng)力張量、等。（5）任意張量的分解定理：對(duì)任一張量（既非對(duì)稱，又非反對(duì)稱）[aij

]，總可以唯一地分解為一個(gè)對(duì)稱張量[eij]

與一個(gè)反對(duì)稱張量[pij]

之和。證明：設(shè)注意到：于是有：（j）（k）聯(lián)立求解式（j）與式（k），有不難看出，張量

[eij]

與[pij]分別符合對(duì)稱與反對(duì)稱條件。2.張量的運(yùn)算（1）張量的和若兩個(gè)二階張量

[aij]

與[bij],其和張量為[cij]，則有同理，可定義n

階張量的和運(yùn)算。說(shuō)明：（1）張量的和運(yùn)算必須在兩個(gè)同階張量間進(jìn)行。（2）張量的和運(yùn)算為兩張量對(duì)應(yīng)分量的和運(yùn)算。這一點(diǎn)與矩陣運(yùn)算相似。（2）張量的求導(dǎo)運(yùn)算表示在彈性力學(xué)中，常遇到一些量（如：位移分量ui

、應(yīng)力分量ij

、應(yīng)變分量ij

等）對(duì)于坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)的下標(biāo)記法如下：（2）張量的求導(dǎo)運(yùn)算表示在彈性力學(xué)中，常遇到一些量（如：位移分量ui

、應(yīng)力分量ij

、應(yīng)變分量ij

等）對(duì)于坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)的下標(biāo)記法如下：等等。上述中的每一組量的集合都是張量。如：——9個(gè)量的集合，為二階張量。——27個(gè)量的集合，為三階張量。——81個(gè)量的集合，為四階張量。為二階張量的證明：因?yàn)椋捍肭笆?，有交換和號(hào)顯然，符合二階張量的變換規(guī)律。因此，為一二階張量。3.求和約定與彈性力學(xué)基本方程的張量表示（1）求和約定例子：兩個(gè)現(xiàn)象：（a）求和運(yùn)算；（b）求和號(hào)內(nèi)存在重復(fù)指標(biāo)，求和運(yùn)算僅對(duì)重復(fù)指標(biāo)進(jìn)行。求和約定：凡在同一項(xiàng)內(nèi)，有一個(gè)指標(biāo)出現(xiàn)兩次時(shí)，則該指標(biāo)從1~3求和（對(duì)二維空間，則從1~2求和）。——Einstein求和約定作求和的下標(biāo)——稱為啞指標(biāo)；不作求和的下標(biāo)——稱為自由指標(biāo)。（啞指標(biāo)在求和后不再出現(xiàn)）如：式中：指點(diǎn)標(biāo)

j為啞指標(biāo)；指點(diǎn)標(biāo)

i為自由指標(biāo)。坐標(biāo)變換式：兩矢量標(biāo)量積：二階張量的變換式：注意：?jiǎn)≈笜?biāo)的符號(hào)可隨意變化，而不影響結(jié)果，如：（2）彈性力學(xué)平面問(wèn)題基本方程的張量表示對(duì)于平面問(wèn)題，取i,j=1,2。（a）平衡微分方程式中：X1=X，X2=Y表示體力分量。（b）幾何方程（c）物理方程（平面應(yīng)力問(wèn)題）或：式中：（d）邊界條件應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：式中：Lame系數(shù)3.置換張量（1）置換張量的定義：當(dāng)ijk=1,2,3;2,3,1;3,1,2順序排列時(shí)；其定義如下：在Decartes

坐標(biāo)中引進(jìn)記號(hào)：eijk

，當(dāng)ijk=3,2,1;2,1,3;1,3,2逆序排列時(shí)；當(dāng)任何兩個(gè)或三個(gè)下標(biāo)相等時(shí)；如ijk=1,1,3;2,2,1;2,2,2順序排列時(shí)；（a）行列式的計(jì)算eijk

