定量分析的誤差

定量分析的誤差第1頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一定量分析的誤差第2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第3頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一“量”與準確度分析人員用同一種方法對同一個試樣進行多次分析，即使分析人員技術相當熟練，儀器設備很先進，也不可能做到每一次分析結果完全相同，所以在分析中往往要平行測定多次，然后取平均值代表分析結果，但是平均值同真實值之間還可能存在差異，因此分析中誤差是不可避免的，如何盡量減少誤差，誤差所允許的范圍有多大，誤差有何規(guī)律性，這是這一章所要學習的內容，掌握誤差的規(guī)律性，有利于既快速又準確地完成測定任務。第4頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一用不同類型的天平稱量同一試樣所得稱量結果使用的儀器誤差范圍(g)稱量結果(g)真值的范圍(g)臺天平±0.15.15.1±0.1分析天平±0.00015.10235.1023±0.0001半微量分析天平±0.000015.102285.10228±0.00001分析結果與真實值之間的差值稱為誤差。分析結果大于真實值，誤差為正，分析結果小于真實值，誤差為負。第5頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)誤差及其表示方法一、系統(tǒng)誤差systematicerrors系統(tǒng)誤差是由某種固定的因素造成的，在同樣條件下，重復測定時，它會重復出現(xiàn)，其大小、正負是可以測定的，最重要的特點是“單向性”。系統(tǒng)誤差可以分為(根據產生的原因)：第6頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(一)方法誤差是由于分析方法不夠完善所引起的，即使仔細操作也不能克服，如：選用指示劑不恰當，使滴定終點和等當點不一致，第7頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一在重量分析中沉淀的溶解，共沉淀現(xiàn)象等，第8頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一在滴定中溶解礦物時間不夠，干擾離子的影響等。第9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(二)儀器和試劑誤差儀器誤差來源于儀器本身不夠精確如砝碼重量，第10頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一容量器皿刻度和儀表刻度不準確等，第11頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一試劑誤差來源于試劑不純，基準物不純。第12頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(三)操作誤差分析人員在操作中由于經驗不足，操作不熟練，實際操作與正確的操作有出入引起的，如器皿沒加蓋，使灰塵落入，滴定速度過快，坩堝沒完全冷卻就稱重，沉淀沒有充分洗滌，滴定管讀數偏高或偏低等，初學者易引起這類誤差。第13頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（四）、主觀誤差另一類是由于分析者生理條件的限制而引起的。如對指示劑的顏色變化不夠敏銳，先入為主等。以上誤差均有單向性，并可以用對照、空白試驗，校準儀器等方法加以校正。第14頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二、偶然誤差Randomerror又稱隨機誤差，是由一些隨機的偶然的原因造成的(如環(huán)境，濕度，溫度，氣壓的波動，儀器的微小變化等)，其影響時大時小，有正有負，在分析中是無法避免的，又稱不定誤差，偶然誤差的產生難以找出確定的原因，難以控制，似乎無規(guī)律性，但進行多次測定，便會發(fā)現(xiàn)偶然誤差具有很多的規(guī)律性(象核外電子運動一樣)，概率統(tǒng)計學就是研究其規(guī)律的一門學科，后面會部分的講授。特點：第15頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一有一礦石試樣，在相同條件下用吸光光度法測定其中銅的質量分數，共有100個測量值。第16頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一a:正負誤差出現(xiàn)的概率相等。b:小誤差出現(xiàn)的機會大，大誤差出現(xiàn)的概率小。第17頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差外，還有過失誤差，工作粗枝大葉造成。許多實用的分析方法在國際和國內均有標準的分析方法，一般不存在方法誤差，對于熟練的操作者，操作誤差，主觀誤差是可以消除的，儀器和試劑誤差一般也易消除，所以要提高分析的準確度和精密度必須對偶然誤差有深入的了解。第18頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一三、誤差的表示方法誤差可用絕對誤差和相對誤差表示。絕對誤差表示測定值與真實值之差。

