二次函數(shù)與四邊形的動點問題(含答案)

二次函數(shù)與四邊形的動點問題(含答案)PAGEPAGE4二次函數(shù)與四邊形一．二次函數(shù)與四邊形的形狀A例1.(浙江義烏市)如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．A（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．練習2.（四川省德陽市）25.如圖，已知與軸交于點和的拋物線的頂點為，拋物線與關于軸對稱，頂點為．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）已知原點，定點，上的點與上的點始終關于軸對稱，則當點運動到何處時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形？（3）在上是否存在點，使是以為斜邊且一個角為的直角三角形？若存，求出點的坐標；若不存在，說明理由．11234554321練習3.（山西卷）如圖，已知拋物線與坐標軸的交點依次是，，．（1）求拋物線關于原點對稱的拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為，拋物線與軸分別交于兩點（點在點的左側(cè)），頂點為，四邊形的面積為．若點，點同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點，點同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點與點重合為止．求出四邊形的面積與運動時間之間的關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當為何值時，四邊形的面積有最大值，并求出此最大值；（4）在運動過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時的值；若不能，請說明理由．二．二次函數(shù)與四邊形的面積例1.（資陽市）25.如圖10，已知拋物線P：y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：x…-3-212…y…--4-0…圖10(1)求A、B、C三點的坐標；圖10(2)若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關系，并指出m的取值范圍；(3)當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍.練習1.（遼寧省十二市2007年第26題）．如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（－8，0），點N的坐標為（－6，－4）．（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應點為A，點N的對應點為B，點H的對應點為C）；（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；（4）在（3）的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．練習3.（吉林課改卷）如圖，正方形的邊長為，在對稱中心處有一釘子．動點，同時從點出發(fā)，點沿方向以每秒的速度運動，到點停止，點沿方向以每秒的速度運動，到點停止．，兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯(lián)結(jié)，設秒后橡皮筋掃過的面積為．BCPODQABBCPODQABPCODQA（2）當橡皮筋剛好觸及釘子時，求值；（3）當時，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時的變化范圍；（4）當時，請在給出的直角坐標系中畫出與之間的函數(shù)圖象．練習4.（四川資陽卷）如圖，已知拋物線l1：y=x2-4的圖象與x軸相交于A、C兩點，B是拋物線l1上的動點(B不與A、C重合)，拋物線l2與l1關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D.(1)求l2的解析式；(2)求證：點D一定在l2上；(3)□ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積(若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積)；如果不能為矩形，請說明理由.注：計算結(jié)果不取近似值.三．二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究例1.(荊門市)28.如圖1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當?shù)狞cE，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．(1)設P(x，0)，E(0，y)，求y關于x的函數(shù)關系式，并求y的最大值；(2)如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．圖1圖1圖2例2.（2010年沈陽市第26題）、已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求此拋物線的表達式；（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．例3..(湖南省郴州)27．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD沿對角線A平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重時停止移動．平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，F(xiàn)G與DC的延長線交于點Q．設S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積．（1）S與相等嗎？請說明理由．（2）設AE＝x，寫出S和x之間的函數(shù)關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？（3）如圖11，連結(jié)BE，當AE為何值時，是等腰三角形．圖11圖11圖10練習1.（07年河池市）如圖12，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點從出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向運動；點從同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點作垂直軸于點，連結(jié)AC交NP于Q，連結(jié)MQ．