——稱為置換張量，也稱排列張量。（2）置換張量eijk的應(yīng)用可以證明，eijk

符合三階張量的變換規(guī)律?！冃螀f(xié)調(diào)方程對(duì)于平面情形，取i、j=1、2，m=n=3，有其中：用坐標(biāo)x，y表示，有（b）變形協(xié)調(diào)方程（應(yīng)變相容方程）——平面問(wèn)題的變形協(xié)調(diào)方程§8-1平衡微分方程xyzOPABC在點(diǎn)P附近取一微元體，如圖所示，P點(diǎn)的應(yīng)力為：體力分量為：由微元體的平衡條件建立平衡微分方程。xyzOPABC將上式同除以dxdydz，化簡(jiǎn)得：同理，由：得到x、y方向的平衡微分方程。xyzOPABC另外由三個(gè)方向軸的力矩平衡：——剪應(yīng)力互等定理可得到：最后，得到微元體的平衡微分方程為：空間問(wèn)題的平衡微分方程為：（8-1）用張量表示：式中：為體力分量?！?-2物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)目的：（1）建立空間的邊界面力與內(nèi)部應(yīng)力間關(guān)系，即邊界條件；（3）分析一點(diǎn)的主應(yīng)力與主方向；（2）過(guò)一點(diǎn)任意斜截面上的應(yīng)力；xyzOPABCNXNYNZN1.任意斜截面上的應(yīng)力對(duì)P點(diǎn)取如圖所示的四面體（微元體）平面PBC、PAC、PAB分別與x、y、z

坐標(biāo)平面平行，斜截面ABC的外法線方向?yàn)镹，其方向余弦分別為：P點(diǎn)的應(yīng)力：斜截面的應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量：xyzOPABCNXNYNZNP點(diǎn)的應(yīng)力：斜截面的應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量：外法線N的方向余弦：設(shè)斜截面ABC的面積為S，四面體的體積為V，PBC的面積為lS;PAC的面積為mS;PAB的面積為nS。由微元體的平衡，得等式兩邊同除以S，有因?yàn)闉楦唠A無(wú)窮小，可略去。得xyzOPABCNXNYNZN（8-2）

——任意斜截面應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量斜截面的正應(yīng)力N：（8-3）用矩陣表示

：用張量表示

：斜截面上的剪應(yīng)力N：因?yàn)樾泵嫔先珣?yīng)力SN：（8-4）結(jié)論：則可確定過(guò)該點(diǎn)任意斜截面上的正應(yīng)力N和剪應(yīng)力N

。在物體內(nèi)任一點(diǎn)，如果已知其六個(gè)應(yīng)力分量：表明：六個(gè)應(yīng)力分量完全確定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。xyzOPABCNXNYNZN2.空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件（8-2）

——任意斜截面應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量代入式（8-2），有：（8-5）若斜面ABC為物體的邊界面，則XN、YN、ZN成為邊界面力分量：xyzOPABCNXNYNZN若用張量表示，有：——一般空間問(wèn)題的邊界條件§8-3主應(yīng)力與應(yīng)力主向1.主應(yīng)力

定義：當(dāng)P點(diǎn)的某一斜面上的剪應(yīng)力為零時(shí)，則該斜面上正應(yīng)力稱為P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力。該斜面稱為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面（主平面）。主平面法線方向稱為P點(diǎn)一個(gè)應(yīng)力主向，或稱主方向。由定義，在主應(yīng)力面上，有則該面上全應(yīng)力：將SN=

向三個(gè)坐標(biāo)軸投影，有將上式代入式（8-2），有（a）同時(shí)，有（b）將式（a）改寫為將l、m、n作為變量，∵它們不全為零，有（c）（8-2）

——任意斜截面應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量考慮到：將上述行列式展開，有（8-6）求解式（8-6）關(guān)于