E＝X(測定結果)–XT(真實值)相對誤差指誤差在真實結果中所占的百分率它能反映誤差在真實結果中所占的比例，也可用千分率‰表示。

第19頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例3-1某同學用分析天平直接稱量兩個物體，一為5.0000g，一為0.5000g,試求兩個物體的相對誤差。解：用分析天平稱量，兩物體稱量的絕對誤差均為5.0000g,則兩個稱量的相對誤差分別為，第20頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)、準確度和精密度

accuracyandprecision

分析結果和真實值之間的差值叫誤差(前面已講過)，誤差越小，準確度越高。準確度表示分析結果與真實值接近的程度，真實值難以得到，準確度較現(xiàn)實的定義是：測定值與公認的真實值相符合的程度。通常用誤差表示分析結果的準確度。精密度為同一量的重復測定值之間，各次分析結果相互接近的程度，即分析結果的精密度較高。通常用偏差表示分析結果的精密度。第21頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一1.算術平均值算術平均值是最常用的一種平均值，當觀測值呈正態(tài)分布時，算術平均值最近似真值。設x1、x2、x3、…為各次觀測值，n代表觀測次數，則算術平均值定義為：2.均方根平均值均方根平均值應用較少，其定義為：第22頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一3.加權平均值若對同一事物用不同方法去測定，或者由不同的人去測定，計算平均值時，常用加權平均值。計算公式為：4.中位值中位值是指一組觀測值按大小次序排列的中間值。若觀測次數是偶數，則中位值為正中兩個值的平均值。中位值的最大優(yōu)點是求法簡單。只有當觀測值的分布呈正態(tài)分布時，中位值才能代表一組觀測值的中心趨問，近似于真值。5.幾何平均值如果一組觀測值是非正態(tài)分布，當對這組數據取對數后，所得圖形的分布曲線更對稱時，常用幾何平均值。幾何平均值是一組n個觀測值連乘并開n次方求得的值，計算公式如下：第23頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一準確度與精密度的關系：準確度高一定需要精密度高但精密度高，不一定準確度高。精密度是保證準確度的先決條件，精密度低的說明所測結果不可靠，當然其準確度也就不高。準確度與精密度關系的打靶圖第24頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一精密度精密度是指在相同條件下n次重復測定結果彼此相符合的程度。精密度的大小用偏差表示。偏差越小說明精密度越高。

