2023屆北京市首師附數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2021年起，新高考科目設(shè)置采用“”模式，普通高中學(xué)生從高一升高二時(shí)將面臨著選擇物理還是歷史的問題，某校抽取了部分男、女學(xué)生調(diào)查選科意向，制作出如右圖等高條形圖，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①樣本中的女生更傾向于選歷史；②樣本中的男生更傾向于選物理；③樣本中的男生和女生數(shù)量一樣多；④樣本中意向物理的學(xué)生數(shù)量多于意向歷史的學(xué)生數(shù)量.根據(jù)兩幅條形圖的信息，可以判斷上述結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯(cuò)了！”乙對甲說：“你做對了！”丙說：“我也做錯(cuò)了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧α?，有且只有一人說對了.”請問下列說法正確的是（）A．乙做對了 B．甲說對了 C．乙說對了 D．甲做對了3．正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么（）A． B．C． D．.4．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=（）A． B． C． D．5．已知單位圓有一條長為的弦，動(dòng)點(diǎn)在圓內(nèi)，則使得的概率為()A． B． C． D．6．已知a＝，b＝，c＝，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a7．高三要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）A．1800 B．3600 C．4320 D．50408．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．9．某班上午有五節(jié)課，計(jì)劃安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)，要求語文與化學(xué)相鄰，且數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，則不同排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．10．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．11．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．在復(fù)數(shù)列中，，，設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A．存在點(diǎn)，對任意的正整數(shù)，都滿足B．不存在點(diǎn)，對任意的正整數(shù)，都滿足C．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，對任意的正整數(shù)，都滿足D．存在唯一的點(diǎn)，對任意的正整數(shù)，都滿足二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________14．觀察下面幾個(gè)算式：；；；1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25.利用上面算式的規(guī)律，計(jì)算______15．正態(tài)分布三個(gè)特殊區(qū)間的概率值,,,若隨機(jī)變量滿足，則____．16．如圖，在底面半徑和高均為的圓錐中，是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求；（2）證明：在區(qū)間上是增函數(shù).18．（12分）梔子原產(chǎn)于中國，喜溫暖濕潤、陽光充足的環(huán)境，較耐寒.葉，四季常綠；花，芳香素雅.綠葉白花，格外清麗.某地區(qū)引種了一批梔子作為綠化景觀植物，一段時(shí)間后，從該批梔子中隨機(jī)抽取棵測量植株高度，并以此測量數(shù)據(jù)作為樣本，得到該樣本的頻率分布直方圖（單位：），其中不大于（單位：）的植株高度莖葉圖如圖所示.(1)求植株高度頻率分布直方圖中的值；(2)在植株高度頻率分布直方圖中，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，植株高度落入該區(qū)間的頻率作為植株高度取該區(qū)間中點(diǎn)值的頻率，估計(jì)這批梔子植株高度的平均值.19．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線的方程為.（1）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；（2）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍.20．（12分）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為函數(shù)的定義域?yàn)?若“”為假命題,“”為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，求A∪B；(2)若A?B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分析條形圖，第一幅圖從性別方面看選物理歷史的人數(shù)的多少，第二幅圖從選物理歷史的人數(shù)上觀察男女人數(shù)的多少，【詳解】由圖2知樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量，由圖1有物理意愿的學(xué)生數(shù)量多于有歷史意愿的學(xué)生數(shù)量，樣本中的男生更傾向物理，女生也更傾向物理，所以②④正確，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查條形圖的認(rèn)識，只要分清楚條形圖中不同的顏色代表的意義即可判別．2、B【解析】

分三種情況討論：甲說法對、乙說法對、丙說法對，通過題意進(jìn)行推理，可得出正確選項(xiàng).【詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯(cuò)了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對了，那么乙做錯(cuò)了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯(cuò)了，甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，自相矛盾.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的合情推理，解題時(shí)可以采用分類討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.3、D【解析】

用向量的加法和數(shù)乘法則運(yùn)算?！驹斀狻坑深}意：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題時(shí)可根據(jù)加法法則，從向量的起點(diǎn)到終點(diǎn)，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得。4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解，得到答案.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得復(fù)數(shù)，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，其中解答中熟記的除法運(yùn)算方法，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故，則使得的概率為，故選A．【點(diǎn)睛】（1）當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度?面積?體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．（2）利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．6、D【解析】

分別考查指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)性和冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)性即可得出．【詳解】∵y＝在R上為減函數(shù)，>，∴b<c.又∵y＝在(0，＋∞)上為增函數(shù)，>，∴a>c，∴b<c<a.故選：D【點(diǎn)睛】熟練掌握指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】試題分析：先排除了舞蹈節(jié)目以外的5個(gè)節(jié)目，共種，把2個(gè)舞蹈節(jié)目插在6個(gè)空位中，有種，所以共有種.考點(diǎn)：排列組合.8、A【解析】