的三次方程，可得三個(gè)實(shí)根

1、2、

3

即為P點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。2.主方向設(shè)主應(yīng)力

1所在平面（主平面）法線的方向余弦為：l1、m1、n1

，將其式（c），有

（c）上述方程中僅兩個(gè)獨(dú)立的，將式中前兩個(gè)方程同除以

l1，得由此可求得：上述方程中僅兩個(gè)獨(dú)立的，將式中前兩個(gè)方程同除以

l1，得并將其代入式（b）（b）可求得：同理，可求出：l2、m2、n2，l3、m3、n3

?？梢宰C明，三個(gè)主應(yīng)力方向互相垂直。將

1、2、

3方向?qū)?yīng)的l1、m1、n1

；

l2、m2、n2；l3、m3、n3

代入式（c），有（d）（e）（f）空間問(wèn)題的平衡微分方程（8-1）用張量表示：xyzOPABCNXNYNZN任意斜截面應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量（8-2）斜截面的正應(yīng)力

N：（8-3）（8-4）用矩陣表示

：用張量表示

：斜截面的剪應(yīng)力

N：xyzOPABCNXNYNZN空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件：（8-5）用張量表示，有：xyzOPABCNXNYNZN主應(yīng)力與應(yīng)力主向（8-6）主應(yīng)力主方向由此可求得：同理，可求出：l2、m2、n2，l3、m3、n3

。由此可求得：上述方程中僅兩個(gè)獨(dú)立的，將式中前兩個(gè)方程同除以

l1，得并將其代入式（b）（b）可求得：同理，可求出：l2、m2、n2，l3、m3、n3

?？梢宰C明，三個(gè)主應(yīng)力方向互相垂直。將

1、2、

3方向?qū)?yīng)的l1、m1、n1

；

l2、m2、n2；l3、m3、n3

代入式（c），有（d）（e）（f）（d）（e）同理，可得：將式（d）中三式分別乘以l2、m2、n2；而式（e）三式分別乘以l1、m1、n1

，然后將其6式相加，并整理合并得：（g）（h）（i）（1）當(dāng)

1≠2≠3時(shí)，有表明：此時(shí)三個(gè)主應(yīng)力方向互相垂直。32

1O（2）當(dāng)

1=2≠

3時(shí)，（g）（h）（i）有下面兩式成立：而說(shuō)明3的同時(shí)與

1、2方向垂直?？梢缘扔诹悖部梢圆坏扔诹?，說(shuō)明

1與2可以垂直，也可以不垂直，即與

3垂直的方向都是主方向。（3）當(dāng)

1=2=

3時(shí)，三者都可以等于零，也可以不等于零，說(shuō)明

1、2、33個(gè)主方向可以垂直，也可以不垂直，即任何方向者都是主方向。如三向等拉或等壓。3.應(yīng)力不變量設(shè)三個(gè)主應(yīng)力

1、2、

3

已求得，取這三個(gè)

123主應(yīng)力單元體主應(yīng)力方向分別為x、y、z三坐標(biāo)方向,則有xyz展開后，得與式（8-6）比較（8-7）因?yàn)椋谝欢ǖ膽?yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)力不會(huì)隨坐標(biāo)的改變而變化，所以，方程（8-7）左邊的三個(gè)表達(dá)式也不隨坐標(biāo)系的改變而改變，于是有三個(gè)應(yīng)力不變量：與式（8-6）比較有：（8-6）（8-8）4.八面體斜面上的應(yīng)力

123設(shè)三個(gè)主應(yīng)力

1、2、

3

已求得，取這三個(gè)主應(yīng)力方向分別為x、y、z三坐標(biāo)方向,xyz現(xiàn)取一特殊的斜面：注意到：可求得該斜面的方向余弦：符合上述條件的面有八個(gè)，這八個(gè)面構(gòu)成一八面體，如圖所示

。八面體斜面上的應(yīng)力——八面體應(yīng)力。（1）八面體斜面上的正應(yīng)力：可見：八面體斜面上的正應(yīng)力等于平均應(yīng)力m（2）八面體斜面上的剪應(yīng)力：八面體斜面上合應(yīng)力在三坐標(biāo)軸上分量：八面體斜面上合應(yīng)力：八面體斜面上剪應(yīng)力：八面體上剪應(yīng)力八面體上剪應(yīng)力材料力學(xué)中第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力：八面體應(yīng)力——在塑性力學(xué)和強(qiáng)度理論中用5.應(yīng)力偏張量與應(yīng)力球張量八面體上正應(yīng)力5.應(yīng)力偏張量與應(yīng)力球張量其中：顯然，有：——應(yīng)力偏張量——應(yīng)力球張量引起體積改變引起彈性變形引起形狀改變引起塑性變形§8-4最大與最小的應(yīng)力1.最大、最小正應(yīng)力