偏差有絕對偏差和相對偏差。

絕對偏差(d)=X-A

相對偏差（d﹪）=（d/A）×100=[(X-A)/A]×100絕對偏差是指單項測定與平均值的差值。相對偏差是指絕對偏差在平均值中所占的百分率。由此可知絕對偏差和相對偏差只能用來衡量單項測定結果對平均值的偏離程度。為了更好地說明精密度，在一般分析工作中常用標準偏差表示（測量次數n<20時），如下式：第25頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一在一般的分析工作中，常用平均偏差和相對平均偏差來衡量一組測得值的精密度，平均偏差是各個偏差的絕對值的平均值，如果不取絕對值，各個偏差之各等于零。平均偏差相對平均偏差：各個偏差和等于零。平均偏差沒有正負號，平均偏差小，表明這一組分析結果的精密度好，平均偏差是平均值，它可以代表一組測得值中任何一個數據的偏差。第26頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例3-2測定某試樣中欲的百分含量為：57.64%，57.58%，57.54%，57.60%，57.55(%)，試計算其絕對偏差和相對偏差。第27頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例：測定某試樣中氯的百分含量，三次分析結果分別為25.12、25.21和25.09，計算平均偏差和相對平均偏差。如果真實百分含量為25.10,計算絕對誤差和相對誤差。解：平均值平均偏差相對平均偏差＝(0.05/25.14)×1000‰=2‰絕對誤差E=25.14-25.10=+0.04(%)相對誤差＝(+0.04/25.10)×1000‰=+2‰第28頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一五、標準偏差及其計算Atandnrddeviation測定次數在3－20次時，可用S來表示一組數據的精密度，式中n-1稱為自由度，表明n次測量中只有n-1個獨立變化的偏差。因為n個偏差之和等于零，所以只要知道n-1個偏差就可以確定第n個偏差了，S與相對平均偏差的區(qū)別在于:第一,偏差平方后再相加，消除了負號，再除自由度和再開根，標準偏差是數據統(tǒng)計上的需要，在表示測量數據不多的精密度時，更加準確和合理。第29頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一S對單次測量偏差平方和不僅避免單次測量偏差相加時正負抵消，更重要的是大偏差能更顯著地反映出來，能更好地說明數據的分散程度，如二組數據，各次測量的偏差為：+0.3,-0.2,-0.4,+0.2,+0.1,+0.4,0.0,-0.3,+0.2,-0.3;0.0,+0.1,-0.7,+0.2,-0.1,-0.2,+0.5,-0.2,+0.3,+0.1;兩組數據的平均偏差均為0.24，但明顯看出第二組數據分散大。S1=0.28;S2=0.33(注意計算S時，若偏差d=0時，也應算進去，不能舍去)可見第一組數據較好。第30頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)、提高分析結果準確度的方法一、選擇合適的分析方法各種分析方法的準確度和靈敏度是不相同的，應根據試樣分析的要求選擇不同的分析方法。測定低含量的樣品或進行微量分析，如被測含量<1％或低到ppm、ppb，或試樣重量<0.1g或0.0001g，也有不需破壞樣品的分析。這時多采用儀器分析法。它的優(yōu)點是：測定速度快，易實現(xiàn)自動化，靈敏度高，測定低含量成分時，允許有較大的相對誤差（提高相對誤差也無實際價值）如20‰或者更高。第31頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二、減小測量誤差由于容量分析和重量分析要求相對誤差<2‰，即要有四位有效數字，最后一位為可疑值。根據誤差傳遞原理（由于結果的計算一般都有各步驟測量結果的相互乘除）每一步測定步驟的結果都應有四位有效數字。第32頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一如稱量時，分析天平的稱量誤差為0.0001，滴定管的讀數準確至0.01ml，要使誤差小于1‰，試樣的重量和滴定的體積就不能太小。試樣量＝絕對誤差/相對誤差＝(0.0001×2)/1‰=0.2g滴定體積=絕對誤差/相對誤差=(0.01×2)/1‰=20ml即試樣量不能低于0.2g，滴定體積在20－30ml之間(滴定時需讀數兩次，考慮極值誤差為0.02ml)若試樣稱取2.2346g，只需稱準至2.235g，即可。第33頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一對于低含量的測定<1%，由于允許的相對誤差較大，所以各步驟的準確度，就不需要象重量法和滴定法那樣高，如相對誤差為2%，試樣稱取0.5g，那么稱量誤差＝0.5×2/100=0.01g，至多準確至0.001g即可。第34頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一三、增加平行測定次數，減小偶然誤差一般要求3~4次第35頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(一)、對照試驗常用已知準確含量的標準試樣(人工合成試樣)，按同樣方法進行分析以資對照，也可以用不同的分析方法，或者由不同單位的化驗人員分析同一試樣來互相對照，標準試樣組成應盡量與試樣組成相近。如，在進行新的分析方法研究時，常用標準試樣來檢驗方法的準確度，或用國家規(guī)定的標準方法對同一試樣進行分析。又如，在工廠的產品檢驗中，為了檢查分析人員的操作規(guī)范化或儀器等是否存在系統(tǒng)誤差，常用標準試樣給分析人員做，或同一試樣給不同分析人員做，這叫“內檢”，將試樣送交外單位進行對照分析，這叫“外檢”。標準方法對照

