10多元綜合評(píng)價(jià)分析方法

10多元綜合評(píng)價(jià)分析方法多元統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用范圍很廣，無(wú)論自然科學(xué)還是社會(huì)科學(xué)，無(wú)論是開(kāi)發(fā)研究還是實(shí)際預(yù)測(cè)和決策，都有許多成功的案例。本章簡(jiǎn)要介紹多元統(tǒng)計(jì)分析的相關(guān)基礎(chǔ)和常用的多元統(tǒng)計(jì)分析評(píng)價(jià)基本方法。方差分析在評(píng)價(jià)系統(tǒng)研究中，我們所關(guān)心的參數(shù)往往是受多因素影響的，如作物產(chǎn)量的高低、城市空氣質(zhì)量的好壞等。如果要提高產(chǎn)量或者要改善環(huán)境條件，就必須對(duì)影響生產(chǎn)或環(huán)境的多因素進(jìn)行分析，確定哪些因素是主要的，以及將這些因素控制在哪個(gè)水平或位級(jí)上就能使農(nóng)作物產(chǎn)量提高或環(huán)境質(zhì)量改善。作為影響研究參數(shù)結(jié)果的因素，有些是可控的，這些可控制因素一般可以在有控制的重復(fù)該試驗(yàn)或觀測(cè)所獲得的數(shù)據(jù)中得到反映。方差分析就是通過(guò)對(duì)試驗(yàn)或觀測(cè)所獲得的數(shù)據(jù)之間的差異，分析推斷各影響因素所起作用的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾在20世紀(jì)20年代首先把方差分析應(yīng)用到農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中。這里僅介紹單因素和雙因素的方差分析，主要討論方差分析的一些具體算法，對(duì)涉及概念、計(jì)算公式的數(shù)學(xué)原理只作簡(jiǎn)單介紹。單因素方差分析A單因素方差分析模型態(tài)），分別進(jìn)行了n，?1設(shè)影響研究結(jié)果的因素只有一個(gè)，令其為A。對(duì)A態(tài)），分別進(jìn)行了n，?1n次重復(fù)試驗(yàn)（觀測(cè)）,共得到N=￡n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)x,k i iji=1i=1,2,,k；j=1,2,,n。試驗(yàn)（觀測(cè)）的目的是要分析因素A的不同水平對(duì)i試驗(yàn)所研究的結(jié)果是否有顯著的影響。假設(shè)x有如下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：ijx=N+a+￡ （i=1,2,,k;j=1,2,,n） （10-1）TOC\o"1-5"\h\zij iij i式中，口表示總體均值；a.表示水平A對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的影響，即水平A的效應(yīng)；8表i i i ij示第i個(gè)水平在第j次試驗(yàn)（觀測(cè)）中的隨機(jī)誤差。假定8相互獨(dú)立，且8nMO,52）。ij ij于是，根據(jù)模型式（10-1），上述試驗(yàn)（觀測(cè)）的目的可歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè)：H:a=a==a=0 （10-2）\o"CurrentDocument"0 1 2 kB方差分析原理基本思想是：根據(jù)所設(shè)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)將總偏差平方和分解為各個(gè)不同水平效應(yīng)的偏差平方和及隨機(jī)誤差所引起的偏差平方和，然后利用正態(tài)分布假設(shè)，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。令：X=-￡x表示水平A的樣品平均值；in ij iij=1彳=N￡￡xj表示全部觀測(cè)值的總平均。i=1 j=1總偏差平方和可分解為:工工(x-工工(x-X)2iji=1 j=1￡n(x—x)2+ii-i=1￡工(xiji=1 j=1—x)2i-/(10-3)TOC\o"1-5"\h\z式中，S工￡（x-x）2工￡（￡-E.）2表示各組內(nèi)隨機(jī)因素而產(chǎn)生的偏差E ij1- ij1i=1j=1 i=1j=1平方和，簡(jiǎn)稱組內(nèi)平方和（或誤差平方和）。（10-4）S=￡￡(彳-x)2=￡n(r-x)2=￡n(a+E-E)2（10-4）A i- ii- iiii=1j=1 i=1 i=1表示由各組不同水平之間的差異而產(chǎn)生的偏差平方和，簡(jiǎn)稱組間平方和。\o"CurrentDocument"在上述關(guān)于模型式（10-1）的假設(shè)下，統(tǒng)計(jì)量S./52，S%2，S*2分別服T' E' A'從自由度為N-1，N-k，k-1的殍分布，且S與S相互獨(dú)立，故統(tǒng)計(jì)量:EASS52(k-1)F*-\,N-k)（10-5）FF*-\,N-k)（10-5）S52(N-k)□E則拒可用來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)H。對(duì)于給定的顯著性水平a，若計(jì)算值F>F（k-1,N-k），則拒0 a絕H0，即認(rèn)為因素A的不同水平對(duì)所研究的指標(biāo)值的影響有顯著差異。一般，當(dāng)a=0.05時(shí)，F(xiàn)>F表示水平效應(yīng)顯著，記作F*；當(dāng)a=0.01時(shí)，F(xiàn)>F表示水平效應(yīng)高度顯著，a a記作F**。C單因素方差分析計(jì)算步驟方差分析的計(jì)算和檢驗(yàn)程序可按下列方差分析表10-1進(jìn)行。（1）計(jì)算樣品（觀測(cè)值）均值彳及總均值x；i*（2）計(jì)算組間平方和S及誤差平方和S；A E（3）計(jì)算均方r=S/（k-1），F(xiàn)=S/（N-k）及F=S~/S~。AA- EE' AE表10-1單因素方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F組間S=￡n(x-x)2A ii-i=1k-1S=S/(k-1)A AfS~sAE

S工工(-X)2E iji'i=1 j=1S=S+STEAN—kN-1S~=S/(N-k)E E-D算例為了考察用來(lái)處理水稻種子的4種不同藥劑對(duì)水稻生長(zhǎng)的影響，選擇一塊各種條件（如土質(zhì)、氣候、管理）基本均勻的土地，將其分成16塊。在每4塊試驗(yàn)地里種下用同一種藥劑處理過(guò)的水稻種子。試驗(yàn)結(jié)果—一苗高見(jiàn)表10-2。試驗(yàn)中唯一的可控因素一一藥劑用A表示，用4種不同的藥劑處理稱為A的4個(gè)不同TOC\o"1-5"\h\z水平，分別記為A,A,A,A。這里每個(gè)水平的試驗(yàn)（觀測(cè)）次數(shù)均相同，k=4,N=16。12 3 4其參數(shù)計(jì)算見(jiàn)表10-2,方差分析見(jiàn)表10-3。表10-2不同藥劑處理的苗高X藥劑A重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)、不同水平下的苗高X參數(shù)A1A2A3A4123212022219241825321271927413201526總和Ti769272100T=340平均Xi19231825X=21.25i表10-3不同藥劑處理的水稻苗高的方差計(jì)算表方差來(lái)源平方和自由度均方和F組間（因素A）131343.34組內(nèi)（誤差）114129.54.60總和24515設(shè)顯著水平a=0.05,查F分布臨界值表有:TOC\o"1-5"\h\zF(k-1,N—k)=F(4-1,16—4)=3.49a 0.05由于4.60>3.49，故拒絕H，即不同藥劑對(duì)水稻的生長(zhǎng)有顯著影響。同樣查表有0F（4-1,16-4）=5.95,則F<F，表示不同藥劑對(duì)水稻的生長(zhǎng)不存在高度顯著。0.01 0.0110.1.2多因素方差分析A無(wú)交互作用的方差分析實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到兩個(gè)或兩個(gè)以上因素同時(shí)影響試驗(yàn)（觀測(cè)）結(jié)果的情形。通過(guò)對(duì)兩個(gè)因素的方差分析，能確定兩個(gè)因素各自的主效應(yīng)及它們的交互效應(yīng)；通過(guò)對(duì)3個(gè)因素的方差分析，能確定3個(gè)因素各自的主效應(yīng)、兩兩交互效應(yīng)及3個(gè)因素的交互效應(yīng)等。由于多因

素多水平的方差分析涉及較繁的符號(hào)書(shū)寫(xiě)，下面僅以兩因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的情形為例，說(shuō)明多因素方差分析的數(shù)學(xué)原理。設(shè)因素A有a個(gè)不同水平，因素B有b個(gè)不同水平。對(duì)A與B的每一個(gè)水平組合做一次試驗(yàn)（觀測(cè)），得N=ab個(gè)值，數(shù)據(jù)見(jiàn)表10-4。表10-4多因素方差分析數(shù)據(jù)表因素Bx=1￡xi-b ijj=1因素ABB1 bA1**X??x11 1b?? ：X1*?*Aa????X Xa1 ab?Xa-T=1￡x-baiji=1???X X-1 -b???（10-6）表中，x表示A的第i水平與B的第（10-6）x=N+a+P+￡(i=1,2,,a;j=1,2,,b)TOC\o"1-5"\h\zj ij ij其中，口表示總體均值，a，山分別表示A丁B的主效應(yīng)，￡為隨機(jī)誤差。各￡相ij ij ij ij互獨(dú)立，且￡nN（0,52）。與單因素方差分析情形相比可知統(tǒng)計(jì)假設(shè)為:ij（10-7）H:a=a==a=（10-7）V 01 1 2 a >H:P=P==P=0l 02 1 2 …b J同理，總偏差平方和可分解為：S立工（1X）2T iji=1j=1=￡ ￡(x-=￡ ￡(x-fiji-i=1j=1——、尸/——、 yz--、一X.+X)2+b乙(X一X)2+a乙(x.一X)2i-i=1（10-8）j=1其中，X=-1￡￡xabiji=1j=1二￡二￡(xiji=1j=1一X一X+X)2

i- -J記S=b￡(X-X)2，A i-i=1則式(10-8)可簡(jiǎn)寫(xiě)為:

S=a￡(X一X)2，B -jj=1（10-9）在假設(shè)式（10-9）在假設(shè)式（10-7）成立下，可以證明S/2口%2（”1），y2口殍（b-1），S=S+S+STABES吟2殍((〃—1)(b—1)),且S,S,S相互獨(dú)立，因而有:E ABEF=AF=BS(a-1) A 「S(a-1)(b-1)口EF=AF=BS(a-1) A 「S(a-1)(b-1)口ES(b-1) B S(a-1)(b-1)口E產(chǎn)(a-1,(a-1)(b-1))F(b-1,(a-1)(b-1))(10-10)若計(jì)算值Fa>f.(a-1，(a-1xb-1))，則拒絕假設(shè)H01，認(rèn)為A的主效應(yīng)顯著；若計(jì)算值F>F(b-1,(a-1)(b-1》，則拒絕假設(shè)H，認(rèn)為B的主效應(yīng)顯著。Ba 02B有交互作用的方差分析實(shí)踐中，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果受兩個(gè)或多個(gè)因素影響時(shí)，不僅每個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果起作用，而且因素的水平搭配不同，試驗(yàn)結(jié)果也不同。因而方差分析既要確定各因素的主效應(yīng)，也要確定水平搭配的交互效應(yīng)。為了分出交互效應(yīng)，對(duì)各水平組合必須進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。設(shè)因素A有a個(gè)不同水平，因素B有b個(gè)不同水平，各水平組合重復(fù)m次試驗(yàn)。記Xijk為A的第i水平與B的第j水平組合的第k次試驗(yàn)觀測(cè)值，假定相應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：x=R+a+P+y+￡ (i=1,2,,a;j=1,2, ,b;k=1,2,,m) (10-11)ijk ijijijk其中，口，a，p含義同式(10-6)，Y為A與B搭配的交互效應(yīng)，各8相互獨(dú)立

ij ijij ijk二口N(0,52)。類似上述分析，要檢驗(yàn)假設(shè):H:a=a==a=0、01 1 2 aH:「=「==P=002 1 2 ??bH:Y二二Y二003 11 ?mb J(10-12)而S=S+S..+S+STAB AxB E(10-13)其中S立XX(X -X)2T ijki=1j=1k=1SA=工X(XXX)2

mb jijk，(XXXX)

abm jijkSB1(XXXX)

abm jijkS=mXX(X-X-X+X)2AxB iji? ?jij=1XX(XX)--1X(XXX)2-±X(XXX)2+，(XXXX)2

m jbm jam ijkabm ijkijk ijk jik ijkS=SEE(X -F)2=S-S-S+SE ijkij- TABAxBijk這里:Xi??統(tǒng)計(jì)量:bmjkXijkx=，ZZZ這里:Xi??統(tǒng)計(jì)量:bmjkXijkx=，ZZZXabm ijkijk相應(yīng)的，F(xiàn)=AIF=BFAxBSA(a_1)Sab(m一1)口\(b-1)Sab(m一1)口EF(a-1,ab(m-1))Fdb((m-1))(10-14)S (a-1)(b-1)A~B^ 門Sab(m-1) 口EF((a-1)(b-1),ab(m-1))可以分別檢驗(yàn)假設(shè)式(10-12)。若計(jì)算值F>F(a-1,ab(m-1))，則拒絕假設(shè)HTOC\o"1-5"\h\zAa 01認(rèn)為A的主效應(yīng)顯著；若計(jì)算值Fb>Fa(b-1，ab(m-1))，則拒絕假設(shè)H02，認(rèn)為B的主效應(yīng)顯著。若計(jì)算值F >F((a-1)(b-1),ab(m-1))，則拒絕假設(shè)H，認(rèn)為A與B的AxB a 03交互效應(yīng)顯著。具體計(jì)算步驟可按方差分析表10-5進(jìn)行。表10-5兩因素有交互效應(yīng)的方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方FASAa—1S=S/(a-1)A A'f=snrA AEBSBb-1S=S/(b-1)B B'f=snrB B'EAxBSAxB(a-1)(b-1)S…S SF=AxBAxBSEQ AxBAxB (a—1)(b—1)ESEab(m-1)S=S]ab(m-1)E E:TSabm-1T計(jì)算中，把交互作用項(xiàng)看作因素輸入。對(duì)于兩因素以上的方差分析，可仿上述方式類推。C算例TOC\o"1-5"\h\z施用A，A，A三種肥料于B，B，B三種土壤，以小麥產(chǎn)量為試驗(yàn)指標(biāo)做盆栽試1 2 3 1 2 3驗(yàn)。每種肥料和土壤組合試種3盆，得產(chǎn)量結(jié)果見(jiàn)表10-6,試做方差分析(a=0.05)。表10-6三種肥料施于三種土壤的小麥產(chǎn)量(g)肥料種類盆號(hào)土壤種類B B B1 2 3Xi--

121.419.617.6A221.218.816.61320.116.417.5x1j?20.918.317.218.8112.013.013.3A214.213.714.02312.112.013.9x2j?12.812.913.713.1112.814.212.0A213.813.614.63313.713.314.0x3j?13.413.713.513.5x?j?15.715.014.8x=15.16這里a=3,b=3,m=3。方差分析見(jiàn)表10-7。表10-7三種肥料三種土壤的小麥產(chǎn)量方差分析方差來(lái)源平方和自由度均方和FA179.38289.69B3.9621.9896.4AxB19.2444.812.13E16.70180.935.17總和219.2826F(2,18)=3.550.05對(duì)FA和F查F 分布表有：；；對(duì)F查F 分布表有：F(4,18)=2.93。AxB 0.05由于F>F(2,18)，F(xiàn)<F(2,18)，F(xiàn)>F(4,18)，故土壤類別間無(wú)顯著差異，A0.05 B0.05 AxB 0.05肥料類別和交互作用AxB都是顯著的。相關(guān)分析評(píng)價(jià)系統(tǒng)中常常涉及多個(gè)要素，對(duì)某個(gè)研究對(duì)象而言，與之相關(guān)的要素也是多樣化的，但事物均是有聯(lián)系的，我們往往要判斷哪些因素是相關(guān)的，或者判斷哪些統(tǒng)計(jì)量是相關(guān)的。相關(guān)分析的任務(wù)就是揭示系統(tǒng)因素之間相互關(guān)系的密切程度，而這種要素間的相關(guān)密切程度的測(cè)定，主要是通過(guò)對(duì)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)來(lái)完成的。這里，主要介紹兩要素間的相關(guān)分析問(wèn)題。樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)A相關(guān)系數(shù)的計(jì)算對(duì)于兩個(gè)要素X與Y，如果它們的樣本值分別為x和y(i=1,2,,n)，這里n為樣本ii大小，即抽樣觀測(cè)次數(shù)。由一般統(tǒng)計(jì)原理可知，它們之間的相關(guān)系數(shù)定義為:（10-15（10-15）式中K亍一一分別為兩個(gè)要素的樣本平均值，X二1乙，7二1Zyninii=1 i=1，——要素X與Y之間的相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù),是反映兩要素之間相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo),其值在［-1［］區(qū)間之內(nèi)。.0,表示兩要素正相關(guān),即兩要素同向發(fā)展；或＜0，表示兩要素負(fù)相關(guān),即兩要素異向發(fā)展。廠的絕對(duì)值越接近1，表示兩要素的關(guān)系越密切；廠越接近0，表示兩要素的關(guān)系越不密XY XY切。如果記:LXYi=1Z.y-iii=11（工）（Zy）

如果記:LXYi=1Z.y-iii=11（工）（Zy）

nii

i=1 i=1LXXZ（一X）2=iZx2-ii=11（ZX）2nii=1i=1LYYZi=11（Zy）2nii=1則式（10-15）可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:rXY如果研究問(wèn)題涉及到XJX2rXY如果研究問(wèn)題涉及到XJX2,Xn等n個(gè)要素，則對(duì)于其中任何兩個(gè)要素X，和Xj按照式（10-15）或式（10-16）計(jì)算它們的相關(guān)系數(shù)rj,這樣就可得到多要素的相關(guān)系數(shù)矩11 12 1n（10-17）