圖12（1）點（填M或N圖12（2）求△AQM的面積S與運動時間t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍，當t為何值時，S的值最大；（3）是否存在點M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．練習2..(江西省)25．實驗與探究（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點的坐標，它們分別是，，；圖1圖1圖2圖3（2）在圖4中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），求出頂點的坐標（點坐標用含的代數(shù)式表示）；圖4圖4歸納與發(fā)現(xiàn)（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點的坐標的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標之間的等量關系為；縱坐標之間的等量關系為（不必證明）；運用與推廣（4）在同一直角坐標系中有拋物線和三個點，（其中）．問當為何值時，該拋物線上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的點坐標．答案：一．二次函數(shù)與四邊形的形狀例1.解：（1）令y=0，解得或∴A（-1，0）B（3，0）；將C點的橫坐標x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2）則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（∵P點在E點的上方，PE=∴當時，PE的最大值=（3）存在4個這樣的點F，分別是B(0,4)A(6,0)EFO練習1.解：（1）由拋物線的對稱軸是B(0,4)A(6,0)EFO解之，得故拋物線解析式為，頂點為（2）∵點在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合，∴y<0，即－y>0,－y表示點E到OA的距離．∵OA是的對角線，∴．因為拋物線與軸的兩個交點是（1，0）的（6，0），所以，自變量的取值范圍是1＜＜6．根據(jù)題意，當S=24時，即．化簡，得解之，得故所求的點E有兩個，分別為E1（3，－4），E2（4，－4）．點E1（3，－4）滿足OE=AE，所以是菱形；點E2（4，－4）不滿足OE=AE，所以不是菱形．當OA⊥EF，且OA=EF時，是正方形，此時點E的12341234554321而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形．練習2.解：（1）由題意知點的坐標為．設的函數(shù)關系式為．又點在拋物線上，，解得．拋物線的函數(shù)關系式為（或）．（2）與始終關于軸對稱，與軸平行．設點的橫坐標為，則其縱坐標為，，，即．當時，解得．當時，解得．當點運動到或或或時，，以點為頂點的四邊形是平行四邊形．（3）滿足條件的點不存在．理由如下：若存在滿足條件的點在上，則1235543123554321．過點作于點，可得．，，．點的坐標為．但是，當時，．不存在這樣的點構(gòu)成滿足條件的直角三角形．練習3.[解]（1）點，點，點關于原點的對稱點分別為，，．設拋物線的解析式是，則解得所以所求拋物線的解析式是．（2）由（1）可計算得點．過點作，垂足為．當運動到時刻時，，．根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，所以四邊形是平行四邊形．所以．所以，四邊形的面積．因為運動至點與點重合為止，據(jù)題意可知．所以，所求關系式是，的取值范圍是．（3），（）．所以時，有最大值．提示：也可用頂點坐標公式來求．（4）在運動過程中四邊形能形成矩形．由（2）知四邊形是平行四邊形，對角線是，所以當時四邊形是矩形．所以．所以．所以．解之得（舍）．所以在運動過程中四邊形可以形成矩形，此時．[點評]本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。二．二次函數(shù)與四邊形的面積例1.解：（1）解法一：設，任取x,y的三組值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4，∴A、B、C三點的坐標分別是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4). 解法二：由拋物線P過點(1，-)，(-3，)可知，拋物線P的對稱軸方程為x=-1，又∵拋物線P過(2，0)、(-2，-4)，則由拋物線的對稱性可知，點A、B、C的坐標分別為A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).（2）由題意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m， 又，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，∴=DG·DE=(4-2m)3m=12m-6m2(0＜m＜2).注：也可通過解Rt△BOC及Rt△AOC，或依據(jù)△BOC是等腰直角三角形建立關系求解.(3)∵SDEFG=12m-6m2(0＜m＜2)，∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6.當矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，-2)，F(xiàn)(-2，-2)，E(-2，0)，設直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，又可求得拋物線P的解析式為：，令=，可求出.設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有==，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是k≠且k＞0.說明：若以上兩條件錯漏一個，本步不得分.若選擇另一問題：(2)∵，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，又∵，而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，∴=DG·FG=6.練習1.解：利用中心對稱性質(zhì)，畫出梯形OABC．·················1分∵A，B，C三點與M，N，H分別關于點O中心對稱，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）