四、消除系統(tǒng)誤差第36頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(二)、空白試驗由試劑蒸餾水、器皿和環(huán)境等帶進雜質而造成的系統(tǒng)誤差，可用空白試驗來扣除?？瞻资侵冈诓患釉嚇拥那闆r下，按照試樣分析同樣的操作手續(xù)和條件進行試驗，所得結果稱為空白值。從試樣分析結果中扣除空白值后，就得到比較可靠的分析結果。但空白值不能過大，否則會引起較大的誤差，當空白值較大時，就必須提純試劑和蒸餾水或改用適當的器皿。第37頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(三)、校準儀器第38頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(四)、分析結果的校正與評價。在定量分析中，通常作3～4次平行測定，則可采用計算簡便的相對偏差或相對平均偏差表示測定的精密度。對于要求非常準確的分析需進行多次重復測定，然后用統(tǒng)計方法進行處理，常用標準偏差來衡量．第39頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一對精密度的要求，當方法直接，操作簡單時，一股要求相對誤差在0．1～

0．2％左右?；旌显嚇踊蛟嚇硬缓芫鶆驎r，隨分析成分含量不同，兩次測定結果的相差和相對相差可按表3—4所列范圍要求。3-4組分含量要求誤差與相差誤差的數值分析成分（％）相差（％）相對相差（％）80～1000.300.3340～800.250.4120～400.200.6610～200.120.805～100.081.131～50.051.660.1～10.035.45第40頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)、可疑值的舍棄與保留在實驗中，得到一組數據之后，往往有個別數據與其他數據相差較遠，這一數據稱為可疑值，又稱為異常值或極端值，它的去舍，應按統(tǒng)計學方法進行處理。第41頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一一、4d法求出可疑值除外的其余數據的平均值x和平均偏差d，可疑值與平均值比較，如絕對值大于4d，則可疑值舍去，否則保留。這種方法比較粗略，但方法簡單，不用查表。第42頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例4-5某試樣經四次測得的百分含量分別為：30.34%，30.22%，30.42%，30.38(%)。試問30.22%是否應該舍棄?應舍棄第43頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二、Q檢驗法將數據從小到大排列x1,x2…xn，設x為可疑值，根據統(tǒng)計量Q進行判斷Q值越大，說明xn離群越遠。Q稱為“舍棄商”。書中有不同置信度時的Q值，當Q>Q表時該可疑值舍去。檢驗x1時：檢驗xn時：第44頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一表3-5Q值表（置信區(qū)間90%）n345678910Q0.90.940.760.640.560.510.470.440.41第45頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例3-6某試樣經四次測得的百分含量分別為：30.34%，30.22%，30.42%，30.38(%)。試問用Q法檢驗30.22%是否應該舍棄?應該保留同時用4d法與Q法的矛盾。中位數法報告分析結果第46頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一必須指出可疑值的取舍是一項十分重要的工作。在實驗過程中得到一組數據后，如果不能確定個別異常值確系由于“過失”引起的，就不能輕易地去掉這些數據，而應按上述檢驗方法進行判斷之后才能確定其取舍。在這一步工作完成后，才可以計算該組數據的平均值(或中位數)、標準偏差最后提出分析報告。一般報告分析結果時要反映出測量的準確度和精密度。一般表示方法為：第47頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第五節(jié)、有效數字及計算規(guī)則一、有效數字為何要研究有效數字？任何測量的準確度都有一定的限度如滴定管上的刻度,某一體積為25.23ml，前三位是很準確的，最后一位是估計值，即可疑，不同人或多次讀數時最后一位會有一點差別，但這一個值不是臆造的，有保留價值。有效數字：只有最后一位數字是不確定的，其它各數字都是確定的。直觀地說，有效數字就是實際上能測到的數字。第48頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一1.000843181五位0.100010.98%四位0.03821.98×10-10三位pH=10.120.0040二位0.052×102一位3600200有效數字含糊第49頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二、數字修約規(guī)則各測量有效數字位數確定后，需將多余的數據舍棄，其原則是”四舍六入五成雙“等于、小于4者舍去，等于、大于6者進位，等于5時，如進位后測量值末位數為偶數則進位，以避免舍入后數字取平均值時，又出現(xiàn)5而造成系統(tǒng)誤差；若5后面還有數字，就認為該數比5大，以進位為宜，如1.2513，變?yōu)?.3。第50頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一三、計算規(guī)則(一)加減法有效數字的保留應以小數點后最少(即絕對誤差最大的)的數據為依據：如0.0121，25.64，及1.07823相加時，應以小數點后第二位為界，其他數要進行棄舍25.64的絕對誤差最大為0.01，其它分別為0.0001和0.00001根據誤差傳遞規(guī)律：總絕對誤差＝0.0001+0.01+0.00001=0.01可見總的絕對誤差的大小取決于小數點后位數最少的那個數。