123主應(yīng)力單元體xyzxyzO

123NN設(shè)

1、2、

3已知，如圖取坐標(biāo)系，則有按主應(yīng)力狀態(tài)，任取一斜截面，其法線N的方向余弦為：l、m、n。由斜截面應(yīng)力計(jì)算公式（8-3）：（8-3）得：（a）利用式：將

N視為變量m、n的二元函數(shù)，對(duì)m、n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，有xyzO

123NN將

N視為變量m、n的二元函數(shù)，對(duì)m、n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，有可求得：將其代回：可求得：表明：

N的一個(gè)極值為

1

。同理，可求得：

N的另二個(gè)極值為

2

、

3

。比較極值

1、2、

3中最大者，即為最大應(yīng)力；最小者即為最小應(yīng)力。通常取最大應(yīng)力——

1；通常取最小應(yīng)力——

2。即：2.最大、最小剪應(yīng)力xyzO

123NNN如圖選取坐標(biāo)系，由式（8-2）得斜面上的應(yīng)力在三坐標(biāo)方向的分量：（8-2）（b）（8-4）將其式（8-4）：（c）利用式：消去式中的三個(gè)方向余弦之一，如：l，有將兩邊對(duì)m、n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即將兩邊對(duì)m、n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即xyzO

123NNN化簡(jiǎn)得：（d）可求得三組解答：（1）（2）（3）xyzO

123NNN（1）（2）（3）同理，可求出另三組解答：（4）（5）（6）得到N極值的六組解答，可用圖示表格表示。000(N)20±100n00±10m000±1lN

的極值及其所在平面法線的方向余弦主平面N極值不為零的平面顯然，最大最小剪應(yīng)力：

312zxy最大最小剪應(yīng)力平面結(jié)論：最大最小剪應(yīng)力在數(shù)值上等于最大和最小主應(yīng)力差的一半，作用在通過(guò)中間主應(yīng)力2且“平分最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力夾角的平面上”。已知在直角坐標(biāo)系中，物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力分量為試求：過(guò)此點(diǎn)方程為的平面上的正應(yīng)力。

解：例：法線方向的方向余弦：由應(yīng)力矩陣：§8-5幾何方程剛體位移體積應(yīng)變1.幾何方程xyzOdxdydzP設(shè)任一點(diǎn)P的位移為：u、v、w，考察P點(diǎn)鄰近線段dx

、dy

、dz

的伸縮變形及夾角的改變。類似于平面情形的分析推導(dǎo)，有（8-9）若用張量表示，有（i

，j=1，2，3）2.剛體運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)是指沒(méi)有變形情況下的物體內(nèi)各點(diǎn)的位移。即有代入幾何方程，有（a）積分式（a）中前三式，有（b）式中：f1、f2、f3為任意待定函數(shù)。將式（b）代入式（a）后三式，有（c）（c）

將上式中的第二、第三式分別對(duì)z、y求偏導(dǎo)，有：上式表明：

f1(y,z)

中只可能包含常數(shù)項(xiàng)，y、z的一次項(xiàng)，和yz

項(xiàng)，即同理，有：將以上三式代回式（c），得要使任意的xyz，上述方程成立：由右側(cè)三式，得：將其代回f1、f2、f3，有將上式中的常數(shù)a、e、i、k、c、g

改寫為u0、v0、w0、x、y、z

，有（8-10）與形變無(wú)關(guān)的位移——?jiǎng)傮w位移式中：x、y、z

為一點(diǎn)繞三個(gè)坐標(biāo)軸的微小轉(zhuǎn)角；對(duì)于平面情形，有u0、v0、w0分別為沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的剛體位移。3.體積應(yīng)變?cè)O(shè)有一微小正平行六面體，棱長(zhǎng)：x、y、z

