工程力學(xué)平面力偶系

工程力學(xué)平面力偶系第1頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一BOF2d一、力矩

力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)效應(yīng)，稱(chēng)為力對(duì)該點(diǎn)之矩。1、力對(duì)點(diǎn)之矩定義：力與力臂的乘積冠以正、負(fù)號(hào)定義為力F對(duì)O點(diǎn)的力矩。O—轉(zhuǎn)動(dòng)的中心。稱(chēng)為力矩中心，簡(jiǎn)稱(chēng)矩心d—轉(zhuǎn)動(dòng)中心到力作用線(xiàn)之間的距離稱(chēng)為力臂(注意單位)表達(dá)式：Mo(F)=±F·d正負(fù)號(hào)規(guī)定：若力使物體繞矩心作逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)力矩取正號(hào),反之取負(fù)號(hào)。F1F3F4問(wèn)題：圖示力F對(duì)O點(diǎn)的力矩應(yīng)取什么符號(hào)？第2頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一力矩必須與矩心相對(duì)應(yīng)，同一個(gè)力對(duì)不同點(diǎn)產(chǎn)生的力矩是不同的，因此不明矩心而求力矩是無(wú)任何意義的。在表示力矩時(shí)，必須表明矩心。力矩在下列兩種情況下等于零：力等于零或力的作用線(xiàn)通過(guò)矩心。力F對(duì)任一點(diǎn)的矩，不因力F沿其作用線(xiàn)的移動(dòng)而改變。F2dO第3頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一力矩計(jì)算簡(jiǎn)支剛架如圖所示，荷載F=15kN，α=45,尺寸如圖。試分別計(jì)算F對(duì)A、B兩點(diǎn)之矩。αdABF4m1m1m2mαo解:

1、力F對(duì)A點(diǎn)的力矩。力臂d=4m×sinα=4m×sin45d=2m-15kN×2·MA(F)=-F×d=m=-30kN×m·2、力F對(duì)B點(diǎn)的力矩。力臂d=1m×

sinα=1m×

sin45=mMB(F)=+Fd=+15kN×0.5m=7.5+kNm·×注意：負(fù)號(hào)必須標(biāo)注，正號(hào)可標(biāo)也可不標(biāo)。一般不標(biāo)注。第4頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.合力矩定理力系中合力對(duì)一點(diǎn)的矩，等于力系中各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。設(shè)某力系為Fi（i=1,2,…n），其合力為FR，根據(jù)以上理論，則有表達(dá)式：第5頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由合力投影定理有： 證明：od=ob+oc又∵第6頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ABF4m1m1m2mαo

例1荷載F=20kN，α=45,尺寸如圖。試分別計(jì)算F對(duì)A、B兩點(diǎn)之矩。Fx=Fcosα=20N×0.7=14N解:Fy=Fsinα=20N×0.7=14N1、力F對(duì)A點(diǎn)的力矩MA(Fx)=-Fx×d=-14kN×2=-28kN×mMA(Fy)=-Fy×d=14kN×6=84kN×mMA(F)=MA(Fy)+MA(Fx)=

84kN×m-28kN×m=56kN×mB點(diǎn)大家求一下第7頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2求圖中荷載對(duì)A、B兩點(diǎn)之矩(b)解：圖（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m圖（b）：MA=-4×2×1

=-8kN·m

MB=4×2×1=8kN·m(a)第8頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例3]已知：如圖F、Q、l,求：和 靜力學(xué)解：①用力對(duì)點(diǎn)的矩法

②應(yīng)用合力矩定理

第9頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一0.6m0.4mCBAF300例4、已知：機(jī)構(gòu)如圖，F(xiàn)=10kN，求：MA(F)=?dFxFy解:方法一:MA(F)=-F?d=-100.6

sin600方法二:MA(F)=-F?cos300?0.6+0=-100.6

cos300Fx

=Fcos300

MA(Fx)Fy

=-Fsin300

MA(Fy)=0MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)第10頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5.圖示F=5kN,sin=0.8試求力F對(duì)A點(diǎn)的矩.AB2015F第11頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AB2015F解:(1)hCDCD=18.75×0.6=11.25AC=20-11.25=8.75h=8.75×0.8=7mo(F)=hF

=7×5=35第12頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AB2015F(2)FxFyFx=Fcos=5×0.6=3Fy=Fsin=5×0.8=4Dmo(Fx)=-BD·Fx

=-15×3=-45mo(Fy)=AD·Fy

=20×4=80mo(F)=mo(Fx)+mo(Fy)

=-45+80=35第13頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一支架如圖所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,

F=100N,求對(duì)A、B、C三點(diǎn)之矩。解：由定義由合力矩定理第14頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示，求F對(duì)A點(diǎn)的矩。解一：應(yīng)用合力矩定理解二：由定義第15頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力分析[練習(xí)]圖示膠帶輪，已知T1=200N,T2=100N,D=160mm,求MB(T1)+MB(T2)=?B解：3.力矩的平衡條件內(nèi)容：各力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心O點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零，即合力矩為零。公式表達(dá)：第16頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、力偶