求導(dǎo)，并解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！驹斀狻?，，令，得或，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有以下幾種方法：（1）基本性質(zhì)法；（2）圖象法；（3）復(fù)合函數(shù)法；（4）導(dǎo)數(shù)法。同時(shí)要注意，函數(shù)同類單調(diào)區(qū)間不能合并，中間用逗號隔開。9、B【解析】

先用捆綁法將語文與化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其順序；將這個(gè)整體與英語，物理全排列，分析排好后的空位數(shù)目，再在空位中安排數(shù)學(xué)，最后由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】由題得語文和化學(xué)相鄰有種順序；將語文和化學(xué)看成整體與英語物理全排列有種順序，排好后有4個(gè)空位，數(shù)學(xué)不在第一節(jié)有3個(gè)空位可選，則不同的排課法的種數(shù)是，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，屬于典型題.10、A【解析】

利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【詳解】對于B項(xiàng)，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D項(xiàng)中均有AB∥平面MNQ.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．11、A【解析】

首先解一元二次不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分條件、必要條件；【詳解】解：因?yàn)?，所以或，即因?yàn)椋浴啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，故選：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，充分條件、必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由，由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得出，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，且得出，再由，結(jié)合向量的三角不等式可得出正確選項(xiàng).【詳解】，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），由向量模的三角不等式可得，當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，，因此，存在唯一的點(diǎn)，對任意的正整數(shù)，都滿足，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用向量模的三角不等式構(gòu)建不等關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，考查推理能力，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì),即可求得的值.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)所以故答案為:10【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)的簡單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、10000【解析】觀察歸納中間數(shù)為2，結(jié)果為4＝22；中間數(shù)為3，結(jié)果為9＝32；中間數(shù)為4，結(jié)果為16＝42；于是中間數(shù)為100，結(jié)果應(yīng)為1002＝10000.故答案為：10000點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是合情推理中的數(shù)學(xué)式子的推理；一般對于這種題目，是通過數(shù)學(xué)表達(dá)式尋找規(guī)律，進(jìn)而得到猜想．或者通過我們學(xué)習(xí)過程中的一些特例取歸納推理，注意觀察題干中的式子的規(guī)律，以免出現(xiàn)偏差．15、0.1359【解析】

根據(jù)正態(tài)分布，得出其均值和方差的值，根據(jù)的原則和正態(tài)曲線的對稱性可得.【詳解】由題意可知，，，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的對稱性和的原則，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

結(jié)合拋物線的解析式分析可知，若要求解解析式，則至少需要求出一個(gè)拋物線上的點(diǎn)，因拋物線所在平面為平面，故可考慮先求出長度，作，先求出，再以平面建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)，代入拋物線解析式即可求解【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，由是母線的中點(diǎn)，底面半徑和高均為可得，則，以平面建立直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，如圖：則，設(shè)拋物線方程為，將代入可得，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐中具體線段的求解，拋物線解析式的求法，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對直接求導(dǎo)即可；（2）根據(jù)，，，可以判斷，從而證明在上單調(diào)遞增．【詳解】（1），；（2）證明：由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是增函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和基本不等式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．18、（1）；（2）1.60.【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖可得頻率，從而可計(jì)算.（2）利用組中值可計(jì)算植株高度的平均值.【詳解】（1）由莖葉圖知，.由頻率分布直方圖知，所以.（2）這批梔子植株高度的平均值的估計(jì)值.【點(diǎn)睛】本題考查頻率的計(jì)算及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）.（2）.【解析】試題分析：（1）求出直線的普通方程，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離的距離，即可求點(diǎn)到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方則，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)，即，時(shí)，，故點(diǎn)到直線的距離的最小值為.（Ⅱ）因?yàn)榍€上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，所以對，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．20、或.【解析】試題分析：先分別求出命題和命題為真命題時(shí)的取值范圍,然后根據(jù)“”為假命題,“”為真命題,得出一真一假,再求出的取值范圍.試題解析：由不等式的解集為,得;由函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí),不合題意,∴,解得.∵“”為假命題,“”為真命題,∴一真一假,∴或∴或.點(diǎn)睛：由含邏輯連結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍的方法：（1）求出當(dāng)命題為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍；（2）判斷命題的真假性；（3）根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍．21、（1）A∪B＝{x|－2<x<3}（2）（3）【解析】試題分析：（1）m＝－1，用軸表示兩個(gè)集合，做并集運(yùn)算，注意空心點(diǎn)，實(shí)心點(diǎn)．（2）由于A?B，首先要保證1-m>2m,即集合B非空，然后由數(shù)軸表示關(guān)系，注意等號是否可?。?）空集有兩種情況，一種是集合B為空集，一種是集合B