由相關(guān)系數(shù)的定義可知，R中有：r=1（i=1,2,,n）；r=r（i=1,2,,n；j=1,2,,n）ii ijjiB相關(guān)系數(shù)的檢.驗(yàn) ... ...當(dāng)要素之間的相關(guān)系數(shù)求出以后，還需要對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)。這是因?yàn)檫@里的相關(guān)系數(shù)式是根據(jù)研究要素之間的樣本值計(jì)算的，它隨樣本數(shù)的多少或取樣方式的不同而不同，因此它只是要素之間的樣本相關(guān)系數(shù)，只有通過(guò)檢驗(yàn)，才能知道它的可信度。一般情況下，相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)，是在給定的置信水平下，通過(guò)查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值r來(lái)完成的。查相關(guān)系數(shù)臨界值時(shí)，自由度為r來(lái)完成的。查相關(guān)系數(shù)臨界值時(shí)，自由度為n-2,a為置信水平，按自由度和置信水平查出的值為相關(guān)系數(shù)等于零的臨界值r。當(dāng)計(jì)算|r>r時(shí)，兩要素X，Y不相關(guān)的可能性

a XYa只有a，即X，Y在置信水平a下相關(guān)。一般而言，當(dāng)r|<r時(shí)，則認(rèn)為兩要素X，Y不相關(guān)，這時(shí)的樣本相關(guān)系數(shù)就不能XY1 0.1反映兩要素之間的關(guān)系。C算例我國(guó)長(zhǎng)江流域部分縣（市）7月下旬歷史最大降雨量與常年同期平均降雨量見(jiàn)表10-8,試對(duì)該兩要素做相關(guān)性分析。表10-8長(zhǎng)江流域7月下旬降雨量統(tǒng)計(jì)表（mm）縣（市）名歷史最大降雨量常年平均降雨量縣（市）名歷史最大降雨量常年平均降雨量武漢31435南昌14026黃石50141婺源23057英山26053銅鼓17649孝感20630景德鎮(zhèn)19837岳陽(yáng)18330九江14232桑植39146安慶19446常德16241屯溪21938芷江15643凱里14757這里設(shè)7月下旬歷史最大降雨量為X，常年同期平均降雨量為Y。由表10-8數(shù)據(jù)可得:LXYy)=1676.07i^ILxy」(ZxLXYy)=1676.07i11nii=1 i=1 i=1LXX=Zx2-1(ZiiLXX=Zx2-1(Zii=1ni=1x)2=148060.44iLYY=Zy2-1(Zini=1y)2=1381.438ii=1rXYrXY=0.11719按式（10-16）可得:L 1676.07XY=—LL <148060.44x1381.438XXYY

查表有丫=0.4259，有卜<r時(shí)，則認(rèn)為該兩要素X,Y不相關(guān)，即長(zhǎng)江流域70.1 1XY0.1月下旬歷史最大降雨量與常年平均降雨量無(wú)相關(guān)關(guān)系。等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)列有時(shí)無(wú)法或不適宜直接以數(shù)量確定其差異大小，只能依照排列次序以定其高低，例如：智力高低、顏色深淺、服務(wù)態(tài)度、味道好壞、事態(tài)輕重等。根據(jù)等級(jí)分配的兩組資料之間的相關(guān)關(guān)系，稱為等級(jí)相關(guān)，等級(jí)相關(guān)測(cè)定方法又稱為等級(jí)差異法。A等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)，又稱順序相關(guān)系數(shù)，與前述相關(guān)系數(shù)一樣，它也是描述兩要素之間相關(guān)程度的一種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，不過(guò)在計(jì)算方法上有所不同。等級(jí)相關(guān)系數(shù)是將兩要素的樣本值按其大小順序排列位次，以各要素樣本值的位次代替實(shí)際數(shù)據(jù)而求得的一種統(tǒng)計(jì)量。設(shè)兩個(gè)要素X與Y有n對(duì)樣本值，令N代表要素X的序號(hào)，N代表要素Y的序號(hào)，X Yd2=(N—N)(i=1,2,,n)，代表要素X與Y的同一組樣本位次差的平方。i Xi Y由式(10-16)變換可得：①d2ir=1——^-1—— (10-18)XY n(n2-1)B等級(jí)相關(guān)系數(shù)rXY的檢驗(yàn)與相關(guān)系數(shù)一樣，等級(jí)相關(guān)系數(shù)是否顯著，也需要檢驗(yàn)。表10-9給出了等級(jí)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值。表中n代表樣本個(gè)數(shù)，a代表不同的置信水平，表中數(shù)值為臨界值(。t=t=r. XYY1—r2(n-2為自由度)（10-19）表10-9等級(jí)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值n顯著水平an顯著水平a0.050.010.050.0141.000160.4250.60150.9001.000180.3990.56460.8290.943200.3770.53470.7140.893220.3590.50880.6430.833240.3430.48590.6000.783260.3290.465100.5640.746280.3170.448120.5060.712300.3060.432140.4560.645等級(jí)相關(guān)系數(shù)點(diǎn)的檢驗(yàn)也可以采用t-檢驗(yàn)，其公式為:XY0.05一般認(rèn)為，當(dāng)t>t時(shí)，兩要素相關(guān)顯著；當(dāng)t>t時(shí)，兩要素相關(guān)高度顯著。0.050.01

所以rXY6^d2ii—所以rXY6^d2ii—1 =1一n(n2—1)6x5812x(122—1)―0.80當(dāng)n=12時(shí)，1.05=2.228；'0.03169按式(10-19)計(jì)算有:由于"/0.01,所以兩因素高度顯著相關(guān)。某公司服務(wù)員工齡與工作效能的等級(jí)相關(guān)。計(jì)算數(shù)據(jù)見(jiàn)表10-10。表10-10服務(wù)員工齡與工作效能的等級(jí)相關(guān)計(jì)算服務(wù)員服務(wù)年限服務(wù)年限次序工作效能次序dd2A57.561.52.25B211.5120.50.25C10211.01.00D8495.025.00E6682.04.00F4954.016.00G12121.01.00H211.5101.52.25I7532.04.00J57.570.50.25K9341.01.00L310111.01.00這里n=12，￡d2=58.00用等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)也可得到同樣結(jié)果。主成分分析評(píng)價(jià)方法主成分的基本思想設(shè)有n個(gè)指標(biāo)X1,X2,,＜它反映了n個(gè)客觀對(duì)象的特性,因此每個(gè)對(duì)象觀測(cè)到的n個(gè)指標(biāo)值就是一個(gè)樣本值(1,%,,%)，它是一個(gè)n維向量。如果觀察了m個(gè)對(duì)象，i1i2 in就有m個(gè)n維向量，共mn個(gè)數(shù)據(jù)，用矩陣表示有：

x11x21x11x21x12X22X1nX2n(10-20)X*nmX*nm,nrl每一行就是一個(gè)樣本的觀察值。已知數(shù)據(jù)矩陣X，若能找到一個(gè)線性函數(shù)Y=ZaX，iii=1能最好地反映n個(gè)指標(biāo)(X,X,,X)的變化狀況，即用此線性函數(shù)來(lái)綜合表示n個(gè)變量在m個(gè)樣本上的差異，則此函數(shù)就是一個(gè)代表性很好的指標(biāo)，它就是這n個(gè)變量的主要成分，找出這個(gè)主要成分的方法就被稱為主成分分析方法。主成分的基本思想是，先對(duì)m個(gè)點(diǎn)(X,X,,X)求出第一條“最佳”擬合直線，i1i2in使得這m個(gè)點(diǎn)到該直線的垂直距離的平方和最小，并稱這條直線為第一主成分。然后再求與第一主成分相互獨(dú)立(或者說(shuō)垂直)的，且與m個(gè)點(diǎn)(X,X,,X)的垂直距離平方i1i2 in和最小的第二主成分。以此類推，可以得到其他的主成分。主成分的求法把n個(gè)指標(biāo)(X,X,,X)看成隨機(jī)變量，他們的期望值和協(xié)方差矩陣是:EX二EXEX二EX1X2EX1.EX2N1N2(10-21)EXnV={)}=V={)}=Cov(X,Y)=ij ijU11U21U12U22U1nU2n(10-22)U?nnUU?nn?m2U就是第i個(gè)變量的方差，因此這n個(gè)變量總的變化狀況可以用ZU來(lái)反映。現(xiàn)在ij iii=1考慮其線性函數(shù)Y=ZaX的方差D(Y)考慮其線性函數(shù)Y=ZaX的方差D(Y)=D^iii=1i=1aX=ZZvaa=t Aii iiiji=1j=1VA要尋找最能反映這些X變化的，

i就要求D(Y)盡可能大，從D(Y)=加諉可以看出，對(duì)向量A的長(zhǎng)度要作一些限制，否則D(Y)可以無(wú)限增大而沒(méi)有意義，自然限制AtA=Za2=1。因此，數(shù)學(xué)問(wèn)題就是：已知協(xié)方差矩陣V，求滿足約束ii=1