第51頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(二)乘除法積和商的有效字的保留，應以其中相對誤差最大的那個數，即有效數字位數最少的那個數依據。如0.0121，25.64和1.05782相乘結果為0.328保留三位，相對誤差最大者是0.0121:(1/121)×100%=8‰25.64:(1/2564)×100%=0.4‰1.05782:(1/105782)×100%=0.009‰總相對誤差＝8‰+0.4‰+0.009‰=8‰可見，總的相對誤差取決于相對誤差最大(即有效數字位數最少)那個數。第52頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一對于8以上的大數，如9.00，9.83等其相對誤差與10.00，10.08等的相對誤差相近約為1，所以在進行乘除運算時，通常將他們看成是四位有效數字。

第53頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一1．下列表述中最能說明系統(tǒng)誤差小的是：

A.與已知含量的試樣多次分析結果的平均值一致。

B.標準偏差大；

C.仔細校正所有的砝碼和容量儀器；

D.高精密度；2.下列情況引起偶然誤差的是：

A.重量法測定SiO2時，硅酸沉淀不完全；

B.使用腐蝕了的砝碼進行稱量；

C.滴定管讀數最后一位估計不準；

D.所有試劑中含有干擾組分。

3.

重量分析中沉淀溶解損失，屬：

A.過失誤差；B.操作誤差；C.偶然誤差D.系統(tǒng)誤差。第54頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一4．可用下列那種方法減小分析測定中的偶然誤差?A.進行對照實驗；B.進行空白實驗；C.增加平行測定實驗的次數；D.進行分析結果校正。E.進行儀器校準。

5.堿式滴定管氣泡未趕出，滴定過程中氣泡消失，會導致：A.滴定體積減小B.滴定體積增大；C.對測定無影響；D.若為標定NaOH濃度，會使標定濃度增大。6．選出下列不正確的敘述：A.誤差是以真值為標準的，偏差是以平均值為標準的，實際工作中獲得的所謂“誤差”，實際上仍為偏差；B.某測定的精密度愈好，則該測定的準確度愈好。C.對偶然誤差來說，大小相近的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會是均等的；D.標準偏差是用數理統(tǒng)計方法處理測定的數據而獲得的；E.對某項測定來說，它的系統(tǒng)誤差大小是可以測量的；第55頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一7．分析測定中的偶然誤差，就統(tǒng)計規(guī)律來講，其A.數值固定不變；B.數值隨機可變；C.大誤差出現(xiàn)代幾率大，小誤差出現(xiàn)幾率?。籇.正誤差出現(xiàn)的幾率大于負誤差出現(xiàn)的幾率；E.數值相等的正、負誤差出現(xiàn)的幾率不相等。9.由測量所得的下列計算式中，每一個數據的最后一位都有±1的絕對誤差。哪一個數據在計算結果x中引入的誤差最大?X=0.6071×30.25×45.820.2028×3000A．0.6071；B．30.25；C．45.82；D.0.2028；E.3000。第56頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一10．分析測定中出現(xiàn)的下列情況，何種屬于偶然誤差?A．滴定時加試劑中含有微量的被測物質，B．某分析人員幾次讀取同一滴定管的讀數不能取得一致；C.某分析人員讀取滴定管讀數總是偏高或偏低；D.甲乙兩人用同一方法測定，但結果總相差較大；E．滴定時發(fā)現(xiàn)有少量的溶液濺出。11．下列計算式的計算結果(X)應取幾位有效數字?X＝0.3132×48.12×(21.25-16.10)÷(0.2845×1000)A.一位；B.二位；C.三位；D.四位；