1、什么是力偶力學(xué)中把一對(duì)等值、反向且不共線(xiàn)的平行力稱(chēng)為力偶。（F，F(xiàn)`）無(wú)法再簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)單力系之一力偶作用面：兩力作用線(xiàn)所決定的平面；力偶臂：兩力作用線(xiàn)之間的垂直距離，用d表示；力偶的三要素：1）力偶中力的大小2）力偶的轉(zhuǎn)向3）力偶臂的大小第17頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一力偶實(shí)例

力偶實(shí)例F1F2第18頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第19頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一力偶矩：力學(xué)中，用力偶的任一力的大小F與力偶臂d的乘積在冠以相應(yīng)的正、負(fù)號(hào)，作為力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，稱(chēng)為力偶矩，用M表示。M=±F×d·注：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正，反之取負(fù)。F=F′d：力偶臂力偶矩的單位：Nm、kNmF

F′d+—第20頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力學(xué)2.力偶的特性性質(zhì)1：力偶既沒(méi)有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶無(wú)合力，不能與一個(gè)單個(gè)的力平衡；力偶只能與力偶平衡。力偶只能是物體轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)效果取決于力偶矩。FF/

abcdabF第21頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

性質(zhì)2力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)，因此力偶對(duì)剛體的效應(yīng)用力偶矩度量。FF'dOxAB第22頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力學(xué)性質(zhì)3：平面力偶等效定理作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要它的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個(gè)力偶彼此等效。第23頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一②只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。由上述證明可得下列兩個(gè)推論：①力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。3.力偶的表示方法用力和力偶臂表示，或用帶箭頭的弧線(xiàn)表示，箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，M表示力偶的大小。第24頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

關(guān)于力偶性質(zhì)的推論

只要保持力偶矩矢量不變，力偶可在作用面內(nèi)任意移動(dòng)，其對(duì)剛體的作用效果不變。FF′FF′第25頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

只要保持力偶矩矢量不變，力偶可在作用面內(nèi)任意移動(dòng)，其對(duì)剛體的作用效果不變。關(guān)于力偶性質(zhì)的推論

FF′FF′第26頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

保持力偶矩矢量不變，分別改變力和力偶臂大小，其作用效果不變。

關(guān)于力偶性質(zhì)的推論

FF′F/2F′/2第27頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

只要保持力偶矩矢量大小和方向不變,力偶可在與其作用面平行的平面內(nèi)移動(dòng)。

關(guān)于力偶性質(zhì)的推論

M=Fdk第28頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.平面力偶系的簡(jiǎn)化

作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，m3＝－F3?d3，P1?d=F1?d1，P2?d＝F2?d2

，

－P3?d

＝－F3?d3FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′

三、平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡

第29頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1?d+P2?d－P3?d=F1?d1+F2?d2－F3?d3所以

M＝m1＋m2＋m3第30頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

若作用在同一平面內(nèi)有個(gè)力偶，則上式可以推廣為由此可得到如下結(jié)論：

平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。第31頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：2.平面力偶系的平衡條件即ΣM＝0注：平面力偶系有一個(gè)平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。第32頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

圖示矩形板，邊長(zhǎng)分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫(huà)出整體和兩板的受力圖。第33頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力學(xué)[例]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?

解:合力偶距平面力偶系平衡第34頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一車(chē)間內(nèi)有一矩形鋼板，要使鋼板轉(zhuǎn)動(dòng)，加力F,F′如圖示。試問(wèn)應(yīng)如何加才能使所要的力最??？ababFF′當(dāng)力偶一定時(shí)，只有力偶臂最長(zhǎng)所用的力才最小。第35頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圖中梁AB處于平衡，如何確定支座A、B處反力的方向？lM1M2ABM1M2ABFAFB力偶只能和力偶平衡，A、B兩點(diǎn)的力應(yīng)構(gòu)成力偶，所以，這兩個(gè)力大小相等、方向相反。即A點(diǎn)的水平分力為零，可以不畫(huà)。第36頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圖中所示的拉力實(shí)驗(yàn)機(jī)上的擺錘重G，懸掛點(diǎn)到擺錘重心C的距離為l,擺錘在圖示三個(gè)位置時(shí)，求重力G對(duì)O點(diǎn)之矩各為多少？CGlθ123o解:MO(F)=Fd位置1:MO(F)=Gd=0位置2:MO(F)=－GGd=lsinθ－Glsinθ位置3:MO(F)=－Gl第37頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一剛架上作用著力F,分別計(jì)算力F對(duì)A點(diǎn)和B點(diǎn)的力矩。F、α、a、b為已知。AFαBabFx

Fy解：用定義計(jì)算，力臂不易確定，所以，用合力矩定理。MA(F)=－Fx·b=－b·FcosαFx=FcosαFy=FsinαMB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=－b·Fcosα+a·Fsinα第38頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力分析[例]圖示結(jié)構(gòu)，求A、B處反力。解：1、取研究對(duì)象整體2、受力分析特點(diǎn)：力偶系3、平衡條件∑mi=P·2a－YA·l=0思考∑mi=0P·2a－RB·

cos

·l=0第39頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

求圖示簡(jiǎn)支梁的支座反力。解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：第40頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題.在梁AB上作用一個(gè)力偶,其矩為m,梁長(zhǎng)為l.自重不計(jì).試求支座A和B的約束反力.45oABlm第41頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:取梁AB為研究對(duì)象45oABlmRARB45o45oRA=RB=Rm(RA,