條件ArA=1的向量A,使4憶4達(dá)到最大值。這是一個(gè)條件極值問(wèn)題，可用拉格朗日乘子法求解。令f(A)=Ar^4-2%(ArA-1)由M=2VA-2九A=0，得：aaVA二九A,ArA=1這表示A是矩陣V的特征向量，因此有：（10-23）D(AtX)=ArV4=%ArA（10-23）由此可見(jiàn)，特征根九就是AtX的方差，因此只要求出最大特征根九所對(duì)應(yīng)的特征向max量A，就可以確定第一主成分。一般的稱Y為第j主成分(j=1,2,,n)。j在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，協(xié)方差矩陣往往未知，這時(shí)就用v的估計(jì)值V來(lái)代替。在實(shí)際計(jì)算時(shí)可能遇到的麻煩是X的n個(gè)分量表示不同性質(zhì)的量，其度量單位不同，此時(shí)協(xié)方差矩陣V的值就會(huì)發(fā)生改變，相應(yīng)的特征根也就要發(fā)生變化，特征向量也相應(yīng)的改變，最后導(dǎo)致主成分的改變。為了消除變量不同單位的影響，通常將X的n個(gè)分量標(biāo)準(zhǔn)化，即令i（10-24（10-24）X’的協(xié)方差矩陣DX'實(shí)際上就是相關(guān)矩陣R。從R可以求出相應(yīng)的主成分，該主成分一i般不同于直接從V求得的主成分。在實(shí)際求R時(shí)，不必求出X'只需直接從V=〈}求i j出R=｛r｝，因?yàn)?ju（10-25）r— .—ij—=(i,j—1,2, ,n)（10-25）j此＜°力綜上所述，主成分的求解步驟如下：先求出樣本的協(xié)方差矩陣V=t}ju-1先求出樣本的協(xié)方差矩陣V=t}ju-1工ijnk=1（x-x）（x-x）,x-LZkiikjjink=1xi；利用式(10-25)求R=3｝；j⑶求R(或V"特征根九產(chǎn)其對(duì)應(yīng)的特征向量『八彳J；⑷求。工『jk%,就是要求的主成分分量。k=1這里值得注意的是,當(dāng)?shù)谝恢鞒煞值南禂?shù)Yi卜出現(xiàn)負(fù)值時(shí),應(yīng)針對(duì)其原因進(jìn)行調(diào)整:(1)與該系數(shù)對(duì)應(yīng)的指標(biāo)*k是反向指標(biāo),這時(shí)令一Xk代替Xk作為指標(biāo)參評(píng),則其系數(shù)轉(zhuǎn)換為正值。(2)與該系數(shù)對(duì)應(yīng)的指標(biāo)X與其他指標(biāo)的相關(guān)性很大，說(shuō)明這類指標(biāo)在參與綜合評(píng)k價(jià)時(shí)，產(chǎn)生重復(fù)影響，應(yīng)該刪除一部分指標(biāo)；(3)若系數(shù)Y的負(fù)值較多，由于Y與一Y都是九的特征向量，則將所以系數(shù)的符號(hào)1k jjj同時(shí)改向，使負(fù)系數(shù)的數(shù)量減少。10.3.3主成分個(gè)數(shù)(1)一般地，協(xié)方差矩陣的特征根及其向量的個(gè)數(shù)與其階數(shù)相等，即與指標(biāo)的個(gè)數(shù)相等。因此，協(xié)方差矩陣的特征根有n個(gè)，可以得到的主成分的數(shù)量有n個(gè)。因此，有必要衡量各個(gè)主成分反映原來(lái)n個(gè)變量變化狀況的程度。九九一來(lái)衡量主成分的貢獻(xiàn)率，貢獻(xiàn)率越大就表明Y『X“綜合”一來(lái)衡量主成分的貢獻(xiàn)率，貢獻(xiàn)率越大就表明Y『X“綜合”iii=1 i=1的能力強(qiáng)。將特征值從大到小排列，記為，d>^>0,則y=Ytx=ZYX,1 2 n jj jkkk=1???TOC\o"1-5"\h\zi=1,2,,n,且Z九=Zu。這表明y,y,,y是彼此不相關(guān)的，而且，其方差正好i ii 1 2ni=1 i=1??? ???是X,X,,X的全部方差，y,y,,y全面反映了X,X,,X的變化狀況，所以1 2 n 1 2 n 1 2 ny,y,,y.稱為x,x,,x的全部主成分分量。 …1 2 n 1 2 n??????(2)當(dāng)最大特征值九在工九中占的百分比超過(guò)85%,則其對(duì)應(yīng)的主成分1尸1」y=ZYx能較好地放映選用的評(píng)指標(biāo)X,X,,X。若九在Z九中占的百分比不超1 1kk 12 n 1 jk=1 j=1???過(guò)85%,這個(gè)主成分就不是很理想。若九在Z九中占的百分比不超過(guò)50%,這個(gè)主成分1j=1j就不是很不好，則這個(gè)主成分不能反映X,X,,X的變化狀況，這時(shí)就要考慮第二個(gè)、1 2 n第三個(gè)主成分分量，把它們放在一起分析、比較，再做出評(píng)價(jià)。()當(dāng)?shù)谝恢鞒煞值呢暙I(xiàn)率達(dá)不到理想要求時(shí)，需采用多個(gè)主成分，通常以累計(jì)貢獻(xiàn)率的大小決定選幾個(gè)主成分，一般說(shuō)只有累計(jì)貢獻(xiàn)率超過(guò)85%就足夠了。10.3.410.3.4例題10.3.410.3.4例題率；現(xiàn)分析安徽省16個(gè)地區(qū)宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展的情況，選用的評(píng)價(jià)指標(biāo)有：x1：固定資產(chǎn)利稅率；X2:流動(dòng)資金利稅率；X3：銷售收入利稅率；X4：凈資產(chǎn)的利稅率；X5：總產(chǎn)值的利稅率；X6:人均的利稅率;X7:全員勞動(dòng)生產(chǎn)率；X8的利稅率；X6:人均的利稅率;原始數(shù)據(jù)見(jiàn)表10-11。表10-11安徽省16個(gè)地區(qū)宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展原始數(shù)據(jù)X1X2X3X4X5X6X7X81.合肥市0.4610.3340.1640.5340.1460.3592.4500.2022.蕪湖市0.5370.3720.1770.5490.1470.3352.2810.2013.蚌埠市0.6070.4190.2040.7120.1920.4692.2440.2634.淮南市0.0210.0440.0190.0710.0180.0271.4540.0255.馬鞍山市0.2980.5200.1820.6080.1770.4082.3130.2496.淮北市0.0540.1680.0600.3250.0740.0811.1040.0957.銅陵市0.1520.2060.1010.3440.0860.1742.0280.1148.安慶市0.3270.3640.1280.5370.1190.2702.2730.1539.黃山市0.1850.1640.0840.3020.0830.1281.5460.11410.阜陽(yáng)地區(qū)0.4670.3360.1540.5220.1390.2771.9870.19011.宿縣地區(qū)0.2320.2110.0910.3910.0830.1391.6850.10512.滁縣地區(qū)0.5140.4010.1490.5390.1290.2992.3240.16913.六安地區(qū)0.1320.1830.0800.2840.0690.0841.2240.09114.宣城地區(qū)0.2020.2750.1240.4150.1130.1781.5750.15615.巢湖地區(qū)0.2460.2910.1180.4300.1040.1441.3920.13616.池州地區(qū)0.1530.1850.0860.3300.0820.1191.4520.110均值0.2870.2800.1200.4300.1100.2181.8450.148方差0.03260.01490.00250.02430.00200.01680.21530.0039標(biāo)準(zhǔn)差0.1800.1220.0500.1560.0440.1300.4640.062將表中的數(shù)據(jù)記為x,i表示地區(qū)號(hào)，j表示指標(biāo)號(hào)，于是X=（x）是1x的矩陣。

j j求出均值向量及協(xié)方差矩陣。這里為了消除各指標(biāo)之間因度量單位不同引起的差異，將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差矩陣，也就是原數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣記為V一10.794700.902380.875960.7947010.936770.945170.902380.9367710.964180.875960.945170.9641810.857110.943330.985090.974490.883860.917420.961720.938560.830270.789480.826250.790370.84280-0.933720.981380.95733V=0.857110.943330.985090.9744910.965360.791340.997110.883860.917420.961720.938560.9653610.907160.961910.830270.789480.826250.790370.791340.9071610.78619_0.842800.933720.981380.957330.997110.961910.786191 _從V矩陣看出，這些指標(biāo)的相關(guān)性非常高，大部分相關(guān)系數(shù)都在0.85以上，而且都是正相關(guān)的。求V矩陣的特征根，得到8個(gè)特征根的值及其各自相應(yīng)的貢獻(xiàn)率，見(jiàn)表10-12。表10-12評(píng)價(jià)指標(biāo)的貢獻(xiàn)率入i7.32280.34830.18620.08670.03520.01750.00320.000044貢獻(xiàn)率/%91.5354.352.331.080.440.220.040.005累計(jì)貢獻(xiàn)率/%91.53595.88598.21599.29599.73599.95599.955100從貢獻(xiàn)率看，選用第一主成分就已經(jīng)足夠好了，它相應(yīng)的特征向量為:（0.3770，0.3411，0.3654，0.3601，0.3636，0.3641，0.3235，0.3612）因此，綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為：y=0.3770X-0.3411X'+0.3654X—0.3601X'+TOC\o"1-5"\h\z112 3 40.3636X—0.3641X'+0.3235X'+0.3612X'5 6 7 8這里變量用的是標(biāo)準(zhǔn)化后的變量，即：所以將上述公式代入y的表達(dá)式后，才能得到原始指標(biāo)X,X,,X表示的綜合評(píng)價(jià)1 1 2 8函數(shù)。 …y=8.7889+2.0944X+2.8782X+7.3082X+2.3085X+1 12 3 48.2634X+2.8011X+0.6973X+5.8256X5 6 7 8從上述兩個(gè)表達(dá)式可以看出：對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化變量X'而言，相應(yīng)的系數(shù)差別很小，幾乎就是j一樣的，表明相關(guān)性很強(qiáng)的指標(biāo)，其任一加權(quán)平均與算術(shù)平均數(shù)的相關(guān)性很大。但是還原到原來(lái)的變量X1,X2,,X8時(shí)，其系數(shù)就與\,0Xj成反比，標(biāo)準(zhǔn)差、DXT越大，相應(yīng)的系數(shù)就越小，實(shí)際」=在某種意義下是反映指標(biāo)工的“精度”，這就表示精度高的，它的’系數(shù)就大，就更應(yīng)該重視，這是合理的。利用y的表達(dá)式，可以計(jì)算各地區(qū)的評(píng)價(jià)值及相應(yīng)的名次，見(jiàn)表10-13，由此可對(duì)評(píng)價(jià)1系統(tǒng)的地區(qū)進(jìn)行排序。表10-13各地區(qū)排序值區(qū)號(hào)評(píng)價(jià)值名次區(qū)號(hào)評(píng)價(jià)值名次19.3494.91229.53108.56311.61115.51141.916128.95510.42134.21463.915146.5875.710156.2988.07164.871310.4因子分析評(píng)價(jià)法因子分析法是主成分分析的一種自然延伸，通過(guò)對(duì)多個(gè)變量的實(shí)際觀測(cè)值的相關(guān)矩陣進(jìn)行計(jì)算，依次提取方差貢獻(xiàn)率最大的各個(gè)主成分，以達(dá)到約簡(jiǎn)變量的目的。它主要從假定的因子模型出發(fā)，把數(shù)據(jù)看成由公共因子、特殊因子和誤差3部分構(gòu)成。因子分析中應(yīng)用了主成分分析法，不同的是其特征值的計(jì)算是從相關(guān)矩陣出發(fā)，由于每個(gè)變量處于同一度量，從而使特征向量相對(duì)均勻，且將主成分轉(zhuǎn)換為因子。因子分析的流程圖可表示為：原始數(shù)據(jù)f相關(guān)矩陣f主因子解《正交因子旋轉(zhuǎn)》正交因子解f因子計(jì)量因子分析的具體計(jì)算步驟如下:（1）輸入原始數(shù)據(jù)。設(shè)觀察了m個(gè)對(duì)象，每個(gè)觀察對(duì)象有n個(gè)指標(biāo)X,X,,X，11 2nij為第i個(gè)對(duì)象的第j個(gè)變量的觀測(cè)值，有觀測(cè)值矩陣式（10-20）； ...（2）按式（10-24）將變量標(biāo)準(zhǔn)化，并按式（10-25）求相關(guān)矩陣R；（3）求矩陣R的特征值九及其相應(yīng)的特征向量Y=（）t;j jjk（4）確定公共因子個(gè)數(shù)p：選擇特征根大于等于1的個(gè)數(shù)p為公共因子數(shù)或根據(jù)特征值累計(jì)百分比大于等于85%確定p；（5）計(jì)算初始因子載荷矩陣A=（a）；jknxp因子分析的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型為如下線性模型'z=aF+aF+aF+CU111 121 1pp11< （10-26）…z=aF+aF+aF+CUl..外...../>1..1....丸2.?2 np>. n?其中，F(xiàn)（ ）與每個(gè)變量都有關(guān)系，被稱為公共因子，其含義要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)k解釋。（ ，）僅與一個(gè)變量有關(guān)，被稱為特殊因子。系數(shù)a，j j jk（ … ）稱為因子載荷。系數(shù)a構(gòu)成的矩陣為因子載荷矩陣j jkA=（a）.?;a=y匹 ）2所以因子模型的矩陣形式為：jknxp jkjkyj??????A AAA（10-27）=(z,z,z)T；二(F,F,,F)T;(U,U,,U)T1 2n1 2p12n??,aaa...一C0…0一11121p1aaaA0C0A=2122… 2P—；一2???aa…V00…C」L?ni,n@??? ?npJ1-???? n其中（6）計(jì)算公共因子方差：

