2023屆江蘇省東臺(tái)市創(chuàng)新學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．球的體積是，則此球的表面積是（）A． B． C． D．2．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法B．在殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好C．線(xiàn)性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，模擬的效果越好3．下列命題中，假命題是（）A．不是有理數(shù) B．C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．等腰三角形不可能有的角4．已知集合A=xy=x-A．0,3 B．（0,3） C．3,+∞ D．0,+∞5．點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值是（）A．１ B． C．２ D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．10 B．12 C．16 D．207．若，則（）A．8 B．7 C．6 D．58．已知l、m、n是空間三條直線(xiàn)，則下列命題正確的是（）A．若l//m，l//n，則m//nB．若l⊥m，l⊥n，則m//nC．若點(diǎn)A、B不在直線(xiàn)l上，且到l的距離相等，則直線(xiàn)AB//lD．若三條直線(xiàn)l、m、n兩兩相交，則直線(xiàn)l、m、n共面9．已知，分別為雙曲線(xiàn)：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A． B．4 C．5 D．10．若函數(shù)f(x)=x-2+A．-3≤a<32 B．-3≤a<1 C．a(chǎn)≥11．學(xué)校選派位同學(xué)參加北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)這所大學(xué)的自主招生考試，每所大學(xué)至少有一人參加,則不同的選派方法共有A．540種 B．240種 C．180種 D．150種12．如圖，用6種不同的顏色把圖中四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A．496種 B．480種 C．460種 D．400種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，，則；④若，則，其中正確命題的序號(hào)是______.14．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.15．北緯圈上有A，B兩點(diǎn)，該緯度圈上劣弧長(zhǎng)為（R為地球半徑），則A，B兩點(diǎn)的球面距離為_(kāi)_______.16．正方體中，異面直線(xiàn)和所成角的大小為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線(xiàn)C：（y－2）2－x2＝1交于A、B兩點(diǎn)．（1）求|AB|的長(zhǎng)；（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的距離．18．（12分）如圖，已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率都存在．（1）若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值；（2）若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，且，試探究是否為定值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，求△ABM面積的最小值．20．（12分）設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定的取值范圍；(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)，。（1）求的解析式；（2）求在處的切線(xiàn)方程.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若≤對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先計(jì)算出球的半徑，再計(jì)算表面積得到答案.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得，解得，故球的表面積.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了圓的體積和表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解析】對(duì)于A，統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法，正確；對(duì)于B，殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好，正確；對(duì)于C，線(xiàn)性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)，不一定過(guò)樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2越大，其模擬的效果就越好，正確．故選C.3、D【解析】

根據(jù)命題真假的定義，對(duì)各選項(xiàng)逐一判定即可．【詳解】解：.為無(wú)理數(shù)，故正確，．，故正確，．因?yàn)?，即方程沒(méi)有實(shí)根，故正確，．等腰三角形可能以為頂角，為底角，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

先分別化簡(jiǎn)集合A,B,再利用集合補(bǔ)集交集運(yùn)算求解即可【詳解】A=xy=x-B=xx≥3=[3,+∞)∪(-∞,-3]故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題5、B【解析】，則，即，所以，故選B．6、D【解析】

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式即可求出.【詳解】，，，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的計(jì)算，屬于較易題.7、D【解析】

由得，即，然后即可求出答案【詳解】因?yàn)?，所以所以即，即解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算，較簡(jiǎn)單.8、A【解析】分析：由公理4可判斷A，利用空間直線(xiàn)之間的位置關(guān)系可判斷B，C，D的正誤，從而得到答案．詳解：由公理4可知A正確；若l⊥m，l⊥n，則m∥n或m與n相交或異面，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)A、B不在直線(xiàn)l上，且到l的距離相等，則直線(xiàn)AB∥l或AB與l異面，故C錯(cuò)誤；若三條直線(xiàn)l，m，n兩兩相交，且不共點(diǎn)，則直線(xiàn)l，m，n共面，故D錯(cuò)誤．故選A．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系，掌握空間直線(xiàn)的位置關(guān)系是判斷的基礎(chǔ)，對(duì)于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷．還可以畫(huà)出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見(jiàn)的立體圖形，將點(diǎn)線(xiàn)面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷．9、C【解析】

在中，求出，，然后利用雙曲線(xiàn)的定義列式求解．【詳解】在中，因?yàn)椋?，，，則由雙曲線(xiàn)的定義可得所以離心率，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的定義和離心率，解題的關(guān)鍵是求出，，屬于一般題．10、A【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)gx=x-2+2x-1與直線(xiàn)y=ax沒(méi)有交點(diǎn)，并將函數(shù)y=gx表示為分段函數(shù)的形式，并作出該函數(shù)的圖象，分析直線(xiàn)【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-所以方程x-2即函數(shù)g(x)=x-2+如圖所示，則h(x)的斜率a應(yīng)滿(mǎn)足-3≤a<32，故選：【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解本題需注意：（1）零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題；（2）含絕對(duì)值的函數(shù)一般利用零點(diǎn)分段法表示為分段函數(shù)。11、D【解析】分析：按題意5人去三所學(xué)校，人數(shù)分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分類(lèi)加法原理求解．詳解：由題意不同方法數(shù)有．故選D．點(diǎn)睛：本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，此類(lèi)問(wèn)題可以先分組再分配，分組時(shí)在1，2，2一組中要注意2,2分組屬于均勻分組，因此組數(shù)為，不是，否則就出錯(cuò)．12、B【解析】分析：本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，只用三種顏色涂色時(shí)，有C63C31C21，用四種顏色涂色時(shí)，有C64C41C31A22種結(jié)果，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，只用三種顏色涂色時(shí)，有C63C31C21=120（種）．用四種顏色涂色時(shí)，有C64C41C31A22=360（種）．綜上得不同的涂法共有480種．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是看出給圖形涂色只有兩種不同的情況，顏色的選擇和顏色的排列比較簡(jiǎn)單．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】