RB)=Rlcos45omi=0Rlcos45o-m=0R=RA=RB=第42頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題.圖示鉸鏈四連桿機(jī)構(gòu)OABO1處于平衡位置.已知OA=40cm,O1B=60cm,m1=1N·m,各桿自重不計(jì).試求力偶矩m2的大小及桿AB所受的力.OABO1m2m130o第43頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:

AB為二力桿OABO1m2m130oSA=SB=SSSSS取OA桿為研究對(duì)象.mi=0m2–0.6S=0(1)取O1B桿為研究對(duì)象.mi=00.4sin30o

S-m1=0(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:S=5m2=3第44頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題.不計(jì)自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為m1與m2的力偶作用,轉(zhuǎn)向如圖.問(wèn)m1與m2的比值為多大,結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDm1m2第45頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:取桿AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖.桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束.則A處約束反力的方位可定.ABCm1RARCmi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR

(1)第46頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一取桿CD為研究對(duì)象.因C點(diǎn)約束方位已定,則D點(diǎn)約束反力方

位亦可確定.畫(huà)受力圖.60o60oDm2BCARDRCRD=RC=RCD=ami=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR

(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:第47頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題圖示剛架，其上作用三個(gè)力偶，其中

F1=F1′=5KN，m2=20KN.m,m3=9KN.m,

試求支座A、B處的反力。ABm2m130oF1F1′m3m2m330o30oFAFB1m1m1mABm1=F1×1=5KN.m第48頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一m1m1-m2+m3+FBd=0m2m330o30oFAFBABd解：因?yàn)樽饔迷趧偧苌系闹鲃?dòng)力全是力偶，則A、B處的約束反力一定形成力偶。根據(jù)平面力偶系的平衡方程：mi=05-20+9+FBABsin300=0解得：FA=FB=2.31kN第49頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例已知：機(jī)構(gòu)如圖所示，各構(gòu)件自重不計(jì)，主動(dòng)力偶M1為已知，求：支座A、B的約束反力及主動(dòng)力偶M。ABCDEMM1450a解：“BD”BDEM1FEFBM=0M1-FE·a=0FB=FE=M1/aFBFA“系統(tǒng)”系統(tǒng)受力偶作用，又只在A、B兩點(diǎn)受力，則該兩點(diǎn)的力必形成一力偶。FA=FB=M1/a第50頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一M=0M1

-FB·0-M=0M

=M1ABCDEMM1450aFBFA第51頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

系統(tǒng)如圖，AB桿上作用矩為M的力偶，設(shè)AC=2R，R為輪C的半徑，各物體的重量及摩擦不計(jì)。求繩子的拉力和鉸A對(duì)AB桿的約束反力及地面對(duì)輪C的反力。解：先以AB桿為研究對(duì)象，受力如圖。由幾何關(guān)系：所以：第52頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

再以輪C為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。其中：解之得：討論：本題亦可以整體為研究對(duì)象求出：第53頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例已知：a、m，桿重不計(jì)。求：鉸A、C的反力。解:分別以AB桿(二力桿)和BC為研究對(duì)象求解.由SM=0,mNC·d=0及NC=N'B=NB

解得:AB桿：BC桿：第54頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第55頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例

M1=2kN·m，OA=r=0.5m，a=30°，求作用于搖桿上力偶矩的大小及鉸鏈O、B處的約束力。解：1.先以圓輪為研究對(duì)象.由SM=0,解得:（平面力偶系）第56頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.再以搖桿為研究對(duì)象（平面力偶系）由SM=0,FA=F'A=M1/rsin30°解得:FO、

FB的方向如圖所示。第57頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ABOABO（A）（B）例：結(jié)構(gòu)如圖所示，已知主動(dòng)力偶M，哪種情況鉸鏈的約束力小,并確定約束力的方向（不計(jì)構(gòu)件自重）1、研究OA桿2、研究AB桿第58頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例:已知AB=2a

BD=a,不計(jì)摩擦。求當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí),力偶M1,M2

應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系。CADBNDNDDNBNA研究BD研究ACCABD第59頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力分析[例]圖示桿系，已知m,l,求A、B處約束力。解：1、研究對(duì)象二力桿：AD2、研究對(duì)象：整體思考：CB桿受力情況如何？m練習(xí)：第60頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力分析解：1、研究對(duì)象二力桿：BC2、研究對(duì)象：整體mAD桿第61頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題.圖示物體系統(tǒng)中AC=CD=BE=EF=a且CF=DE.物體重量不計(jì).求支座A和B的約束反力.ABCDEFm第62頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:取整體為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。ABCDEFmRARBdRA=RB=Rmi=0RA=RB=R=第63頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力分析BAm所以[練習(xí)]下圖中，求A、C兩點(diǎn)處的支座反力。

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