(10-28)h2=2a(10-28)j jkk=1（7）求正交因子解一一方差極大正交旋轉(zhuǎn):1）用h除A的各個(gè)元素，將因子載荷矩陣正規(guī)化;

j2）將p個(gè)因子軸，兩兩組合進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，共旋轉(zhuǎn)2pa（P-1）次。第Y個(gè)和第s個(gè)公共因子旋轉(zhuǎn)后的載荷由式（10-30）決定，其中①的符號(hào)由式（10-31）決定，或查表10-14。表10-14①的符號(hào)中的符號(hào)cos4中的符號(hào)49所在的象限9的變化范圍分子9(與sin4①)分母Otan4中++++I：0<49<900 00「22.50□ 0+II：90<49<1800 022.5「45?？?。+III：180<49<2700 0—45 —22.5O O++W：270<49<360O 0—22.5「0oD0取正交矩陣P’,(10-29)1:(10-29)Isin①cos①/一.?一?一.一'acos①+asin①一asin①+acos中(10-30)(acos①+asin(acos①+asin①一asin①+acos①nrnsnrnsIbnrb)ns(10-31)tang?(10-31)6其中9=222aa(a—a)—222aa2，jrjsjrjs jrjsnjTjrjsj=jrjsj=1jrjs6=2[(a2—a2)2—(2aa)2]—{[2[(a2—a2)]2—(22aa)2}

jrjsjrjs(r=1, ,(p—1)；s=r+1, ,p)得到正交變換P=PPP得到正交變換P=PPP1 1213P'rsPP(p—1)p，旋轉(zhuǎn)因子載荷矩陣為B1=AP1,因子載荷平方的方差為:(10-32)L=1工工(b h>-￡Zb2"2(10-32)n jk■j jk'jk=1j=1 k=pj=13）以B作為新的因子載荷矩陣，重復(fù)2）,直至前后兩次的L之差絕對(duì)值小于精度1要求為止。4）將最后求得的旋轉(zhuǎn)因子載荷矩陣進(jìn)行正規(guī)化還原，得G=（b*h）即為正交因jkj子解。（8）計(jì)算因子得分：求RT，按式（10-33）估計(jì)F。(10-33)A (10-33)F=S'R-1Zkk其中，S'=(rF,rF,,rF)。k z1kz2k znk11數(shù)據(jù)包絡(luò)分析技術(shù)DEA方法概述DEA（DataEnvelopmentAnalysis）方法又稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法，是對(duì)多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的相同類型部門，進(jìn)行相對(duì)有效性綜合評(píng)價(jià)的一種方法，也是研究多投入多產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)的有力工具。在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域中，常常需要對(duì)具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)在不同時(shí)期的相對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)，這些部門、企業(yè)或時(shí)期稱為決策單元（DMU），亦稱為評(píng)價(jià)單元。評(píng)價(jià)的依據(jù)是評(píng)價(jià)單元的一組投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)。投入指標(biāo)是指評(píng)價(jià)單元在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和管理活動(dòng)中需要消耗的經(jīng)濟(jì)量，例如固定資產(chǎn)原值、流動(dòng)資金平均余額、技術(shù)研發(fā)資金、投入的人力資源量、占用土地等。產(chǎn)出指標(biāo)是指評(píng)價(jià)單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)產(chǎn)生成效的經(jīng)濟(jì)量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動(dòng)生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤(rùn)率等。DEA方法就是根據(jù)投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)決策單元的相對(duì)效率，即評(píng)價(jià)部門、企業(yè)或時(shí)期之間的相對(duì)有效性，它是評(píng)價(jià)多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出評(píng)價(jià)單元相對(duì)有效性的多目標(biāo)決策方法。DEA方法是美國(guó)著名運(yùn)籌家查恩斯（A.Charnes）和庫(kù)伯（W.W.Cooper）教授在“相對(duì)效率評(píng)價(jià)”概念基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種新的系統(tǒng)分析方法。1978年，查恩斯、庫(kù)伯和羅茲（E.Rhodes）提出了第一個(gè)DEA模型，評(píng)價(jià)部門間的相對(duì)有效性，這個(gè)模型被命名為C2R模型。用這個(gè)模型評(píng)價(jià)多投入多產(chǎn)出生產(chǎn)部門的規(guī)模有效性和技術(shù)有效性是十分有效的。1986年，查恩斯、庫(kù)伯和中國(guó)人民大學(xué)魏權(quán)玲教授為了進(jìn)一步的估計(jì)有效生產(chǎn)前沿面，提出了評(píng)價(jià)無(wú)窮多個(gè)評(píng)價(jià)單元的一種新的C2W模型。此后，又有多種DEA模型相繼提出，DEA方法正在不斷的完善和進(jìn)一步發(fā)展，有關(guān)的理論研究不斷深入，應(yīng)用領(lǐng)域日益廣泛，可以說(shuō)，DEA現(xiàn)已成為管理科學(xué)與工程領(lǐng)域一種重要而有效地分析工具。DEA基本模型基本概念在多投入和多產(chǎn)出的評(píng)價(jià)系統(tǒng)中，某種“生產(chǎn)”活動(dòng)可以用一組投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值表示，評(píng)價(jià)單元DMUj的一組投入指標(biāo)值xj和產(chǎn)出指標(biāo)值yj用向量表示為：X=(%,x,...,x)T (11-1)j 1j2j mjY=(4,y,...,y.)T (ii—2)j 1j2j mj (口々一般稱集T={(x,y)|產(chǎn)出y能用輸入x生產(chǎn)出來(lái)}為所有可能的生產(chǎn)活動(dòng)構(gòu)成的生產(chǎn)可能集，有(x. ,y,)￡ ……根據(jù)實(shí)際情況和研究問(wèn)題的方便，一般都假設(shè)生產(chǎn)可能集滿足下面條公理：() 凸性：對(duì)任意的(x,y)￡和(%,,y,)eT，以及ae[0,1],有( )a,,e即如果分別以x和x，的。和(a)倍之和作為新的輸入，則可得到原產(chǎn)出相同比例之和的新產(chǎn)出，凸性表明T是一個(gè)凸集。()錐性：若(，)eT及k>0，貝Uk(x,y)=(kx,ky)eT (11-4)即若以原輸入的k倍為新的輸入，則得到原產(chǎn)出的k倍是可能的。()無(wú)效性：設(shè)(，y)eT若x'>工，則(x'，y)eT若y'?y，則(x,y')eT這說(shuō)明在原來(lái)的生產(chǎn)活動(dòng)的基礎(chǔ)上增加投入或減少產(chǎn)出進(jìn)行生產(chǎn)總是可能的。() 最小性：生產(chǎn)可能集T是滿足上述條件的所有集合的交集。在滿足(1)~(4)的基礎(chǔ)上，對(duì)于已有的觀測(cè)值(x,y)(j=1,2，…，n)jj可得：jji=1jji=1T={(x,y)1k￡ax<x,k￡ay>y,a>0,Ea=1,k>0}jji=1jji=1若令ka=九 (j=1,2，…，n)，則有:jj