，xyzxzy變形前體積：變形后的邊長(zhǎng)和體積分別為：體積應(yīng)變（相對(duì)體積改變）：考慮到小變形，略去二階以上高階小量，有：（8-11）（8-11）將幾何方程代入，有（8-12）或：或：§8-6物體內(nèi)一點(diǎn)的形變狀態(tài)問(wèn)題：已知一點(diǎn)P的應(yīng)變分量：x、y、z、yz、zx、xy求：（1）任意方向的線（正）應(yīng)變；（2）經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)P微小線段夾角的變化；（3）主應(yīng)變與主應(yīng)變方向。1.任意方向的線應(yīng)變NxyzOPNdrdydxyx已知：x、y、z、yz、zx、xy；線段PN：l、m、n，dr

;dzz（a）P點(diǎn)的位移：u、v、w;N點(diǎn)的位移：（b）變形后線段PN在各坐標(biāo)軸的投影：（c）線段PN變形后長(zhǎng)度：（設(shè)PN線應(yīng)變?yōu)镹）將兩邊同除以dr2

,并考慮到：dx=ldr

dy=mdr

dz=ndr,有xyzOPNdrdydxyxdzz將兩邊同除以dr2

,并考慮到：dx=ldr

dy=mdr

dz=ndr

,有將上式兩邊展開，并略去：N、

等的二階以上高階項(xiàng),有注意到：代入上式可得：——任意方向線應(yīng)變計(jì)算公式（8-13）將幾何方程代入得：任意點(diǎn)線應(yīng)變的張量與矩陣表示：（8-13）任意點(diǎn)線應(yīng)變的張量與矩陣表示：(8-13)′其中：n1=l

，n2=m

，n3=n

。記：(8-13)″即：2.任意兩方向線段夾角的變化xyzOPNdrdydxyxdzzN′（1）

線段PN在變形后的方向余弦展開級(jí)數(shù)將上式展開，略去二階以上小量，有變形前：變形后：將上式展開，略去二階以上小量，有（d）同理，可有（e）（2）

線段PN′在變形后的方向余弦變形前：變形后：xyzOPNdrdydxyxdzzN′dr′xyzOPNdrdydxyxdzzN′dr′與前面類似處理，有（f）式中：為線段PN′方向的正應(yīng)變。（3）

線段PN與PN′在變形后夾角的變化xyzOPNdrdydxyxdzzN′dr′（3）

線段PN與PN′在變形后夾角的變化設(shè)線段PN與PN′在變形后夾角為1，則有將前面式（d）、（e）、（f）代入，并略去二階以上小量，有代入幾何方程，有（8-14）xyzOPNdrdydxyxdzzN′dr′（8-14）求出1后，即可求得線段PN與PN′在變形后夾角的改變?yōu)椋?－。結(jié)論：物體內(nèi)的任一點(diǎn)，若已知其六個(gè)應(yīng)變分量：x、y、z、yz、zx、xy，就可求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任一線段的正應(yīng)變，也可求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任意兩線段夾角的改變?！鶄€(gè)應(yīng)變分量完全決定了一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。3.主應(yīng)變、主應(yīng)變方向、應(yīng)變不變量

定義：若某一點(diǎn)P存在三個(gè)互相垂直的方向，變形后這三個(gè)方向線段夾角（直角）都不變化，即剪應(yīng)變等于零，則沿這三個(gè)形變方向的正應(yīng)變，稱為主應(yīng)變?！@三個(gè)方向稱為主應(yīng)變方向。主應(yīng)變：PABC（1）主應(yīng)變?cè)O(shè)某一主應(yīng)變方向的方向余弦為：l、m、n，主應(yīng)變?yōu)?。類似于主?yīng)力分析，有將其用矩陣表示，有展開，有若x、y、z

