導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)

導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一回顧①平均變化率函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,x1.x2∈D,f(x)從x1到x2平均變化率為:②割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一回顧以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是:我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′

(x0)或y′|x=x0即第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一

由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù).

自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.回顧第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一PQoxyy=f(x)割線切線T導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ如果有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);

要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),

可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).PQoxyy=f(x)割線切線T第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:①求出P點(diǎn)的坐標(biāo);②利用切線斜率的定義求出切線的斜率;③利用點(diǎn)斜式求切線方程.第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí):如圖已知曲線,求:(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),f’(x0)是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)?第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一看一個(gè)例子:第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一下面把前面知識小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物理意義認(rèn)識這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。

b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一（3）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的,

就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一（1）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率，得到曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))的切線的斜率。（2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，即求切線方程的步驟：小結(jié):

無限逼近的極限