(11-6)T={(x,y)Ik￡Xx<x,￡Xy>y，九>0}(11-6)jj jj jj=1 j=1若把公理?xiàng)l件(2)去掉，則為：T={(x,y)IT={(x,y)Ik￡九x<九￡九y>y入>0,￡九=1jjj=1jjj=1j jj=1(11-7)11.2.2基本C2R模型11.2.2基本C2R模型AC2R模型設(shè)有n個(gè)部門或企業(yè)，稱為n個(gè)評(píng)價(jià)單元DMUJ（j=1,2,…，n）,每個(gè)評(píng)價(jià)單元都有m種投入和p種產(chǎn)品，分別用不同的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表示，這樣，構(gòu)成了有n個(gè)評(píng)價(jià)單元的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，如圖11-1所示。圖中，x表示DMUt評(píng)價(jià)單元第i種投入指標(biāo)，x>0；ij J ijy”表示DMUJ評(píng)價(jià)單元第r種產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量，y,>0；v表示第i中投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù)，V>0；

i i11.2.2基本C2R模型AC2R模型設(shè)有n個(gè)部門或企業(yè)，稱為n個(gè)評(píng)價(jià)單元DMUj（j=1,2，……，n），每個(gè)評(píng)價(jià)單元都有m種投入和p種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表示，這樣，構(gòu)成了有n個(gè)評(píng)價(jià)單元的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，如圖11-1所示。圖中，xij表示DMUj評(píng)價(jià)單元第i種投入指標(biāo)，xij>0;yrj表示DmU,評(píng)價(jià)單元第r種產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量,yrj>0;v：表示第i種投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù)，vi>0; "12■一 n（評(píng)價(jià)單元）v11 _ ?x11x12… x1n（投入）V22 , ?X21x22… x2nFvmrm .Xm1xm2,3xmny11y12… y1nju11y21y22… y2nu2 P-2（產(chǎn)出）■ ?**ym1ym2…ymmnPup圖11-1 DEA評(píng)價(jià)系統(tǒng)的構(gòu)成ur表示第r種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)，u圖11-1 DEA評(píng)價(jià)系統(tǒng)的構(gòu)成ur表示第r種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)，ur>0(i=1,2,……,m；j=1,2,……,p)。xij和yrj是向量xj=(x1j,x2j， ，xmj)T和yj=(y1j,y2j， yj中的分量，可以根據(jù)歷史資料、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)計(jì)算得到。ur,vi是指標(biāo)權(quán)系數(shù)。在圖11-1所示的評(píng)價(jià)系統(tǒng)中，設(shè)投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)向量分別為v=(v1,v2, ，vm)T (11-8)u=(u1,u2, ，up)T (11-9)對(duì)評(píng)價(jià)單元DMUj,定義其效率評(píng)價(jià)指標(biāo)為：PEuryrjhj=r-^1 (j1,2；)n (11-10)m、，???EviXiji-1由此定義，我們有：總可以適當(dāng)?shù)剡x取口>，使hj<1;粗略地說(shuō)，對(duì)于評(píng)價(jià)單元DMUj0,hj0越大，表明DMUj0能夠用相對(duì)較少的輸入得到相對(duì)輸入較多的輸出。 JJ J要評(píng)價(jià)現(xiàn)在第j0個(gè)評(píng)價(jià)單元相對(duì)有效性，即如果我們想了解DMUj0在這n個(gè)DMU中來(lái)說(shuō)是不是“最優(yōu)”的，須建立評(píng)價(jià)系統(tǒng)的C2R模型。 J設(shè)第j0個(gè)評(píng)價(jià)單元的投入向量和產(chǎn)出向量分別為：x0=(x1j0,x2j0,"■Xmj0)Ty0=(y1j0,y2j0,■-ypj0)T效率指標(biāo)h0=hj0。在效率評(píng)價(jià)指標(biāo)hj<1(j=1,2,數(shù)u和丫，使得h；達(dá)到最大值。構(gòu)造最優(yōu)化模型：一,n)的約束條件下,選擇一組最優(yōu)權(quán)系Euy.maxh=r=1rr00E…vxVXiiji=1(11-11)Euy(11-11)s.t.errj0<1(j=1,mVXv>0 (i=12,m)iu>0 0=12,p)r此模型稱為C2R模型，是最基本的DEA模型。用C2R模型評(píng)價(jià)第j0個(gè)評(píng)價(jià)單元相對(duì)有效性，是相對(duì)于其他評(píng)價(jià)單元而言的，故稱為評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型。模型式(11-11)可以表示為矩陣形式。記xj=(x1j,x2j，…,xmj)?^=3也,…，ypj)T有： JJJ JJJ,PJ…iuTymaxh=o0vTx

ouTys.t.」<1（j=1,,n）vTx*jv>0,u>0 …（11-12）(P)是一個(gè)分式規(guī)劃，利用Charnes-Cooper變換，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的線性規(guī)劃問(wèn)題。若令:（11-13）則有uTy從Ty= 00 vTx0uTy uTy——j=——j<1（j=1,wTx vTxj jwTx=10w>0,N>0（11-14）于是(P)可變換成下面的線性規(guī)劃模型：maxNTy=V0ps.t.wTx-NTy>0（j=1,,n）j jWTx=10…w>0,N>0（11-15）由于(p)可以表示成:定義定義11.2如果線性規(guī)劃（P）的最優(yōu)解30，旦0滿足條件/ 、/0)TOC\o"1-5"\h\zmax(wt,從t) =Vo)s.t.WTX—NTy>01 1WTX—NTy>0

2 2((11-16)wtx—wtx—nTy>0

n nWTX-10w>0,N>0故根據(jù)線性規(guī)劃對(duì)偶理論知，（p）的對(duì)形式為:min(X/,1-vD(D(D')〈(11-17)j-1j-1—ZNy>yjj0j-1NY0,0符限制j引入新的變量s+,s-,并令—X'-X，可將（D'）表示成:

jj〃minV=0Ds.s.tZxj九+s—=0Xj=1(11-18)ZyX—s+=y(11-18)jj 0j-1X>0(j'=1,,n)js+>0,s->0其中，松弛變量s-=（s1-,s2-,…，sJ）T,s+=（s+,s+，，：s+）T。