恰好為主應(yīng)變方向，三個(gè)主應(yīng)變?yōu)椋?/p>

1、2、

3，此時(shí)：yz

=zx

=xy=0，于是有（8-15）因?yàn)橹鲬?yīng)變：

1、2、

3不隨坐標(biāo)系的變化而變化，比較式（8-15）有（8-16）——三個(gè)形變不變量（應(yīng)變不變量）第一形變不變量e1：——體積應(yīng)變§8-7物理方程方程總結(jié)物理方程：也稱材料的本構(gòu)關(guān)系，建立材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。討論前題：彈性小變形。1.物理方程的一般形式材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系一般由實(shí)驗(yàn)得到，最早的實(shí)驗(yàn)由虎克（Hooke,R.）的金屬絲拉伸實(shí)驗(yàn)。一般情況下，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系，可表示為：當(dāng)式中的自變量：x、y、z、

yz

、zx

、xy

為小量時(shí)，可對(duì)其按Taylor級(jí)數(shù)展開，并略去二階以上小量，如第一式，有式中：(f1)0

對(duì)彈性體的初應(yīng)力為零的情形有：(f1)0=0；而表示函數(shù)f1對(duì)應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)初應(yīng)力為零時(shí)，它們均為常數(shù)，這樣可得一線性方程：——廣義虎克（Hooke）定律的一般形式式中：包括36個(gè)常數(shù)，但可以證明，只有21個(gè)常數(shù)獨(dú)立。2.彈性體變形過(guò)程中的功和能（1）熱力學(xué)第一定律物體總能量的增加等于外力所作的功與外界傳入（或輸出）熱能之和。式中：A

為物體在任意時(shí)間

t內(nèi)所作的功；Q為外界傳入（或輸出）的熱能；K為在

t時(shí)間內(nèi)物體動(dòng)能的增量；U為在

t時(shí)間內(nèi)物體內(nèi)能的增量。2.彈性體變形過(guò)程中的功和能（1）熱力學(xué)第一定律物體總能量的增加等于外力所作的功與外界傳入（或輸出）熱能之和。式中：A

為物體在任意時(shí)間

t內(nèi)所作的功；Q為外界傳入（或輸出）的熱能；K為在

t時(shí)間內(nèi)物體動(dòng)能的增量；U為在

t時(shí)間內(nèi)物體內(nèi)能的增量。當(dāng)由于溫度改變引起的熱能和由于物體的動(dòng)能變化遠(yuǎn)小于物體的內(nèi)能增加（Q<<U

，K<<U

）時(shí)，往往將它們忽略不計(jì)，于熱力學(xué)第一定律變?yōu)椋海?）物體的內(nèi)能物體的內(nèi)能主要由物體的變形引起的，可以表示成應(yīng)變或應(yīng)力分量的函數(shù)。設(shè)物體單位體積積累的內(nèi)能（比能）為：U1，則物體總內(nèi)能為：物體單位體積積累的內(nèi)能（比能）U1可表示為物體單位體積積累的內(nèi)能（比能）U1可表示為在

t時(shí)間內(nèi)物體內(nèi)能的增量為：（3）外力的功在

t時(shí)間內(nèi)，作用于物體外力的功包括：——體力所做的功；——邊界面力所做的功。（3）外力的功在

t時(shí)間內(nèi)，作用于物體外力的功包括：——體力所做的功；——邊界面力所做的功。將應(yīng)力邊界條件公式（8-5）代入，有由高斯積分公式：——曲面積分轉(zhuǎn)化為體積積分000由幾何方程得到：熱力學(xué)第一定律：，有：（4）格林（Green）公式與前式比較，有：——格林（Green）公式3.幾種情況下廣義虎克（Hooke）形式——廣義虎克（Hooke）定律的一般形式（1）極端各向異性情況——廣義虎克（Hooke）定律的一般形式用矩陣表示：顯然，有：顯然，有：同理，可證明：可見：極端各向異性體的彈性常數(shù)為21個(gè)。又如：（2）正交各向異性體若物體內(nèi)的任一點(diǎn)存在三個(gè)彈性對(duì)稱平面，在每一個(gè)對(duì)稱平兩側(cè)對(duì)稱方向上各自具有相同的彈性性質(zhì)，這種物體稱為正交各向異性體。如：煤、木材、疊層膠木、某些復(fù)合材料等。其廣義虎克（Hooke）定律可表示為：可見：正交各向異性體的彈性常數(shù)為9個(gè)。（3）橫觀各向同性體若物體內(nèi)的任一點(diǎn)在平行于某一平面的所各方向都具有相同的彈性性質(zhì)，而垂直于該面的彈性性質(zhì)不同，這種正交異性體稱為橫觀各向同性體。如：土壤、層狀巖石、復(fù)合板材等。這類材料有：可見：橫觀各向同性體的彈性常數(shù)為5個(gè)。（4）各向同性體于是，得各向同性體的廣義虎克（Hooke）定律形式為：可見：各向同性體的彈性常數(shù)僅為2個(gè)。這兩個(gè)常數(shù)可用彈性模量E和泊松比表示。4.各向同性體廣義虎克（Hooke）定律的各種形式（1）一般形式（基本形式）（8-17）——空間問(wèn)題物理方程的基本形式物理方程基本形式的張量表示：式中：E