···················3分（寫錯一個點的坐標扣1分）

（2）設過A，B，C三點的拋物線關系式為，∵拋物線過點A（0，4），∴．則拋物線關系式為．

··············4分將B（6，4），C（8，0）兩點坐標代入關系式，得····························5AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝分解得·····················6分所求拋物線關系式為：．········7分（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．··········8分

∴

OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

（0＜＜4）········10分∵．∴當時，S的取最小值．又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．·······12分（4）當時，GB=GF，當時，BE=BG．

14分練習3.[解]（1）當時，，，，即．（2）當時，橡皮筋剛好觸及釘子，，，，．（3）當時，，，，，即．作，為垂足．當時，，，，，即．或（4）如圖所示：練習4.[解](1)設l2的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，∵l1與x軸的交點為A(-2，0)，C(2，0)，頂點坐標是(0，-4)，l2與l1關于x軸對稱，∴l(xiāng)2過A(-2,0),C(2,0)，頂點坐標是(0，4)，∴∴a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式為y=-x2+4.(還可利用頂點式、對稱性關系等方法解答)(2)設點B(m，n)為l1：y=x2-4上任意一點，則n=m2-4(*).∵四邊形ABCD是平行四邊形，點A、C關于原點O對稱，∴B、D關于原點O對稱，∴點D的坐標為D(-m,-n).由(*)式可知，-n=-(m2-4)=-(-m)2+4，即點D的坐標滿足y=-x2+4，∴點D在l2上.(3)□ABCD能為矩形.過點B作BH⊥x軸于H，由點B在l1：y=x2-4上，可設點B的坐標為(x0，x02-4)，則OH=|x0|，BH=|x02-4|.易知，當且僅當BO=AO=2時，□ABCD為矩形.在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，(x02-4)(x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±EQ\R(,3).所以，當點B坐標為B(EQ\R(,3)，-1)或B′(-EQ\R(,3)，-1)時，□ABCD為矩形，此時，點D的坐標分別是D(-EQ\R(,3)，1)、D′(EQ\R(,3)，1).因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形AB′CD′.設直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB，∴EQ\F(EO,AO)=EQ\F(BH,AH)，∴.∴EO=4-2.由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面積為S=2SΔACE=2×EQ\F(1,2)×AC×EO=2×EQ\F(1,2)×4×(4-2EQ\R(,3))=16-8EQ\R(,3).三．二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究例1.解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴．即．∴y=(0＜x＜4)．且當x=2時，y有最大值．(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．設過此三點的拋物線為y=ax2＋bx＋c，則∴y=．(3)由(2)知∠EPB=90°，即點Q與點B重合時滿足條件．直線PB為y=x－1，與y軸交于點(0，－1)．將PB向上平移2個單位則過點E(0，1)，∴該直線為y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故該拋物線上存在兩點Q(4，3)、(5，6)滿足條件．例2.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8……1分∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0）…4分（2）∵點C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式，得解得∴所求拋物線的表達式為y＝x2x＋8………7分（3）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴即∴EF＝∴＝∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m…………10分自變量m的取值范圍是0＜m＜8…………11分（4）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8且－＜0，∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8………12分∵m＝4，∴點E的坐標為（－2，0）∴△BCE為等腰三角形．…………14分

（以上答案僅供參考，如有其它做法，可參照給分）例3解:（1）相等理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，所以所以即：（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，設AE＝x，則EC＝5－x，所以，即配方得：，所以當時，S有最大值3（3）當AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6時，是等腰三角形練習1．解：（1）點M 1分（2）經(jīng)過t秒時，，則，∵==∴∴∴∴∵∴當時，S的值最大．（3）存在．設經(jīng)過t秒時，NB=t，OM=2t則，∴==①若，則是等腰Rt△底邊上的高∴是底邊的中線∴∴∴∴點的坐標為（1，0）②若，此時與重合∴∴∴∴點的坐標為（2，0）練習2.解：（1），．（2）分別過點作軸的垂線，垂足分別為，分別過作于，于點．在平行四邊形中，，又，．．又，．，．設．由，得．由，得．．（3），．或，．（4）若為平行四邊形的對角線，由（3）可得．要使在拋物線上，則有，即．（舍去），．此時．若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時．若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時．綜上所述，當時，拋物線上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形．符合條件的點有，，．練習3.解：⑴由Rt△AOB≌Rt△