1 2 p一般直接稱（D）為線性規(guī)劃（P）的對(duì)偶規(guī)劃問(wèn)題。例11.1設(shè)有4個(gè)評(píng)價(jià)單元，2個(gè)投入指標(biāo)和1個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如圖11-2所示。寫(xiě)出第一個(gè)評(píng)價(jià)單元相對(duì)效率的C2R模型。1 2 3 413343132r11 1 2 1解：由式（11-16）和式（11-18）知，評(píng)價(jià)第一個(gè)評(píng)價(jià)單元DMU1相對(duì)效率的C2R模型的線性規(guī)劃（P），對(duì)偶規(guī)劃（D）分別為：maxV=日p1S.t.3+33一目>0TOC\o"1-5"\h\z12 133+3一目>01 2 1《33+33一2日>01 2 143+23—日>01 2 13+33=1123,3>0,日>0112 1minV=0Ds.t入+3入+3入+4入+s-=01 2 3 4 1(。乂 3入+入+3入+2入+s-=30\o"CurrentDocument"1 2 3 4 2\o"CurrentDocument"入+入 +2入 +入 一s+ =11 2 3 4 1入,入,入,入>0,s-,s-,s+>012 3 4B評(píng)價(jià)系統(tǒng)的DEA有效性用模型（P）給出評(píng)價(jià)決策單元j0為DEA有效的定義。定義11.1如果線性規(guī)劃（P）的最優(yōu)解30，N0滿足條件V=日Ty=1 （11-19）p 0則稱評(píng)價(jià)單元DMUj0為弱DEA有效。V=NTy=1 （11-20）po并且①0>0,即>0,則稱評(píng)價(jià)單元DMUj0為DEA有效。由定義11.1和定義11.2可知，如果一個(gè)評(píng)價(jià)單元DMUj0為DEA有效，則也是弱DEA有效。由線性規(guī)劃（P）和分式規(guī)劃由）的等價(jià)性可知，最優(yōu)解①0，即使?。┤〉米顑?yōu)值Vp,同時(shí)也使（P）取得最優(yōu)值V，并且兩個(gè)等價(jià)問(wèn)題的最優(yōu)值V=V=h『1.因此，評(píng)價(jià)系統(tǒng)DEA有效，就是指評(píng)價(jià)單元pp0DMUjn相對(duì)于其他評(píng)價(jià)單元，效率評(píng)價(jià)指標(biāo)取得最優(yōu)值，在多指標(biāo)投入和多0指標(biāo)產(chǎn)出情況下，取得最佳經(jīng)濟(jì)效率。對(duì)于C2R模型，線性規(guī)劃（P）及其對(duì)偶規(guī)劃（D）都有可行解，有下述定理，限于篇幅這里不加證明。定理11.1線性規(guī)劃（P）及其對(duì)偶規(guī)劃（D）都有可行解，因而都有最優(yōu)解，并且最優(yōu)值VD=Vp<1 （11-21）根據(jù)線性規(guī)劃的對(duì)偶理論，判定評(píng)價(jià)單元的DEA有效性，也可以利用對(duì)偶規(guī)劃（D）。定理11.2關(guān)于對(duì)偶規(guī)劃（D）有：（1）如果（D）的最優(yōu)值VD=1，則評(píng)價(jià)單元DMUj0，為弱DEA有效；反之亦然。如果（D）的最優(yōu)值V-并且每個(gè)最優(yōu)解入。二（九0,九0,,九0）T，s0-，D=1 12 ns0+,6。都滿足條件S0-=0，s0+=0，則評(píng)價(jià)單元DMUj；為DEA有效;反之亦然。在實(shí)際應(yīng)用中，評(píng)價(jià)系統(tǒng)的投入和產(chǎn)出指標(biāo)均有不同的量綱。關(guān)于最優(yōu)效率指標(biāo)和量綱的關(guān)系，有下面的定理。定理11.3評(píng)價(jià)單元的最優(yōu)效率指標(biāo)V與投入指標(biāo)1及產(chǎn)出指標(biāo)值y的量p ij rj綱選取無(wú)關(guān)。11.3 DEA有效地經(jīng)濟(jì)意義與規(guī)模效益分析生產(chǎn)函數(shù)2 2 1 3圖11-32 2 1 3圖11-3生產(chǎn)函數(shù)曲線圖11-3所示為單輸入單輸出的生產(chǎn)函數(shù)y=f（x）的曲線，它表示生產(chǎn)處于理想狀態(tài)時(shí)，投入量為x時(shí)所能獲得的最大產(chǎn)出量為y。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的點(diǎn)A（x1，yj、C（x3，y3）代表的DMU都處于“技術(shù)有效”的理想狀態(tài)，而點(diǎn)B（x2,y2）不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，是非技術(shù)有效的。一般生產(chǎn)函數(shù)是增函數(shù)，即隨著投入量的增加，產(chǎn)出量也在增加，但根據(jù)邊際產(chǎn)出遞減規(guī)律，在生產(chǎn)函數(shù)上，總有這樣一個(gè)點(diǎn)（如圖11-3中的A點(diǎn)）：在該點(diǎn)的左邊，了>0,y〃>0，即隨著投入量的增加，產(chǎn)出量加速增加，此時(shí)稱為規(guī)模有效的（收益遞增）；在該點(diǎn)的右邊，了>0,H<0，即隨著投入量的繼續(xù)增加，產(chǎn)出的增加開(kāi)始減少，此時(shí)稱為非規(guī)模有效的（收益遞減）。圖11-3中，A（x1，y1）、B*（x2*，y2）、C（x3，y3）均在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，即其代表的評(píng)價(jià)單元DMU均為技術(shù)有效的。但A（x1，y1）是生產(chǎn)函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)單元DMU既是技術(shù)有效的，也是規(guī)模有效的，此時(shí)減少投入量或增加投入量都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模；B*（x2*，y2）位于規(guī)模收益遞增區(qū)，對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)單元DMU是技術(shù)有效的，但非規(guī)模有效，可以增加投入可獲得更大的產(chǎn)出效益；C（x3，y3）位于規(guī)模收益遞減區(qū)，對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)單元DMU是技術(shù)有效的，也非規(guī)模有效。B*（x2*，y2）為B（x2，y2）在減少投入的情況下在生產(chǎn)函數(shù)上的投影，實(shí)際是有效地，即非技術(shù)有效的B（x2，y2）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)單元DMU可以通過(guò)減少投入或增加產(chǎn)出而得到改進(jìn)稱為技術(shù)有效的評(píng)價(jià)單元。通過(guò)帶有8的模型（DJ，用定理11.4.容易判定評(píng)價(jià)單元DMUDEA的有效性，但要判斷其是否為模型有效，有如下定理判斷。定理11.5設(shè)線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解為九0，so-，s0+f08有:（1）e0=1當(dāng)且僅當(dāng)評(píng)價(jià)單元DMUjo為最大產(chǎn)出規(guī)模點(diǎn);⑵若eo￡入廠⑵若eo￡入廠1j=1，則評(píng)價(jià)單元DMUjo的規(guī)模收益不變;（3）若e1o￡九尸1

j=1，則評(píng)價(jià)單元DMUjo的規(guī)模收益遞增;（4）若1-￡入o>1，則評(píng)價(jià)單元DMUj的規(guī)模收益遞減。eo j oj=1DEA生產(chǎn)函數(shù)構(gòu)成根據(jù)DEA的原理，DEA有效地DMU在給每個(gè)投入指標(biāo)和每個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)乘以一個(gè)加權(quán)數(shù)（即該DMU得權(quán)變量的解）后，其產(chǎn)出加權(quán)和與投入加權(quán)和只比是最大的，因?yàn)樗械钠渌鸇MU用同樣的加權(quán)系數(shù)算出這一比值都不會(huì)超過(guò)1.所以，DEA有效地評(píng)價(jià)單元可以認(rèn)為已經(jīng)處于理想狀態(tài)，在其相應(yīng)的投入規(guī)模上已經(jīng)達(dá)到最大產(chǎn)出量。實(shí)際上，可以把這樣的投入產(chǎn)出關(guān)系認(rèn)為是生產(chǎn)函數(shù)上的一點(diǎn)，由各不同規(guī)模上DEA有效的投入產(chǎn)出關(guān)系就能得到完整的生產(chǎn)函數(shù)。這樣的生產(chǎn)函數(shù)與用回歸分析得到的生產(chǎn)函數(shù)不同的是，它是由本行業(yè)優(yōu)秀的單位投入產(chǎn)出關(guān)系組成，而不是回歸分析方法中求出的生產(chǎn)函數(shù)反映的本行業(yè)的平均水平。從生產(chǎn)函數(shù)的嚴(yán)格定義來(lái)看，DEA方法算出的才是真正的生產(chǎn)函數(shù)。另外一點(diǎn)不同的是，DEA方法不能直接求出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。在單指標(biāo)投入和單指標(biāo)產(chǎn)出的情況下，DEA方法能在一組樣本中篩選出在生產(chǎn)函數(shù)上的點(diǎn)，可以再用回歸分析方法求出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。但在多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的情況下，DEA有效地所有的DMU不能落在一條曲線上，而是形成一個(gè)超平面，它是生產(chǎn)函數(shù)的擴(kuò)展，DEA方法稱之為生產(chǎn)前沿面。圖11-4所示為單指標(biāo)投入和單指標(biāo)產(chǎn)出的情況。圖11-4生產(chǎn)前沿面11.3.3 DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義現(xiàn)在來(lái)討論DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義。事實(shí)上，我們通過(guò)minV=0Ds.t工九jjj=1￡y入jjj=1入>0j<0x0>y0(j=1,來(lái)評(píng)價(jià)決策單元DMUj0的有效性，這表明⑴)力圖在輸入可能集中，在保持產(chǎn)出不變的前提下，將投入的各個(gè)分量按同一比例減少。如果這一點(diǎn)能夠?qū)崿F(xiàn)，則表明可以用比DMUj更少的投入而使產(chǎn)出不變。這正說(shuō)明了眼下的DMUj必不是有效的生產(chǎn)活0 0動(dòng)反之則表明DMUj0是有效的生產(chǎn)活動(dòng)。為了使DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義更清楚，我們把問(wèn)題(P)的目標(biāo)函數(shù)maxuTy0-=VVTX P0取其倒數(shù)而改為:min竺"=憶 (11-26)VTX p0并類似地令t= ，3=tv，H=tuuTy0這樣，就得到一個(gè)與(P)等價(jià)的線性規(guī)劃(P)'：(P)minotx=V'0pS.t3tx-HTy>0j=< jjuTy=1

03>0,H>0(11-27)以及(P)'的對(duì)偶規(guī)劃模型TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"s.t2九x+s—二x

jj 0j=1(11-28)\o"CurrentDocument"2九y-s+=ayjj o(11-28)jT\o"CurrentDocument"九>0(j=1, ,n)js+>0,s->0規(guī)劃問(wèn)題（D）與（D）'的最優(yōu)解之間有著非常密切的關(guān)系。一般地，設(shè)九*,ss*+，0*為（D）的最優(yōu)解，而九**，s**-，s**+，a*為（D）'的最優(yōu)解，則有九**s*九**s*-s*+ s**+0*'(11-29)一般情況下，模型（P）與（D）主要是研究單元DMU輸入的有效性，而（P）'和（D）'則主要是研究DMU輸出的有效性。11.5評(píng)價(jià)單元的排序從前面的分析可知，在應(yīng)用DEA進(jìn)行有效性評(píng)價(jià)時(shí)，如果評(píng)價(jià)單元DMUj的效率指0數(shù)為1就稱DMUj為DEA有效的，否則即為非DEA有效的。但是，非有效的DMU之間0的優(yōu)劣性無(wú)法簡(jiǎn)單地從效率指數(shù)值的大小進(jìn)行排序?qū)Ρ确治?，也即位于生產(chǎn)前沿面之外的評(píng)價(jià)單元無(wú)法直接對(duì)比。