為材料的彈性模量；

為泊松比。物理方程基本形式的張量表示：式中：E

為材料的彈性模量；

為泊松比。（2）物理方程的主應(yīng)力形式若將三個(gè)坐標(biāo)軸方向設(shè)為三個(gè)主應(yīng)力方向，

123xyz則有：表明三個(gè)主應(yīng)力方向與三個(gè)主應(yīng)變方向重合。這時(shí)有（3）體積應(yīng)力與體積彈性模量將式（8-17）的前三式兩邊相加，得到：利用前面的記號(hào)，有——體積應(yīng)變——第一應(yīng)力不變量，稱為體積應(yīng)力于是前式可表示為：（8-18）表明：體積應(yīng)力與體積應(yīng)變成正比。也可將上式改寫為：（8-17）比較單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：

=E，稱為體積彈性模量。并用K表示，即：（4）物理方程的應(yīng)變表示形式——體積彈性模量將物理方程的基本形式中解出將其用應(yīng)變表示。從中解出x，有同理，可得其它的方程：（8-19）——用應(yīng)變量表示的物理方程進(jìn)一步引入：上式方程變?yōu)椋海?-20）方程中、G稱為L(zhǎng)ame系數(shù)。（8-20）方程中、G稱為L(zhǎng)ame系數(shù)。上述方程可表示成考慮到：如下張量形式：（8-20）′5.空間問(wèn)題基本方程總結(jié)空間問(wèn)題的基本未知量：——6個(gè)應(yīng)力分量；——6個(gè)形變分量；——3個(gè)位移分量；——共有15個(gè)基本未知量?？臻g問(wèn)題的基本方程：（1）平衡微分方程用張量表示：（8-1）（包含3個(gè)方程）（2）幾何方程（8-9）張量表示：（i

，j=1，2，3）（幾何方程包含6個(gè)方程）（3）物理方程（8-17）張量表示：式中：E

為材料的彈性模量；

為泊松比。（物理方程包含6個(gè)方程）（4）邊界條件張量表示：應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：（8-5）張量表示：位移單值條件、應(yīng)力有限條件?！?-8軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程1.軸對(duì)稱問(wèn)題的受力與變形特征幾何特征：幾何形狀對(duì)稱于某軸線（如圓臺(tái)體）；受力特征：載荷和約束也對(duì)稱于某軸線；變形特征：（1）ur

、w僅為r和z

的函數(shù)；u≡0。xyzOrz（常用柱坐標(biāo)描述）（2）線應(yīng)變：（3）剪應(yīng)變：軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力分量：應(yīng)變分量：平面應(yīng)變問(wèn)題2.軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程（1）平衡微分方程xyzOPABCdrrdzzdrzrdrdzPCAKrZyxOdKr(r+dr)drddrrzrdrdzPCAKrZyxOdKr(r+dr)drddr（略去四階以上小量）兩邊同除以rdrdzd，有略去四階以上小量，有rzrdrdzPCAKrZyxOdKr(r+dr)drddr兩邊同除以rdrdzd，有——為恒等式?？偨Y(jié)以上討論，得空間軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程為：空間軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程為：（8-22）（2）幾何方程xyzOrzurwu