①利用線(xiàn)面平行性質(zhì)以及線(xiàn)面垂直的定義判斷真假；②利用面面平行的性質(zhì)以及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)判斷真假；③④可借助正方體判斷真假.【詳解】①因?yàn)?，過(guò)作平面，使得，則有；又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故①正確；②因?yàn)椋?；又因?yàn)?，所以，故②正確；③例如：正方體上底面的對(duì)角線(xiàn)分別平行下底面，但是兩條對(duì)角線(xiàn)互相不平行，故③不正確；④選正方體同一頂點(diǎn)處的三個(gè)平面記為，則有，但與相交，故④不正確.故填：①②.【點(diǎn)睛】判斷用符號(hào)語(yǔ)言描述的空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的正誤：（1）直接用性質(zhì)定理、判定定理、定義去判斷；（2）借助常見(jiàn)的空間幾何體輔助判斷（正方體等）.14、4【解析】

可將點(diǎn)P和點(diǎn)Q先化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，從而利用距離公式求解.【詳解】根據(jù)，可將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，從而.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)和直角坐標(biāo)點(diǎn)的互化，距離公式，難度不大.15、【解析】

先求出北緯圈所在圓的半徑，是、兩地在北緯圈上對(duì)應(yīng)的圓心角，得到線(xiàn)段的長(zhǎng)，設(shè)地球的中心為，解三角形求出的大小，利用弧長(zhǎng)公式求、這兩地的球面距離．【詳解】解：北緯圈所在圓的半徑為，它們?cè)诰暥热ι纤鶎?duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)等于為地球半徑），是、兩地在北緯圈上對(duì)應(yīng)的圓心角），故，線(xiàn)段，，、這兩地的球面距離是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查球的有關(guān)經(jīng)緯度知識(shí)，球面距離，弧長(zhǎng)公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16、.【解析】分析：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線(xiàn)面垂直進(jìn)而得到線(xiàn)線(xiàn)垂直.詳解：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，而于點(diǎn)，故垂直于面，進(jìn)而得到.故兩者夾角為.故答案為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是異面直線(xiàn)的夾角的求法；常見(jiàn)方法有：將異面直線(xiàn)平移到同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面角的問(wèn)題；或者證明線(xiàn)面垂直進(jìn)而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線(xiàn)垂直的情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，因此可把直線(xiàn)參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的方程，由利用韋達(dá)定理可得；（2）把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，知為直線(xiàn)參數(shù)方程的定點(diǎn)，因此利用參數(shù)的幾何意義可得．試題解析：（1）把直線(xiàn)的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得7t2+60t﹣125=0設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則．∴．（2）由P的極坐標(biāo)為，可得，．∴點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（﹣2，2），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為．∴由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為．點(diǎn)睛：過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為參數(shù)），其中直線(xiàn)上任一點(diǎn)參數(shù)的參數(shù)具有幾何意義：，且方向向上時(shí)，為正，方向向下時(shí)，為負(fù)．18、（1）見(jiàn)解析（2），詳見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)，，由橢圓對(duì)稱(chēng)性得，把點(diǎn)，的坐標(biāo)都代入橢圓得到兩個(gè)方程，再相減，得到兩直線(xiàn)斜率乘積的表達(dá)式；（2）設(shè)，，，則，由得：，進(jìn)而得到直線(xiàn)的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后整體代入消元，得到為定值.【詳解】（1）當(dāng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，由橢圓對(duì)稱(chēng)性得，則．∵，都在橢圓上，∴，，兩式相減得：，即．故．（2）設(shè)，，，則，∵，∴，設(shè)直線(xiàn)的方程為()，聯(lián)立方程組消去，整理得．∵在橢圓上，∴，上式可化為．∴，，∴，，，∴；．∴（定值）．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)綜合運(yùn)算能力要求較高，對(duì)坐標(biāo)法進(jìn)行深入的考查，要求在運(yùn)算過(guò)程中要大膽、耐心、細(xì)心地進(jìn)行運(yùn)算.19、（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝1．（2）9﹣2．【解析】

(1)先將化簡(jiǎn)成直角坐標(biāo)方程,再利用與化簡(jiǎn)即可.(2)由為以為底,到的距離為高可知要求面積的最小值即求到的距離最大值.再設(shè)求解最值即可.【詳解】（1）∵曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為,（θ為參數(shù)）,有.上下平方相加得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為,化簡(jiǎn)得將與,代入得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程有：．（2）設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)AB：x+y+2＝1的距離為d,則,當(dāng)sin（）＝﹣1時(shí),d有最小值,所以△ABM面積的最小值S9﹣2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)系的互化,同時(shí)與考查了圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離最值的問(wèn)題,屬于中等題型.20、（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．，（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，并求出函數(shù)的極值點(diǎn)，列表分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值和極大值；（Ⅱ）由條件得知，考查函數(shù)的單調(diào)性知，得知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是得出，解該不等式組即可；（Ⅲ）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解出不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）．令，得x＝a或x＝3a.當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)－0＋0－↘極小↗極大↘∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取得極小值，；當(dāng)時(shí)，取得極大值，；（Ⅱ），其對(duì)稱(chēng)軸為.因?yàn)?，所?所以在區(qū)間上是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取得最大值，；當(dāng)時(shí)，取得最小值，.于是有即.又因?yàn)?，所?