對(duì)DEA評(píng)價(jià)單元進(jìn)行排序的研究方法有多種，這里介紹兩種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。（1）分級(jí)評(píng)價(jià)法。分級(jí)評(píng)價(jià)方法是運(yùn)用DEA評(píng)價(jià)模型反復(fù)對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行有效性判斷，從而將評(píng)價(jià)對(duì)象分出不同級(jí)別的優(yōu)先序。首先，對(duì)所有評(píng)價(jià)單元DMU進(jìn)行第1次有效性評(píng)價(jià)；然后，剔除DEA有效的DMU，再對(duì)其余非DEA有效單元，即沒(méi)有達(dá)到生產(chǎn)前沿面的評(píng)價(jià)單元DMU進(jìn)行第2次評(píng)價(jià)。如此往復(fù)進(jìn)行，當(dāng)所剩余DMU均為非DEA有效的或均為DEA有效時(shí)停止。其中，第1次效率指數(shù)為1的評(píng)價(jià)單元DMU稱為第1級(jí)有效，第2次效率指數(shù)為1的評(píng)價(jià)單元DMU稱為第2級(jí)有效，依此類推，就可以得到DEA分級(jí)有效評(píng)價(jià)結(jié)果。該方法的最大優(yōu)點(diǎn)是不需要構(gòu)造新的評(píng)價(jià)模型，解算簡(jiǎn)單。但它只是對(duì)所有的評(píng)價(jià)單元進(jìn)行了級(jí)別劃分，在每一級(jí)別內(nèi)，即在同一次評(píng)價(jià)中，效率指數(shù)為1的多個(gè)（若存在）評(píng)價(jià)單元?jiǎng)t無(wú)法進(jìn)行有效排序。（2）虛擬單元法。虛擬單元法將線性規(guī)劃（。）的最優(yōu)解中00的值作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)的8排序判斷值，即00的大小順序即該評(píng)價(jià)單元DMUj的優(yōu)劣順序。但在運(yùn)用一般意義上的0DEA模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，對(duì)于效率指數(shù)為1,即DEA有效的評(píng)價(jià)單元?jiǎng)t不能加以有效排序區(qū)分。為了克服這一不足，特引入一個(gè)虛擬的評(píng)價(jià)單元DMU替代一般模型約束條n+1件中的評(píng)價(jià)單元DMUj，以有效區(qū)分各評(píng)價(jià)單元之間差異程度。設(shè)DMU的輸入輸出為0 n+1（x ,y），其中x=max元（i=1,2,…,m）,y=miny（i=1,2,…,p）。該虛i,n+1k,n+1 i,n+1]<j<nij k,n+11<j<nkj擬的評(píng)價(jià)單元實(shí)際上就是一個(gè)最差的評(píng)價(jià)單元，使得評(píng)價(jià)系統(tǒng)中的原來(lái)的各評(píng)價(jià)單元相對(duì)于這個(gè)虛擬評(píng)價(jià)單元變得更為有效，這樣就達(dá)到了可以進(jìn)一步比較各評(píng)價(jià)單元效率的差異程度，從而進(jìn)行排序的目的。引入一個(gè)虛擬的評(píng)價(jià)單元DMU后，評(píng)價(jià)系統(tǒng)的評(píng)價(jià)單元排序效率指數(shù)由下述n+1規(guī)劃問(wèn)題求出:min[0-8(ets-+eTs+)]=VD8,n+1；j豐j)0??,n+1；j豐j)0(11-33)s.t.n+1,n+1；j豐j)0??,n+1；j豐j)0(11-33)jT2y九-s+=y(j=1,2,jj 0jT九>0(1<j<n+1)(j=t,-2,js+>0,s->0可以證明該模型的相關(guān)DEA理論都是成立的。該模型通過(guò)吧虛擬評(píng)價(jià)單元的輸入、輸出替代約束條件中評(píng)價(jià)單元DMUj的輸入、輸出，使評(píng)價(jià)單元既利用了虛擬評(píng)價(jià)單元的有0關(guān)信息，有利用了其他評(píng)價(jià)單元的有關(guān)信息，其評(píng)價(jià)效率值在虛擬評(píng)價(jià)單元的基礎(chǔ)上都有所增加，效率值越大，說(shuō)明與虛擬評(píng)價(jià)單元的差距也越大，該評(píng)價(jià)單元DMUj相對(duì)也就越好。0評(píng)價(jià)效率值的大小順序即該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中評(píng)價(jià)單元DMUj0的優(yōu)劣順序。11.6DEA評(píng)價(jià)應(yīng)用分析DEA評(píng)價(jià)特點(diǎn)和步驟ADEA方法的優(yōu)越性及特點(diǎn)根據(jù)各評(píng)價(jià)單元DMU觀測(cè)數(shù)據(jù)判斷其是否對(duì)DEA有效，本質(zhì)上是判斷評(píng)價(jià)單元DMU是否位于生產(chǎn)可能集的前沿面上。生產(chǎn)前沿面是經(jīng)濟(jì)學(xué)中生產(chǎn)函數(shù)向多產(chǎn)出情況的一種推廣，使用DEA方法可以確定生產(chǎn)前沿面的結(jié)構(gòu)，因此又可將DEA方法看作是一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法。使用DEA對(duì)評(píng)價(jià)單元DMU進(jìn)行效率評(píng)價(jià)時(shí)，由于DEA方法對(duì)輸入、輸出指標(biāo)有較大的包容性，可以接受那些在一般意義很難定量的指標(biāo)。因此，他在處理評(píng)價(jià)問(wèn)題時(shí)比一般的常規(guī)統(tǒng)計(jì)方法更有優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在如下方幾面：可以同時(shí)計(jì)算多種輸入和輸出指標(biāo)，輸入和輸出的數(shù)據(jù)可以為不同計(jì)量單位的指標(biāo)，不需預(yù)先確定指標(biāo)間的關(guān)系和賦予指標(biāo)主觀權(quán)重；計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中采用的長(zhǎng)期趨勢(shì)外推的統(tǒng)計(jì)方法，是對(duì)整個(gè)生產(chǎn)前沿面所進(jìn)行的平均意義的操作，得到的分析結(jié)果只能是“平均意義”上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，不能對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各個(gè)階段做出有效的評(píng)價(jià)。DEA方法改變了過(guò)去評(píng)價(jià)方法中將有效與非有效混為一談的局面，估計(jì)出確實(shí)有效地生產(chǎn)前沿面；致力于每個(gè)評(píng)價(jià)單元DMU優(yōu)化而不是對(duì)整個(gè)集合的統(tǒng)計(jì)回歸優(yōu)化，與傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法相比較,DEA方法不需要一個(gè)預(yù)先已知帶有參數(shù)的生產(chǎn)函數(shù)形式；不僅可排序，還可以提供非DEA有效單元的具體改進(jìn)建議。B應(yīng)用DEA模型得到的評(píng)價(jià)信息設(shè)計(jì)出科學(xué)的效率評(píng)價(jià)指標(biāo)體系；確定各評(píng)價(jià)單元DMU的DEA有效性（技術(shù)有效性與規(guī)模有效性）；算出各評(píng)價(jià)單元DMU在有效生產(chǎn)前沿面上的“投影”，為今后生產(chǎn)效率和管理水平提供參考信息。分析各評(píng)價(jià)單元DMU的有效性對(duì)各輸入、輸出指標(biāo)的以來(lái)情況，了解其在輸入和輸出方面的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)；分析各評(píng)價(jià)單元DMU之間DEA有效性的依賴關(guān)系；各評(píng)價(jià)單元DMU進(jìn)行“類序”分析，為宏觀決策提供參考。CDEA評(píng)價(jià)過(guò)程步驟定評(píng)價(jià)目的。DEA方法的基本功能是“評(píng)價(jià)”，特別是進(jìn)行多個(gè)同類樣本間的“相對(duì)優(yōu)劣性”的評(píng)價(jià)。這樣，就有一系列的問(wèn)題需要明確，如哪些評(píng)價(jià)單元DMU能夠或適宜在一起進(jìn)行評(píng)價(jià)，通過(guò)什么樣的輸入/輸出指標(biāo)體系進(jìn)行評(píng)價(jià)，選擇什么樣的DEA模型進(jìn)行評(píng)價(jià)等等。擇評(píng)價(jià)單元DMU。選擇評(píng)價(jià)單元DMU就是確定參考集。由于DEA方法是在同類型的評(píng)價(jià)單元DMU之間進(jìn)行相對(duì)有效性比較，因此選擇評(píng)價(jià)單元DMU的一個(gè)基本要求就是DMU的同類型。同類型一般指具有相同的環(huán)境、相同的輸入和相同的任務(wù)等物理背景；并不是評(píng)價(jià)單元DMU的個(gè)數(shù)越多越好，過(guò)多難以做到同類性，通常認(rèn)為參考集元素的個(gè)數(shù)不少于輸入/輸出指標(biāo)總數(shù)的2倍為好。立輸入/輸出指標(biāo)體系。輸出向量與輸入向量的選擇要服務(wù)、服從于評(píng)價(jià)的目的，并能全面反映評(píng)價(jià)目的。一般一個(gè)評(píng)價(jià)目的需要多個(gè)輸入和多個(gè)輸出才能較為全面地描述，缺少某個(gè)或某些指標(biāo)常會(huì)使評(píng)價(jià)目的不能完整地得以實(shí)現(xiàn)；充分考慮到輸入向量、輸出向量之間的聯(lián)系；要考慮輸入/輸出指標(biāo)體系的多樣性。（4）DEA模型的選擇。根據(jù)輸入（出）指標(biāo)的可控性和可處理性，選用基于輸入的DEA模型或選用基于輸出地DEA模型，具有非阿基米德無(wú)窮小的DEA模型在判定評(píng)價(jià)單元DMU是否為（弱）DEA有效以及將原來(lái)無(wú)效的評(píng)價(jià)單元DMU“投影”到相對(duì)有效面上均有方便之處，所以在實(shí)際中這一模型常被應(yīng)用。有特殊要求的系統(tǒng)要有針對(duì)性的選擇模型。D模型運(yùn)算與評(píng)價(jià)后分析一般模型運(yùn)算可借助一定的計(jì)算機(jī)運(yùn)算程序，在運(yùn)算中要注意對(duì)運(yùn)算模型及程序的驗(yàn)證。具體問(wèn)題的研究，很重要的一步是針對(duì)特定問(wèn)題對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析解釋，從計(jì)算結(jié)果中提煉出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。應(yīng)用案例A組織績(jī)效評(píng)價(jià)大型醫(yī)院的經(jīng)