E.五位第57頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一3.試判斷在下列測定中,對分析結果的影響將會如何?(是偏高,還是偏低,或是無影響)當以酚酞作指示劑時,用NaOH標準溶液測定某HCl溶液的濃度時,已知NaOH標準溶液,在保存時吸收了少量的CO2

答案:偏高.第58頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一1.在分析過程中，用移液管轉移溶液時，殘留量稍有不同，對分析結果引起的誤差屬于

誤差。2、用適當的有效數字表示下面計算結果。3、減少系統(tǒng)誤差的方法主要有

、

、

和

。

二、填空題第59頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一1.某金屬中硫的含量經五次測定，結果為9.71%，9.81%，10.0%，10.0%和9.80%，計算單次測量的（1）平均值；（2）平均偏差；（3）相對平均偏差；（4）標準偏差;（5）相對標準偏差；（6）極差。2.下列數據有幾位有效數字？（1）1.053；（2)8.7×106

（3)40.02%（4）pKa=4.74(5)1.0003.由于測量過程中某些經常性的原因所引起的誤差是：A.偶然誤差，B.系統(tǒng)誤差，C.隨機誤差，D.過失誤差。三、問答題第60頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例4下列算式的結果應以幾位有效數字出：例5根據有效數字保留規(guī)則計算下列結果⑴7.9936÷0.9967－5.02⑵0.0325×5.103×60.06÷139.8⑶（1.276×4.17）＋1.7×10－4－（0.0021764÷0.0121）⑷pH=1.05,求[H+]第61頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一四、判斷題pH=3.05的有效數字是三位。2.欲配制一升0.02000mol/LK2Cr2O7(摩爾質量294.2g/mol)溶液，所用分析天平的準確度為+0.1mg。若相對誤差要求為+0.2%,則稱取K2Cr2O7時應稱準至0.001g。在分析數據中，所有的“0”均為有效數字。精密度是指在相同條件下，多次測定值間相互接近的程度。對某試樣進行三次平行測定，得平均含量25.65%,而真實含量為25.35%，則其相對誤差為0.30%。從誤差的產生原因來分，可以將它分為三大類：系統(tǒng)誤差、隨機（偶然）誤差和過失誤差。第62頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一回歸分析法

回歸分析法（regressionanalysis)是通過研究兩個或兩個以上變量之間的相關關系對未來進行預測的一種數學方法，它既提供了建立變量之間相關關系的數學表達式（通常稱為經驗公式）的一般途徑，又可以對所建立的經驗公式的適用性進行分析，使之能有效地用于預測和控制。第63頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一

什么是回歸分析？(Regression)定義：關于變量間客觀存在的相關關系描述模型及其性質和應用的統(tǒng)計方法的總稱。被預測或被解釋的變量稱為因變量(dependentvariable)，用y表示用來預測或用來解釋因變量的一個或多個變量稱為自變量(independentvariable)，用x表示回歸與相關分析的聯(lián)系相關分析是基礎，回歸分析是擴展相關分析主要是描述兩個變量之間線性關系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量x對變量y的影響大小，還可以由回歸方程進行預測和控制第64頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一相關關系包括兩種類型：確定關系和不確定關系。不論確定關系還是不確定關系，對具有相關關系的現(xiàn)象，都可以選擇一適當的數學關系式，用以說明一個或幾個變量變動時，另一變量或幾個變量平均變動的情況，這種關系式就稱為回歸方程?；貧w分析法主要解決以下兩個問題：一是確定幾個變量之間是否存在相關關系，如果存在，找出他們之間適當的數學表達式；二是根據一個或幾個變量的值，預測或控制另一個或幾個變量的值，且要估計這種控制或預測可以達到何種精確度。

第65頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第66頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一相關關系的描述與測度

(散點圖)(scatterdiagram)不相關負線性相關正線