2023北京西城區(qū)高三一模數(shù)學(xué)統(tǒng)一試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

第5頁/共5頁2023西城高三一模數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （?1?）B （?2?）D （?3?）C （?4?）A （?5?）A （?6?）C （?7?）D （?8?）B （?9?）D （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11） （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得． ………2分所以． ………4分因?yàn)椋?………5分所以． ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得． ………7分由題設(shè)，，即為等腰三角形． ………8分所以． ………10分所以的面積為． ………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，所以估計(jì)該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為； ………2分 估計(jì)高三女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為． ………4分（Ⅱ）由題設(shè)，的所有可能取值為．估計(jì)為； ………5分估計(jì)為； ………6分估計(jì)為； ………7分估計(jì)為． ………8分估計(jì)的數(shù)學(xué)期望． ………10分（Ⅲ）與相互獨(dú)立． ………13分（18）（共14分）解：選條件①：．（Ⅰ）因?yàn)椋矫?，所以平面? ………1分因?yàn)槠矫嫫矫?，所以? ………2分又，所以四邊形為平行四邊形．所以且． ………3分因?yàn)榍?，所以且．所以為的中位線． ………5分所以為的中點(diǎn)． ………6分（Ⅱ）又，所以兩兩相互垂直如圖建立空間直角坐標(biāo)系， ………7分則，，，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是． ………9分因?yàn)槠矫?，且，所以平面．所以．又，且為的中點(diǎn)，所以．所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量． ………11分． ………13分由題設(shè)，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為． ………14分選條件②：．（Ⅰ）在中，． ………1分在直角梯形中，由，，可求得，所以． ………2分因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)． ………3分因?yàn)?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以? ………5分所以．所以為的中點(diǎn)． ………6分（Ⅱ）以下同條件①．（19）（共15分）解：（Ⅰ）． ………1分所以，． ………3分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為． ………4分（Ⅱ）由題設(shè)，．所以． ………6分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕? ………8分所以在上單調(diào)遞增． ………9分（Ⅲ）． ………10分證明如下： 設(shè)． ………11分則． ………12分由（Ⅱ）知在上單調(diào)遞增，所以． ………13分所以，即在上單調(diào)遞增． ………14分所以，即． ………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為． ………1分由點(diǎn),關(guān)于軸對(duì)稱，且，不妨設(shè)． ………2分將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得，解得．………3分所以直線的方程為． ………4分（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知． ………5分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．由得． ………6分由，得．設(shè)，，則，． ………8分因?yàn)?，所以．所以．整理得? ………10分所以．解得，從而． ………11分設(shè)，其中．則． ………12分將代入橢圓的方程，得．所以，即． ………13分因?yàn)椋?，即? ………14分綜上，的取值范圍是． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，同理．又，同理．所以集合具有性質(zhì)． ………4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為．由題設(shè)． ………5分假設(shè)集合具有性質(zhì)，則①當(dāng)時(shí)，，矛盾．②當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．③當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹椭炼嘁粋€(gè)在中；和至多一個(gè)在中；和至多一個(gè)在中，故集合中的元素個(gè)數(shù)小于，矛盾．④當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．⑤當(dāng)時(shí)，，矛盾．綜上，不存在具有性質(zhì)的集合． ………9分（Ⅲ）記，則．若，則，矛盾．若，則，矛盾．故．假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，即．當(dāng)時(shí)，有或成立．所以中分量為的個(gè)數(shù)至多有．…11分當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．因?yàn)?，所?/p>